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题型最全的递推数列求通项公式的习题


高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决 数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , a n?1 ? an ? 2 ,求 a n 。 2 n ?n

类型 2

a n ?1 ? f (n)a n

解法:把原递推公式转化为 例 1:已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2 n , a n ?1 ? a n ,求 a n 。 3 n ?1

变式:(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2), 则{an}的通项

类型 3

an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 例:已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n . 变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1(n ? N ).
*

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

(I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 1 4 2 ? 4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ? 1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}是等差数列;

类型 4

an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。

(或 an ?1 ? pan ? rq ,其中 p,q, r 均为常数) 。
n

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q 系数法解决。 例:已知数列 ?a n ?中, a1 ?

n ?1

,得:

a n?1 p a n 1 a p 1 ,得: bn ?1 ? bn ? 再待定 ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ? n ) n ?1 n q q q q q q q

5 1 1 , an?1 ? an ? ( ) n?1 ,求 a n 。 6 3 2

变式: 1.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ).
*

(I)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ? an ? 的通项公式;
3.已知数列

?a n ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,
? a n?1 ? 2a n (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

⑴设数列 bn

⑵设数列 c n

?

an , (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?a n ?的通项公式及前 n 项和。 2n

类型 5 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ? 去 a n 进行求解。 例:已知数列 ?a n ?前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f ( S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n .

类型 6 周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例:若数列 ?a n ?满足 a n ?1

1 ? ?2 a n , ( 0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2


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