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高一数学必修二第二章小结(原创)


本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 小结

知识要点
复习参考题

自我检测题

1. 三个公理 公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线在此平面内. 公

理2: 过不在一条直线上的三点, 有且只 有一个平面. 三推论: ①两相交直线确定平面; ②两平行 直线确定平面; ③直线外的点与直线确定平面. 公理 3: 如果两个不重合的平面有 一个公共点, 那么它们有且只有一条过 该点的公共直线.
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2. 线线之间的位置关系

相交 平行
异面

共面

判定两直线平行的公理 4: 平行于同一条直线的两直线互相平行.

3. 两异面直线所成的角 ① 角的范围 (0?, 90?]. ② 由定义找角: 相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线. ③ 垂直 异面垂直, 无垂足.

4. 线面平行的判定定理 b ? a, a ? a , ? b∥ a . b//a, 由线线平行得线面平行. 5. 线面平行的性质定理 l∥ a , ? l∥m. l ? b, b∩a = m 由线面平行得线线平行.

6. 面面平行的判定定理 a? a , b? a , a∩b, ? a∥b. 由线面平行得面面平行. a∥ b , b∥ b , 7. 面面平行的性质定理 a?b, g ? a = a, ? a∥ b. g ? b = b, 由面面平行得线线平行.

8. 线面垂直的定义 ⊕若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直 线, 则叫 l⊥a. 应用: 若 l⊥a, 则 l 垂直平面 a 内的任意一直线. l⊥ a , ?l⊥m. m?a, ⊕过空间任意一点, 有且只有一条直 线和已知平面垂直.

9. 线面垂直的判定定理 ⊕如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面. l⊥ a , l⊥ b , ? l⊥ a . a? a , b? a , a∩b=P, ⊕两平行线中的一条垂直于一个平 面, 那么另一条也垂直于这个平面.

10. 三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影;

如果平面内的一条直线垂直平面的一条 斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.

11. 直线和平面所成的角 ⊕斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角). ⊕垂线与平面所成的角为90?. ⊕平行线或在平面内的直线与平面所成的 角为 0?. ⊕斜线和平面所成的角是斜线和平面内所 有直线所成角中最小的. ⊕两条平行线和同一个平面所成的 角相等.

12. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.

l1⊥ a ,
l2⊥a,

? l1//l2.

由线面垂直得线线平行.

13. 二面角及它的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个 半面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角.

二面角的大小由它的平面角确定.

14. 两平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两 个平面垂直. l⊥ a , ? b?a. l ?b ,
b
l

a

15. 平面与平面垂直的性质 ⊕两个平面垂直, 则一个平面内垂直 于交线的直线与于另一个平面垂直.

a ?b, a∩b = m, l ?a,
l⊥m,

l a

? l⊥ b .

m

b

⊕两平面垂直, 平行于一平面的直 线垂直于另一平面.

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复习参考题 A 组 1. 三个平面可将空间分成几部分? 你能画出它 们的直观图吗? 答: 三个平面可将空间分成 4个、或 6个、或 7个、 或 8个部分. 4部分 6部分 7部分 8部分
a b g g a b g

g

a

b

a

b

2. 如图, 一块正方体形木料的上底面上有一点 E, 经过点 E 在上底面上画一条直线与 CE 垂直, 怎样画? 画法: ① 连结C1E, D1 M C1 E ② 在平面A1C1内, · A1 N B1 过点 E 作 MN⊥C1E. 则 MN就是所要求作的直线. D C 其理由: A B ∵ CC1⊥平面A1C1, MN?平面A1C1, ∴ MN⊥CC1. 所作 MN⊥C1E, 则 MN⊥平面C1EC, 得 MN⊥CE.

3. 证明: 两两相交且不过同一点的三条直线必 在同一个平面内. 如图, 已知直线 a∩b=A, b∩c=B, c∩a=C. 求证 a, b, c 共面. b a a 证明: ∵ a∩b = A, A ? a、b 确定平面, 设为 a, B 则 a? a , b? a , 又 c∩a = C, c∩b = B, 得 C?a, B?b, 于是得 C?a, B?a, 即得 c?a, ∴ a、b、c 共面于 a.
C

c

4. 如图, 正方体的棱长是 a, C, D 分别是两条 棱的中点. (1) 证明四边形 ABCD 是一个梯形; (2) 求四边形 ABCD 的面积. D A?

证明: (1) 如图, 连结上底面 对角线A?B?, ∵C, D是两棱中点, ∴CD//A?B?, 且CD = 1 A?B?. 2 而 A?B?//AB, 且A?B?=AB, ∴CD//AB, 且CD≠AB, 则ABCD是梯形.
A

B? C

B

4. 如图, 正方体的棱长是 a, C, D 分别是两条 棱的中点. (1) 证明四边形 ABCD 是一个梯形; (2) 求四边形 ABCD 的面积. D E E A? O? 解: (2) 在底面正方形中求得 B? C

AB = 2 a, 2 A 则 CD = a, 2 O 如图, 在Rt△O?OE中可求得 梯形的高 OE= a 2 ? ( 2a )2 = 3 2 a, 4 4 1 ∴梯形ABCD的面积为 S = ( AB ? CD)? OE 2 = 9 a 2(平方单位). 8

B

5. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1中, AE=A1E1, AF=A1F1, 求证 EF//E1F1, 且 EF=E1F1. 证明: 连结EE1, FF1, 在正方体中, AE∥A1E1, AF∥A1F1, 又知 AE=A1E1, AF=A1F1, ∴ AEE1A1和AFF1A1是□, 则 EE1//AA1, 且EE1=AA1, FF1//AA1, 且FF1=AA1, 得 EE1//FF1, 且EE1=FF1, ∴ 四边形EE1F1F是□, 则 EF//E1F1, 且EF=E1F1.
E1 A1 D1 F1 D F B B1 C1

E A

C

6. 如图, 长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c, 求长方体对角线 AC? 的长. D? C? 解: 设长方体中同一顶点 B? A? 处的三条棱长为 x, y, z, b a D C y x c 则 a2=x2?y2, z b2=y2?z2, A B c2=z2?x2, 而 AC?2=AC2?CC?2 =AB2?BC2?CC?2 = x2?y2?z2 2 2 2 a ? b ? c = , 2 2 2 2 a ? b ? c ? AC ? = . 2

7. 如图, 四棱锥 V-ABCD 中, 底面 ABCD 是边 长为 2 的正方形, 其他四个侧面都是侧棱长为 5 的 等腰三角形, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求 它的度数. V
解: 分别取 AB、CD 的中点 E、F, 连结 VE、EF, 则∠VEF就是二面角V-AB-C 的平面角. A 连结VF, 由已知可得VF=VE= ( 5 )2 ? 12 =2, 又 EF=2, ∴∠VEF=60?, 即二面角 V-AB-C 的度数是60?. F B

D
E

C

8. 已知 a, b, g 是三个平面, 且 a∩b = a, a∩g = b, b∩g = c, 且a∩b = O. 求证 a, b, c 三线共 点.
证明: ∵a∩b = O, 得 O?a, O?b, a∩b = a, ?a?b, a∩g = b, ?b?g,

c
a
b a
b

g

? O?b, O?g, 即O为 b 与 g 的公共点, 而 b∩g = c, ∴交线 c 必过 O 点, 则 a, b, c 三线共点O.

9. 如图, 平面 a、b、g 两两相交, a、b、c 为三 条交线, 且 a//b, 求证 a//b//c. 证明: ∵ a∥b, g∩b = b, a? g , ?a//b.

c
a b
b

g

同理, a∥b, a∩b = c, ?a//c. a? a ,
于是得 b//c, ∴得 a//b//c.

a

10. 如图, a∩b = AB, PC⊥a, PD⊥b, C, D 是垂足, 试判断直线 AB 与 CD 的位置关系? 并证明 你的结论. P 答: AB⊥CD. B 证明: ∵a∩b =AB, C ∴AB?a, AB?b. a D 而 PC⊥a, PD⊥b, ∴ PC⊥AB, PD⊥AB. 则 AB⊥平面PCD. 而 CD?平面PCD, ∴AB⊥CD.
A

b

B组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A?, 求证: A?D⊥EF. (2) 当 BE=BF= 1 BC 时, 求三棱锥 A?EFD 的体积. 4 D A (1) 证明: ∵DA⊥AE, DC⊥CF, ∴DA?⊥A?E, DA?⊥A?F, E 则 DA?⊥平面 A?EF, B F C 于是得 DA?⊥EF.
A? D F E B

B组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A?, 求证: A?D⊥EF. (2) 当 BE=BF= 1 BC 时, 求三棱锥 A?EFD 的体积. 4 D A (2) 解: ∵BC=2, 则 BE = BF = 1 BC = 1 , E 4 2 得 AE = CF = A?E = A?F = 3 , B F C 2 2 2 2 A? D EF = BE ? BF = , 2 E H F △A?EF的高A?H = A? E 2 ? ( EF )2 2 B

B组 1. 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, (1) 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中点, 将 △AED, △DCF 分别沿 DE, DF 折起, 使 A, C 两点 重合于点 A?, 求证: A?D⊥EF. (2) 当 BE=BF= 1 BC 时, 求三棱锥 A?EFD 的体积. 4 D A (2) 解: ∵BC=2, 则 BE = BF = 1 BC = 1 , E 4 2 34 , 3 == A 得 AE = CF = A?E ?F = , B 4 F C 2 A?D=AD= 2, 2 2 2 A? D EF = BE ? BF = , ∴ 三棱锥 A?EFD 的体积为 2 E EF 2 2 H F 17 1 1 ? △A ? EF 的高 A ? H = A E ? ( ) V = ( EF ? A?H )? A?D = 2 . B 12 3 2

2. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: (1) B1D⊥平面A1C1B; (2) B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心 (三角形三条中线的交点). D1 C1 证明: (1) 连结B1D1, A1 则A1C1⊥B1D1, B1 H· 又A1C1⊥D1D, ∴A1C1⊥平面B1D1D, D C 则A1C1⊥B1D. A B 同理, 连结B1C, 可得BC1⊥B1D. ∴ B1D⊥平面A1C1B.

2. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: (1) B1D⊥平面A1C1B; (2) B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心 (三角形三条中线的交点). D1 C1 证明: (2) 设A1C1∩B1D1=O, O A1 则O, H, B是平面A1BC1与平 B1 H· E 面B1BDD1的公共点, 即B, H, O共线. D C 而O点是A1C1的中点, A B 即BO是△A1C1B的中线. 同理, 设BC1∩B1C=E, A1, H, E共线且是△A1C1B的中线. ∴H是△A1C1B的重心.

自我检则题

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自我检测题
一、选择题. 1. 如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是 ( ) P P R P Q R R Q R S (B) P Q Q

S
(D)

S (A)

S (C)

2.下列命题中,错误的命题是 ( ) (A) 平行于同一直线的两个平面平行 (B) 平行于同一平面的两个平面平行 (C) 一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交 (D) 一条直线与两个平行平面所成的角相等 3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于 ( ) (A) AC (B) BD (C) A 1D (D) A1D1 4.下列命题中,正确的是 ( ) (A)一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分 5.已知直线l⊥平面a, 直线m?平面b, 有下列命题: ① a//b?l⊥m; ② a⊥b?l//m; ③ l//m?a⊥b; ④ l⊥m?a//b. 其中正确的命题是 ( ) (A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③

二、填空题. 6. 若点M在直线a上, a 在平面 a 上, 则 M, a, a 间的关系可用集合语言表示为 . 7. 设 a, b, c 是空间的三条直线, 下面给出四个命题: ① 若 a⊥b, b⊥c, 则 a//c; ② 若 a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 也是异面直线; ③ 若 a 和 b 相交, b 和 c 相交, 则 a 和 c 也相交; ④ 若 a 和 b 共面, b 和 c 共面, 则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是 . 三、解答题. 8. (1) 用符号语言表示语句: “直线 l 经过平面 a内一定点 P, 但 l 在 a 外”, 并画出图形. (2) 把下面的符号语言改写成文字语言的形式, 并画出图形. 若直线 a?平面a, A?a, A?a, A?直线 b, a//b, 则 b?a. D? C? 9. 如图, 在长方体 ABCD-A?B?C?D? 中, 指出 B?C, D?B 所在直线与各个面 B? A ? 所在平面的关系. D C A B 10. 如图, 过点 S 引三条不共面的直线 SA, SB, SC, 其中∠BSC=90?, ∠ASC=∠ASB=60?, 且SA=SB=SC=a. 求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. S

A
B

C

一、选择题. 1. 如图, 点 P, Q, R, S 分别在正方体的四条棱 上, 并且是所在棱的中点, 则直线 PQ 与 RS 是异面 直线的图是 ( C )
P
Q R S R S P

R
Q R S Q P S

P

Q

(A) 平行

(B) 平行

(C) 异面

(D) 相交

2. 下列命题中, 错误的命题是 ( A ) (A) 平行于同一直线的两个平面平行 (B) 平行于同一平面的两个平面平行 (C) 一条直线与两个平行平面中的一个相交, 那 么这条直线必与另一个相交 (D) 一条直线与两个平行平面所成的角相等

3. 在正体 ABCD-A1B1C1D1 中, 若 E 是 A1C1 的 中点, 则直线 CE 垂直于 ( B ) (A) AC (B) BD (C) A1D (D) A1D1
分析: 如图, (A) AC 与 CE 相交, 排除.
A1 D1 E B1 C B C1

(B) 直观 BD 可能垂直 CE.
∵BD⊥AC, 且 BD⊥CC1, D 则 BD⊥平面 ACC1A1, A 而 CE?平面 ACC1A1, ∴BD⊥CE.

4. 下列命题中, 正确的是 ( A ) (A)一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分
一个平面如图. 两个平面如图. 三个平面如图. 四个平面如图.

5. 已知直线 l⊥平面 a, 直线 m?平面 b, 有下列 命题: ① a//b?l⊥m; ② a⊥b?l//m; ③ l//m?a⊥b; ④ l⊥m?a//b. 其中正确的命题是 ( D ) (A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③
m
l

b

a

l

b
m a

l

b
m a

l

b
m a

①成立

②反例

③成立

④反例

二、填空题.

6. 若点 M 在直线 a 上, a 在平面 a 内, 则 M, a, a 间的关系可用集合语言表示为 M?a, a?a .

7. 设 a, b, c 是空间的三条直线, 下面给出四个 命题: ① 若 a⊥b, b⊥c, 则 a//c; ② 若 a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 也是异面直线; ③ 若 a 和 b 相交, b 和 c 相交, 则 a 和 c 也相交; ④ 若 a 和 b 共面, b 和 c 共面, 则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是 0 个 . D1 C1 a ①反例如图. b A1 B1 ②反例如图. b c ③反例如图. ④反例如图.
D

c
B

C

A

三、解答题.
8. (1) 用符号语言表示语句: “直线 l 经过平面 a 内一定点 P, 但 l 在 a 外”, 并画出图形. (2) 把下面的符号语言改写成文字语言的形式, 并画出图形. 若直线 a?平面 a, A?a, A?a, A?直线 b, a//b, 则 b? a . 解: (1) P?l, P?a, l?a. l P

a

三、解答题.
8. (1) 用符号语言表示语句: “直线 l 经过平面 a 内一定点 P, 但 l 在 a 外”, 并画出图形. (2) 把下面的符号语言改写成文字语言的形式, 并画出图形. 若直线 a?平面 a, A?a, A?a, A?直线 b, a//b, 则 b? a . 解: (2) 若直线 a 和点 A 都在平面 a 内, a 不 经过点 A, 直线 b 经过点 A 且平行于 a, 则直线 b 在平面 a 内. a
A

·

b

a

9. 如图, 在长方体 ABCD-A?B?C?D? 中, 指出 B?C, D?B 所在直线与各个面所在平面的关系. D? 解: B?C?平面B?BCC?, C? B? A ? B?C//平面A?ADD?, B?C∩平面A?ABB?=B?, D C B?C∩平面ABCD=C, A B B?C∩平面C?CDD?=C, B?C∩平面A?B?C?D?=B?. D?B∩平面ABCD=B, D?B∩平面A?B?C?D?=D?, D?B∩平面A?ABB?=B, D?B∩平面B?BCC?=B, D?B∩平面C?CDD?=D?, D?B∩平面D?DAA?=D?.

10. 如图, 过点 S 引三条不共面的直线 SA, SB, SC, 其中∠BSC=90?, ∠ASC=∠ASB=60?, 且 SA=SB=SC=a. 求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. A 证明: ∵∠ASC=∠ASB=60?, SA=SB=SC=a. B S ∴△ASC≌△ASB, ?AB=AC. E 取 BC 的中点 E, 则 AE⊥BC. ① C 在等腰直角△BSC 中, 斜边中线 SE=CE. 在等边三角形 ASC中, AC=AS. ∴△AES≌△AEC. 得∠AES=∠AEC, 即 AE⊥ES. ② 由①②知AE⊥平面 BSC. ∵AE?平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 BSC.

耶!第二章完啦!


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