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2014辽宁高考数学(理科)含答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | x ? 0} B.

{x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} )

B) ? (



D. {x | 0 ? x ? 1}

2.设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3.已知 a ? 2
?

B. 2 ? 3i
1 3

C. 3 ? 2 i

D. 3 ? 2i ) D. c ? b ? a )

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

5.设 a, b, c 是非零向量,学科 网已知命题 P:若 a ? b ? 0 ,b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:若 a //b, b// c ,则 a / / c , 则下列命题中真命题是( A. p ? q B. p ? q ) C. (?p) ? (?q) D. p ? (?q) )

6.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 )

7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?

? 2

D. 8 ?

? 4

8.设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

aa



9.将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

, ] 上单调递减 12 12 ? 7? ] 上单调递增 B.在区间 [ , 12 12
C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? 7?

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2



? ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3

10.已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y 2 ? 2 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点 为 F,则直线 BF 的斜率为( A. ) D.
3 2

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 3


11.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3] ZXXK

12.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.执行右侧的程序框图,若输入 x ? 9 ,则输出 y ? . ZXXK

14.正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物线 y ? ? x2 和 y ? x2 上, 如图所示, 若将一个质点 随机投入正方形 ABCD 中,学科网则质点落在阴影区域的概率是 .

15.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 9 4
. ZXXK

C 上,则 | AN | ? | BN |?

2 2 16.对于 c ? 0 , 当非零实数 a, b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 , 且使 | 2a ? b | 最大时, ?

3 a

4 5 ? 的最小值为 b c

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 18. (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

1 , b ? 3 ,求: 3

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E ( X ) 及方差 D( X ) . 19. (本小题满分 12 分)

0 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、F 分别为 AC、DC

的中点. (1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图) ,双曲线
2 2

x2 y 2 C1 : 2 ? 2 ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a b
(1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆心 过点 P,求 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2 x) ? (sin x ? 1) , g ( x) ? 3( x ? x) cos x ? 4(1 ? sin x) ln(3 ? 证明: (1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (

?
2

8 3

2x

?

).

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲学科网

如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段

PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为 N.

(1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} )

B) ? (



D. {x | 0 ? x ? 1}

2.设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3.已知 a ? 2
?

B. 2 ? 3i
1 3

C. 3 ? 2 i

D. 3 ? 2i ) D. c ? b ? a

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?



5.设 a, b, c 是非零向量,学科 网已知命题 P:若 a ? b ? 0 ,b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:若 a //b, b// c ,则 a / / c , 则下列命题中真命题是( A. p ? q B. p ? q ) C. (?p) ? (?q) D. p ? (?q) )

6.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 )

7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?

? 2

D. 8 ?

? 4

8.设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

aa



9.将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

, ] 上单调递减 12 12 ? 7? ] 上单调递增 B.在区间 [ , 12 12
C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? 7?

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2



? ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3
2

10.已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点 为 F,则直线 BF 的斜率为( A. ) D.
3 2

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 3


11.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3] ZXXK

12.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足:

① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.执行右侧的程序框图,若输入 x ? 9 ,则输出 y ? . ZXXK

14.正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物线 y ? ? x 和 y ? x 上, 如图所示, 若将一个质点
2 2

随机投入正方形 ABCD 中,学科网则质点落在阴影区域的概率是

.

15.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 9 4
. ZXXK

C 上,则 | AN | ? | BN |?

2 2 16.对于 c ? 0 , 当非零实数 a, b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 , 且使 | 2a ? b | 最大时, ?

3 a

4 5 ? 的最小值为 b c

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 18. (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

1 , b ? 3 ,求: 3

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E ( X ) 及方差 D( X ) . 19. (本小题满分 12 分)
0 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、F 分别为 AC、DC

的中点. (1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图) ,双曲线
2 2

C1 :

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

(1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆心 过点 P,求 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2 x) ? (sin x ? 1) , g ( x) ? 3( x ? x) cos x ? 4(1 ? sin x) ln(3 ? 证明: (1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (

?
2

8 3

2x

?

).

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲学科网 如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段

PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为 N. (1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

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