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解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结[1]


解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+ 椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法:
1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。

(2) 双曲线有两种定义。 第一定义中,r1 ? r2 ? 2a , r1>r2 时, 当 注意 r2 的最

小值为 c-a: 第二定义中,1=ed1, r r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最 终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题, 弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为 “设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关 系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1)

x y0 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 0 ? 2 k ? 0 。 2 2 a b a b

(2)

x y0 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 0 ? 2 k ? 0 2 2 a b a b

(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.

【典型例题】
例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,
1


A Q

当 A、
B

H

P F

距离和

最小。 解: (2, 2 ) (1) 连 PF,当 A、P、F 三点共线时, AP ? PH ? AP ? PF 最小,此时 AF 的方程为 y ? y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), (注:另一交点为( (2) (

4 2 ?0 ( x ? 1) 即 3 ?1

1 ,? 2 ),它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去) 2

1 ,1 ) 4

过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ ? QF ? BQ ? QR 最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代 入 y2=4x 得 x=

1 1 ,∴Q( ,1 ) 4 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 例 2、F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。 4 3
y A P F H x

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或准线作出来考 题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
F 0 ′





PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5
当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?

1 , 2

1 PH ,即2 PF ? PH 2

∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH 当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点 (如图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的
2

y M D C 5 x



线

“半径

A

0B

等于半径” (如图中的 MC ? MD ) 。 解:如图, MC ? MD , ∴ AC ? MA ? MB ? DB 即6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*)

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 16 15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5

分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB=

3 sinA 5 3 BC 5

2RsinC-2RsinB=

3 ·2RsinA 5

∴ AB ? AC ?

即 AB ? AC ? 6

(*)

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4

x2 y2 所求轨迹方程为 ? ? 1 (x>3) 9 16
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析: (1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点 公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
2 ?( x1 ? x2 ) 2 ? ( x12 ? x2 ) 2 ? 9 ① ? 则 ?x ? x ? 2x ② 1 2 0 ③ ? 2 2 ? x1 ? x2 ? 2 y 0

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
3

即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9 ∴ 4 y 0 ? 4 x0 ?
2

9 , 2 1 ? 4 x0

2 4 y 0 ? 4 x0 ?

9 9 2 ? (4 x0 ? 1) ? 2 ?1 2 4 x0 4 x0 ? 1

≥ 2 9 ? 1 ? 5,

y0 ?

5 4

当 4x02+1=3 即 x 0 ? ?

2 2 5 5 , ) 时, ( y 0 ) min ? 此时 M (? 2 2 4 4

法二:如图, 2 MM 2 ? AA2 ? BB2 ? AF ? BF ? AB ? 3

∴ MM 2 ?

3 1 3 , 即 MM 1 ? ? , 2 4 2 5 , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 4
A A1 A2

y M

B

∴ MM 1 ?

0 M1 M2

B1 B2

x

5 ∴M 到 x 轴的最短距离为 4

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而不 求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利 用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁” 时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。

例 6、 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(2 ? m ? 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、 m m ?1

B、C、D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。 分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” ,A 在准线上,B 在椭 圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防
4

f ( m) ? ( x B ? x A ) 2 ? ( x D ? x C ) 2 ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? X C )

? 2 ( x B ? xC ) ? ( x A ? x D )
y

? 2 ( xB ? X C )
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。

C F1 0 F2

D

A

B

x

解: (1)椭圆

x2 y2 ? ? 1 中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点 F1(-1,0) m m ?1

则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

2m (2 ? m ? 5) 2m ? 1

f (m) ? AB ? CD ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? xC ) ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? ( x A ? xC ) ? 2 x1 ? x 2 ? 2 ? 2m 2m ? 1

(2) f (m) ?

2

2m ? 1 ? 1 1 ? 2 (1 ? ) 2m ? 1 2m ? 1
10 2 9 4 2 3

∴当 m=5 时, f ( m) min ?

当 m=2 时, f (m) max ?

点评:此题因最终需求 x B ? xC ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、 C 坐标代入作差,得

x0 y x x ?1 m ,可见 ? 0 ? k ? 0 ,将 y0=x0+1,k=1 代入得 0 ? 0 ? 0 ,∴ x0 ? ? m m ?1 m m ?1 2m ? 1

x B ? xC ? ?

2m 2m ? 1

当然,解本题的关键在于对 f (m) ? AB ? CD 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现 f ( m) ? x B ? xC
5

是解此题的要点。

【同步练习】
x2 y2 1、已知:F1,F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B,若 AB ? m , a b
△ABF2 的周长为( A、4a ) B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ( A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x )

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标分别为(-1,0), (1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( A、 ) B、

x2 y2 ? ?1 4 3
x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0且y ? 0) 4 3
( )

C、

D、

4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是

A、 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

9 ( x ? ?1) 4 9 ( x ? ?1) 4

B、 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

9 ( x ? ?1) 4 9 ( x ? ?1) 4

C、 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

D、 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

5、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 9 16

6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是

8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k= 10、设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 sin∠F1PF2 的最大值。 25 9

6

11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列, 若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1), AB ? 4 3 ,求直线 l 的方程和椭圆方程。

12、已知直线 l 和双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、D。求证: a2 b2

AB ? CD 。

【参考答案】
1、C

AF2 ? AF1 ? 2a, BF2 ? BF1 ? 2a ,
∴ AF2 ? BF2 ? AB ? 4a, AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ? 2m, 选 C 2、C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C 3、D ∵ AB ? AC ? 2 ? 2 ,且 AB ? AC ∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y≠0,故选 D。 4、A 设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为 4 得 1 ?

(2 x ? 1) 2 ? ( 2 y ) 2 ? 4 ,∴

1 9 (x ? )2 ? y 2 ? 2 4
2 2 ①又 c<a,∴ ( x ? 1) ? y ? 2

∴(x-1)2+y2<4 ②,由①,②得 x≠-1,选 A 5、

29 3

7

左准线为 x=6、 x ?

9 9 29 5 29 29 ,M 到左准线距离为 d ? 4 ? (? ) ? 则 M 到左焦点的距离为 ed ? ? ? 5 5 5 3 5 3

1 1 (y ? ) 2 2

设弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2)AB 中点为(x,y),则 y1=2x12,y2=2x22,y1-y2=2(x12-x22) ∴

y1 ? y 2 ? 2( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

∴2=2·2x, x ?

1 2

将x ?

1 1 1 1 代入 y=2x2 得 y ? ,轨迹方程是 x ? (y> ) 2 2 2 2

7、y2=x+2(x>2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x,y),则
2 2 y12 ? 2 x1 , y 2 ? 2 x 2 , y12 ? y 2 ? 2( x1 ? x 2 ),

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 2 x1 ? x 2

∵ k AB ? k MP ?

y?0 y ,∴ ? 2 y ? 2 ,即 y2=x+2 x?2 x?2

又弦中点在已知抛物线内 P,即 y2<2x,即 x+2<2x,∴x>2 8、4

a 2 ? b 2 ? 4, c 2 ? 8, c ? 2 2 ,令 x ? 2 2 代入方程得 8-y2=4
∴y2=4,y=±2,弦长为 4 9、 ?

2或 ? 1

y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0

?1 ? k 2 ? 0 ①? 得 4k2+8(1-k2)=0,k= ? 2 ?? ? 0
②1-k2=0 得 k=±1 10、解:a2=25,b2=9,c2=16 设 F1、F2 为左、右焦点,则 F1(-4,0)F2(4,0) ① 设 PF1 ? r1 , PF2 ? r2 , ?F1 PF2 ? ? ② ?r1 ? r2 ? 2? 则
? 2 2 2 ?r1 ? r2 ? 2r1 r2 cos? ? (2c)

y P F1 F2 x

①2-②得 2r1r2(1+cosθ )=4b2 ∴1+cosθ =

4b 2 2b 2 ? 2r1 r2 r1 r2

∵r1+r2 ? 2 r1 r2 ,

∴r1r2 的最大值为 a2

∴1+cosθ 的最小值为

2b 2 18 ,即 1+cosθ ? 2 25 a
8

cosθ ? ?

7 7 ? , 0 ? ? ? ? ? arccos 则当 ? ? 时,sinθ 取值得最大值 1, 25 25 2

即 sin∠F1PF2 的最大值为 1。 11、设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

由题意:C、2C、 ∴ 4c ? c ?

a2 ? c 成等差数列, c

a2 ? c即a 2 ? 2c 2 , c

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2 椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2) 2b 2 b



x12 y2 x2 y2 ? 1 ? 1 ① 22 ? 2 ? 1 ② 2b 2 b 2 2b b2
2 2 x12 ? x2 y12 ? y 2 ? ?0 2b 2 b2

①-②得



xm y ? m ?k ? 0 2 2b b2



?2 ? k ? 0 ∴k=1 2

直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3, 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0,

AB ? x1 ? x2 1 ? 1 ?

1 12 2 ? 12(18 ? 2b 2 ) 2 ? 4 3 3

解得 b2=12, ∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0 24 12

12、证明:设 A(x1,y1),D(x2,y2),AD 中点为 M(x0,y0)直线 l 的斜率为 k,则
? x12 y12 ? 2 ? 2 ?1 ① ?a b ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ② 2 2 ?a b ?

①-②得

2 x0 2 y 0 ? 2 ?k ? 0 ③ a2 b

? ? ? ? ? ? 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ), BC中点为M ?( x0 , y 0 ) ,
? x1 2 y 1 2 1 1 则 ? a2 ? b2 ? 0 ④ ? ? 12 2 y1 ? x2 ? 22 ? 0 ⑤ ? a2 b ?

④-⑤得

1 ? 2 x1 2 y 0 ? 2 ?k ? 0 ⑥ a2 b

9

由③、⑥知 M、 M ? 均在直线 l ? :

2x 2 y ? ? k ? 0 上,而 M、 M ? 又在直线 l 上 , a2 b2

若 l 过原点,则 B、C 重合于原点,命题成立 若 l 与 x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直,则 M 与 M ? 重合 ∴ AB ? CD

椭圆与双曲线的对偶性质总结

1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的
10



两个端点. 3. 4. 5. 6. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

7.

xx y y x2 y 2 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 a b a b 2 2 x y 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程 0 a b xx y y 是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 x y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1 PF2 ? ? ,则椭圆的焦点 a b
角形的面积为 S?F1PF2 ? b tan
2

?

2

.

8.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的焦半径公式: a 2 b2 | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
椭圆 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦 点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 , a a2 b 2 b x ?? 2 0 。 a y0

xx y y x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 02 ? 02 ? 02 ? 02 . a b a b a2 b 2 2 2 2 xx y y x y x y 13. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . 0 a b a b a b
12. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

双曲线
1. 2. 3. 4. 5. 6. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

xx y y x2 y2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则 0 a b x0 x y0 y 切点弦 P1P2 的直线方程是 2 ? 2 ? 1 . a b
若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

11

7.

双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ?F1 PF2 ? ? , a 2 b2

则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b2co t 8. 双曲线

?

2

.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) a 2 b2 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于 点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y2 11. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦, M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 a b 2 b x b2 x K OM ? K AB ? 2 0 ,即 K AB ? 2 0 。 a y0 a y0
12. 若 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 0

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b
13. 若 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 0

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

椭圆与双曲线的经典结论

2 2



1.

2.

x y ? 2 ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 2 a b x2 y2 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点, a b b2 x 则直线 BC 有定向且 k BC ? 2 0 (常数). a y0
椭圆

12

3.

若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1, F a 2 b2

2

是 焦 点 , ?PF1 F2 ? ? ,

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 a 2 b2
sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

5.

若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可 a 2 b2

在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 a 2 b2

2a ? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a ? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7.

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 椭 圆 a2 b2 A2 a 2 ? B 2b 2 ? ( Ax0 ? By0 ? C )2 .

8.

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) a b 4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ;(3) S ?OPQ 的最小值是 2 . ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 a ? b2 a ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 a b | PF | e x 轴于 P,则 ? . | MN | 2

9.

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 P( x0 , 0) , 则 ? ? x0 ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1 PF2 ? ? ,则 a b
10. 已知椭圆 (1) | PF1 || PF2 |?

2b 2 ? 2 .(2) S?PF1F2 ? b tan . 1 ? cos ? 2

12. 设 A 、 B 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 , ?PAB ? ? , a 2 b2 2ab 2 | cos ? | .(2) ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) | PA |? 2 2 a ? c co s 2 ?
tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2
13

13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 a 2 b2

于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线
1.

2.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线 a 2 b2 x2 y 2 于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 a b b 2 x0 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ? ? 2 (常数). a y0
双曲线

3.

x2 y2 若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F a b
?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

2

是焦点,

c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

4.

设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点, a 2 b2
sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

在△PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

5.

若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 a 2 b2

时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 a 2 b2
14

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a 2 b2 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . x2 y2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . ,O a b 4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 (1) ;(3) S ?OPQ 的最小值是 2 . ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为 2 b ? a2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
7. 双曲线 9.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的 a 2 b2 | PF | e 垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 上异于实轴端点的任一点,F1、 2 为其焦点记 ?F1 PF2 ? ? , F a b 2b2 ? 2 则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S?PF1F2 ? b cot . 1 ? cos ? 2 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b 2ab 2 | cos ? | . ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 | a ? c co s 2 ? |
10. 已知双曲线 (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ?PAB ?
2

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与 a 2 b2

双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
15

16


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