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2014人教版高二数学下期末测试题及答案


2014 人教版高二数学下期末测试题
共 150 分 .

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
参考公式: 若数列{an }满足 a1 =1,a2 =1,an = an -1 + an -2,则 a n =

1 5

[(

1? 5 n 1? 5 n ) -( )] 2 2

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知 E、F、G、H 是空间四点,设命题甲:点 E、F、G、H 不共面;命题乙:直线 EF 与 GH 不相交,那么甲是乙的 A.分不必要条件 C.充要条件 ( ) B.必要不充分条件 D.不充分不必要条件

2.平面内有 4 个红点和 6 个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任意三点不共线,则 过这 10 个点中的两点所确定的直线中,至少过一个红点的直线的条数是( A.27 B.28 C.29 D.30 )

3.某人制定了一项旅游计划,从 7 个旅游城市中选择 5 个进行游览。如果 A、B 为必选城市,并 且在游览过程中必须按先 A 后 B 的次序经过 A、B 两城市(A、B 两城市可以不相邻) ,则有 不同的游览线路 A.120 种 B.240 种 ( ) D.600 种 )

C.480 种

4. 三位同学乘同一列火车,火车有 10 节车厢,则至少有 2 位同学上了同一车厢的概率为( A.

29 200

B.

7 125

C.

7 18

D.

7 25

5.某一供电网络,有 n 个用电单位,每个单位在一天中用电的机会是 p,则供电网络中一天 平均 用电的单位个数是 A.np(1-p) B.np ( C.n ) D.p(1-p) ( )

6.若 0 为平行四边形 ABCD 的中心, AB ? 4e1 , BC ? 6e2 , 则3e2 ? 2e1 等于 A. AO B. BO C. CO D. DO

7.若 AB ? 3 e, CD ? ?5 e,且 | AD |? | BC | ,则四边形 ABCD 是 A.平行四边形 B.菱形
1





C.等腰梯形

D.非等腰梯形 )

8.以正方体的顶点为顶点作正四面体,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为( A.3:1 B. 3 : 1 C. 3 : 2 D. 2 : 3

9.地球半径为 R,A、B 两地均在北纬 45°圈上,两地的球面距离为 差的绝对值为 A. ( B.

?R ,则 A、B 两地的经度之 3


? 3

? 2

C.

2? 3

D.

? 4
( )

10.若 S = (x- 1)4 + 4(x- 1)3 + 6(x- 1)2 + 4(x- 1) + 1,则 S 化简后得 A.x4 B.(x- 2)4 C.x4 + 1 D.x4 - 1
y(

水 Q P

11.有一空容器,由悬在它上方的一根水管均匀地注水,直至 把容器注满。在注水过程中水面的高度曲线如右图所示, 其中 PQ 为一线段,则与此图相对应的容器的形状是( )



量)

空 O

x(时间)

A.

B.

C.

D.

12.四面体 A—BCD 中, BD ? 2 ,其余棱长均为 1,则二面角 A—BC—D 的大小是
A


D



A.

? 4

B.

? 3

B C

C. arctan

2 D. arctan 2 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将正确答案填在题中横线上 13.在 (1 ? x) 6 (1 ? x ? x 2 )的展开式中 , x 2的系数为

3 14.小明通过英语四级测试的概率为 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有一次获得通过的概率 _. 4
2

15.一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实圆,○表示空心圆) : ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将此若干个圆依次复制得到一系列圆,那么在前 2003 个圆中,有 16.在杨辉三角的斜线中, C0 0
0 C1

个空心圆.

C1 1 C1 2 C2 2
2 C3

C0 2
0 C3

C1 3 C1 4 C2 4

C3 3 C3 4 C4 4

C0 4

… … … …
0 1 1 0 0 1 0 2 每条斜线上的数字之和构造数列 C 0 0 ,C 1 ,C 2 + C 1 ,C 3 + C 2 ,C 4 + C 3 + C 2 ,…,

这个数列的第 n 项为

(用 n 的表达式表示) 。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分. 17. (本题满分 12 分)有 6 名同学站成一排,求: (1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法: (2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法: (3)甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.

18. (本题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD—A1 B1 C1D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4,E、 F 分别是棱 AB,BC 的中点,EF 与 BD 相交于 G. (1)求证:B1 EF⊥平面 BDD1 B1 ; (2)求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d; (3)求三棱锥 B1 —EFD1 的体积 V.

3

19. (本题满分 12 分)如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1 、N2 ,当元件 A、B、 C 都正常工作时,系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时, 系统 N2 正常工作,已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90,分别求系统 N1 、N2 正常工作的概率 P 1、P2 .
(N1 ) A A B B C C

(N2 )

20. (本小题满分 12 分)一个电路中有三个电子元件,它们接通的概率都是 m(0<m<1 ) 如图, 有如下三种联接方法:







(1)分别求出这三种电路各自接通的概率; (2)试分析这三种电路哪种性能最优,并证明你的结论.

4

1 21. (本题满分 12 分)抛一枚均匀硬币,正面或反面出现的概率都是 ,反复这样的投掷,数列 2
{an }定义如下:

?1, an ? ? ??1,

第 n 次投掷出现正面 第 n 次投掷出现反面

投 Sn =a1 +a2… ? an (n ? N * ) (1)S8 =2; (2)S2 ≠0,且 S8 =2

试分别求满足下列各条件的概率:

22. (本小题满分 14 分)如图,三棱柱的底面是边长为 2 的等边三角形,侧面 ABB1 A1 是 ∠A1 AB=60°的菱形,且平面 ABB1A1⊥ABC,M 是 A1B1 上的动点. (1)当 M 为 A1 B1 的中点时,求证:BM⊥AC; (2)试求二面角 A1 -BM-C 的平面角最小时三棱锥 M-A1 CB 的体积.

5

参考答案
一 择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分). 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B 9 B 10 A 11 C 12 D

1 2 解:只过一个红点的直线有 C1 条;过两个红点的直线有 C 2 条。共 29 条. 4 C 6 ? 1 ? 23 4 ?6 2 3 5 3 解: 1 . 2 C 2 C5 A 5 ? 600

4 解:3 人上火车的方式即基本事件的总数有 10×10×10= 103 个,仅有两人上了同一节车厢另一
2 1 1 人上了别的车厢的方式有 C3 C10 C1 9 种,3 人上了同一节车厢的方式有 C10 种,则至少有 2 位同
2 1 1 C3 C10 C1 7 9 ? C10 学上了同一车厢的概率为 . ? 3 25 10

11 解:从注水过程中水面的高度曲线可看出,下方应为圆台型,设圆台的高度为 h, 注满下方圆台 型容器的时间为 T, 当时间为 T/2 时,水面高度没有大到 h/2. 上方为圆柱形. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.10 14.

9 64

15.

446

16.

1 5

[(

1? 5 n 1? 5 n ) -( )] 2 2

15 解:∵2003=27×74+5,∴在前 2003 个圆中,有 74×6+2=446 个空心圆. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.
5 17. 解: (1) A1 4 A5 ? 480 种;…………………………………………………4 分 5 4 (2) A6 6 ? 2A5 ? A4 ? 504 种; 1 1 4 或 A5 5 (甲在尾)+ A 4 A 4 A 4 (甲不在尾)=120+384=504; 1 4 4 或 A6 6 ? 2A 4 A 4 ? A 4 ? 504 ; …………………………………………8 分 3 (3) A3 3A4 ? 144 种.

…………………………………………12 分 EF⊥BB1 , …………2 分

18. 证: (1)EF//AC,

EF⊥BD ,

可知 EF⊥平面 BDD1 B1 , 又 EF ? 面 B1 EF,

? 面EFB1 ? 面BDD1B1 .
6

…………4分

(2)在对角面 BDD1B1 中,作 D1 H⊥B1 G,垂足为 H,易证 D1H⊥面 B1 EF

? d ? D1 H 在 Rt?D1 HB1中, D1 H ? D1 B1 ? sin ?D1 B1 H ,
? D1 B1 ? 2 A1 B1 ? 2 ? 2 2 ? 4,sin ?D1 B1 H ? sin ?B1GB ? ? d ? D1 H ? 16 16 17 ? ??????8分 17 17 1 (3)U ? U B1 ? EFD1 ? U D1 ? B1EF ? ? d ? S ?B1EF 3 1 16 1 16 ? ? ? ? 2 ? 17 ? ??????12分 3 17 2 3

…………6 分

B1 B 4 ? , GB1 17

19. 解:分别记元件 A、B、C 正常工作的事件 A、B、C, 由题设得: P 1 =P(A·B·C)= P(A) ·P (B) ·P(C) = 0.8×0.9×0.9=0.648 ∴系统 N1 正常工作的概率为 0.648

…………2 分

…………………………4 分

……………………………6 分 ………………………9 分

P 2 = P (A) ·[1-P( B ? C)] ? P(A) ? [1 ? P( B) ? P(C)] = 0.80×(1-0.10×0.10) = 0.80×0.99 = 0.792 ∴系统 N2 正常工作的概率为 0.792.

………………………11 分

……………………………………12 分

20.解: (1)三种电路各自接通分别记为事件 A1 、A2 、A3 ,则 P (A1 )=m3 …………3 分 P (A2 )=1-(1-m)3 =3m-3m2 +m3 ………6 分 P (A3 )=2(1-m)m2 +m3 =2m2 -m3 ……9 分 (2)P (A2)-P (A1 )=3m-3m2 =3m(1-m) ∵0<m<1 ∴P (A2 )>P (A1 )………10 分

P (A2 )-P(A3)=2m3 -5m2 +3m=m(2m-3) (m-1)>0 ∴P (A2)>P (A3 )…11 分 故三个电子元件并联接通的概率最大,性能最优………………12 分
3 21.解: (1)当 S8 =2 时,在次试验中,正面是 5 次,反面是 3 次,共有 C8 种可能,因此,概率为

C 83 7 7 3 1 3 1 8 ?3 ( ) ( ) ? ? 或 C8 3 2 2 32 32 2

……5分

(2)当 S2 ≠0 即 a1 ? a 2 =1,S2 =2 或 a1 ? a 2 =-1 时 S2 =-2,
7

当 S2 =2 时,S8-S2 =0,即从第 3 次开始的 6 次中,正面出现 5 次,反面出现 3 次,因此这种
3 情况共有 C6 种

……8分

当 S2 =-2 时,S8 =2,S8 -S2 =4,即从第 3 次开始的 6 次中,正面出现 5 次,反面出现 1 次,
5 因此这种情况共有 C6 种,而任意投掷一枚硬币,有两种可能,反复投 8 次,共有 28 种可能.
5 3 C6 ? C6 13 ? 8 128 2

故概率为

…………12分

22.解: (1)∵ABB1A1 是菱形,∠A1AB=60°,且 M 为 A1 B1 的中点, ∴BM⊥A1 B1 , …………2分

又 A1B1 ∥AB,∴MB⊥AB.平面 ABB1A1 ⊥平面 ABC, ∴MB⊥平面 ABC. 又 AC ? 平面 ABC,∴BM⊥AC. …………6 分

(2)作 CN⊥AB 于 N,由于△ABC 为正三角形,知 N 为 AB 为中点,又平面 ABB1 A1⊥平面 ABC,∵CN⊥平面 A1ABB1,作 NE⊥MB 于 E 点,连 CE,由三垂线定理可知 CE⊥BM, ∴∠NEC 为二面角 A1 —BM—C 的平面角.………9 分 由题意可知 CN= 3 ,在 Rt△CNE 中,tg?NEC ?
3 要∠NEC , NE

最小,只要 NE 取最大值.

又∵△A1 B1B 为正三角形,∴当 M 为 A1B1 中点时,MB⊥平面 ABC,即 E 与 B 重合. 此时 NE 取最大值且最大值为 1,∴ tg?NEC ? 3 . ∴∠NEC 的最小值为 60°, ……10 分 此时VM ? A CB ? VC ? MA B ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 . ……14 分
1 1

3 2

2

8


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