4三角函数的图象与性质(3课时)

1.4.1
正弦、余弦函数的 图象

1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾

三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT
y

三角函数线 正弦线MP

余弦函数
正切函数

余弦线OM
正切线AT
P
T

?
-1

O

M

A(1,0)

x

正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
B
y

1

描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

y=sinx x?[0,2?]

终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k?)=sinx, k?Z
f ( x ? 2k? ) ? f ( x) 利用图象平移

y=sinx x?R

正弦、余弦函数的图象
y 1
? 2

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R

y
1

正弦曲 线
? 2?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
-4? -3? -2? -?

正弦、余弦函数的图象
1

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3? ( ,0) 2

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

?

( ? ,-1)

x

正弦、余弦函数的图象

? ( ,1) 2? 1 ( ,1) 2 ? ( ? ,0) ( 2? ,0) ( ,1) ( 2? ,0) (0,0) ( ? ,0) ? 2 o ? x 3 ? ? 2? ? ? (0,0) ( ? ,0) 2 ( 2 ,1) 2 2 ( 2? ,0) (0,0) ? -1 ( ? ,0) (3? ,-1) ( ,1) ( 2? ,0) 3? 2 (0,0) ? ?3? ( ? ,0)2 ( 3,1) ( 2? ,0) 2 ( ,1) ( ( ,1) ( ? ,0) ,1) ( 2? ,0) 3 ? 2 2 (0,0) ? 2 3 ? ( ,1) (0,0) ( ,1) ( ? ,0) ( 2? ,0) 2 ? 2 3 ? ,-1) ( (0,0) 3 ? 2 ( ? ,1) ( 2? ,0) ( ? ,0) 3? ( ,-1) ,-1) (0,0) 2 ( 2 ( 2? ,0) ( ? ,0) ( ,-1) ( 2 ,1) 2 五点法—— (0,0) 2

y

五点画图法

正弦、余弦函数的图象
例1 （1）画出函数y=1+sinx，x?[0, 2?]的简图：

x
sinx

0 0 1
y
2 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1 步骤： 1.列表 2.描点 3.连线

1 2

-1 0

1+sinx

y=1+sinx，x?[0, 2?]

? ? 2

o -1

? 2

?

x 3? 2? 2 y=sinx，x?[0, 2?]

正弦、余弦函数的图象
（2） 画出函数y= - cosx，x?[0, 2?]的简图：

x
cosx - cosx
y
1
? ? 2

0 1 -1

?
2

? -1 1

3? 2

2? 1 -1

0 0

0 0

y=cosx，x?[0, 2?]

o
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

y= - cosx，x?[0, 2?]

例2.用五点法作函数
y ? 2 cos( x ? ), x ? [0, 2? ] 的简图. 3

?

例3.利用正弦函数和余弦函数的图象， 求满足下列条件的x的集合：
1 5? 1 (2) cos x ? ，x ? (0, ) (1) sin x ? 2 2 2

作业：P46 A组： 1; B组：1 作下列函数的简图 ⑴ y=|sinx|， ⑵y=sin|x|

选做：用“五点法”作函数： ? y ? 3sin(2 x ? ) ? 1 的简图
3

1.4.2 正、余弦函数的性质

要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
1 (0,0) -4? -3? -2? -? -1
? ( ,1)
2

五点法
正弦曲 线
( 2? ,0)

o y
(0,1) 1

( ? ,0) ?

2?

3?

4?

5?

6?

3? ( ,-1) 2

x

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

3? ( ,0)

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

?

2

( ? ,-1)

x

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (一)关于定义域
例1.求下列函数的定义域：

1) y ? lg sin x 2) y ? 2 cos3x

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (二)关于周期性 1.周期性的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期. 注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 2.求函数的周期 例2.求下列函数的周期：

1) y ? 3cos x 2) y ? sin 2 x 1 ? 3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6

---定义法

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 例3.求下列函数的周期： ---利用结论

1) y ? sin( x ? 2) y ? cos 3 x

?

3

)

P36.ex.1.2

1 ? 3) y ? 3sin( x ? ), x ? R 一般 3 5 结论：
函数y ? A sin(? x ? ? )及y ? A cos(? x ? ? ), x ? R 2? ( A, ? , ?为常数, A ? 0, ? ? 0)的周期T ?

?

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性（复习）
一般地, ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数 结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数

新课讲解. 例4.下列函数是奇函数的为： D

1 ? sin x ? cos x 例5.试判断函数 f ( x) ? 在下列区间上的奇偶性 1 ? sin x ? cos x ? ? ? ?
(1) x ? (? . ).......(2) x ? [? . ] 2 2 2 2 注意大前提：定义域关于原点对称

今日作业

书本P46.A组3.10

B组3+附加

附加.判断下列函数的奇偶性

1) y ? 2 cos 2x
2) y ? sin x ?1

1.4.3 正切函数 的图象和性质

复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
2? 函数y ? A sin(? x ? ? )和y ? Acos(? x ? ? )，x ? R的周期T ? |? |

三.奇偶性：

y ? sin x为奇函数，图像关于原 点对称； y ? cos x为偶函数图像关于 y轴对称。

复习回顾
y

y=sinx
?

1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

四.单调性：
正弦函数在 [? 在[

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ](k ? Z )上是单调递增的 , 从 ? 1到1;

?

2

? 2k? ,

3? ? 2k? ](k ? Z )上是单调递减的 , 从1到 ? 1 2

余弦函数在区间 [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z)上是单调递增 , 从 ? 1到1 : 在区间 [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z)上是单调递减 , 从1到 ? 1

复习回顾
y

y=sinx
?

1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
y ? sin x : 定义域为R，值域[?1,1] 最大值1,此时x ?

?

2 y ? cos x : 定义域为R，值域[?1,1]

? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? ?

?
2

? 2 k? ;

最大值1,此时x ? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? 2k? ? ? ;

复习回顾
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

六.对称轴和对称点：
y ? sin x的对称轴： x ? k? ?

?
2

, 对称点： ( k? ,0);

y ? co s x的对称轴： x ? k? , 对称点： ( k? ?

?
2

,0);

七. y ? sin x和y ? cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想

(2) y ? sin x, y ? cos x与y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? )间的换元思想

正切函数的性质与图像
（1）正切曲线图象如何作：
几何描点法（利用三角函数线）

思考:画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢?

正切函数的性质与图像
(二)周期性 :
由诱导公式 tan(x+? )=tanx,x ? R, x ?

?
2

? k? , k ? Z

问题:是否是最小的正周期呢?

可以知道? 是正切函数的一个正周期

(三)奇偶性:
由诱导公式tan(-x )= -tanx,x ? R,x ? y ? tan x, x ?

?
2

? k? , k ? Z

?
2

? k? ? k ? z ? 为奇函数,图像关于原点对称

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像
(四)单调性：观察图像

? ? ? ? 正切函数在 性知， ? ? ， ?，k ? Z中为递增函数，由周期 ? 2 2? ? ? ? ? 正切函数在 ? k?， ? k? ?，k ? Z中是增函数。 ?? 2 ? 2 ?

思考：在整个定义域内是增函数么？

正切函数的性质与图像

（五）定义域、值域:

k? （六）关于对称点对称轴：从图象可以看出：无对称轴。 ( , 0) ? 直线 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点，即 2 x ? ? k? k ?Z 2

应用提升

? 例1（书上P44例6有变动） ?? ?? 求函数y ? tan ? x ? ?的定义域，值域，并指出它的周期性， 3? ?2 奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
解：

1 定义域： {x | x ? 2k ? ，k ? Z} 3
周期：T ? 2

值域：R

奇偶性：非奇非偶

5 1 单调区间：（ ? ? 2k， ? 2k）， k ? Z 3 3

2 对称中心：(k- , 0), k ? Z 3

应用提升
? 13? ? ? 17? ? 例2.比较tan? ? ?与tan? ? ?的大小? ? 4 ? ? 5 ?

应用提升 练习1：试着画出 y ?| tan x | 和y ? tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. ? 练习2.如果?、? ? ( , ? )且 tan ? ? cot ? , 2
那么必有（ ） A.? ? ? 3? C.? ? ? ? 2 B.? ? ? 3? D.? ? ? ? 2

应用提升
例3.求函数y ? tan x ? 1 3 ? tan x 的定义域

例4.试讨论函数y ? loga tan x的单调性

小结回顾
正切函数的基本性质

课后作业
1．书本P45练习，做书上.
2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上