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高中数学


?第2课时

等差数列的性质

探究:已知等差数列{

则 am 与 系?

an

an }中,公差为d,

(n , m ∈ N*) 有何关

解:由等差数列的通项公式知 ① a n ? a1 ? ( n ? 1) d , ② a m

? a1 ? ( m ? 1) d , ①-② an ? am ? ( n ? m ) d ,

? an ? am ? (n ? m )d .
(这是等差数列通项公式的推广形式 )

等差数列性质:

an ? am ? (n ? m )d an ? am 当 m ? n 时, d ? . n?m

a12 ? a5 31 ? 10 ? 3. ? ? d? 12 ? 5 12 ? 5 ? a1 ? a 5 ? (1 ? 5) d ? 10 ? 4 ? 3 ? ? 2 . a19 ? a12 ? (19 ? 12 ) d ? 31 ? (19 ? 12 ) ? 3 ? 52 .
另解:

㈠推广后的通项公式

?a n ? a m ?(n-m)d ? ? a ? a n m ? ?d ? n?m
d=2, a101=154
d= -1, ap+q=0 d= 4, n=72

练习 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70,a80=112,求a101; (2) 若ap=q,aq=p (p≠q),求ap+q;

(3) 若a12=23,a42=143, an=263,求n.

? 等差数列的性质 ? 若数列{an} . {bn} 是公差分别为d1和 d2的等差数 列,则有下列性质:
(1) an = bn +(n-m) d1
(2)若数列{an}为等差数列,则数列{λan+b}(λ、b是常数 )

是公差为

λ d1

的等差数列.

(3)若数列{an}与{bn}均为等差数列,则{Aan+Bbn}也是 .公差为 A d +B d 等差数列
1 2

(4)若数列{an}为等差数列,则下标成等差数列且公差为 m的项ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)组成公差 为 md 的等差数列.

(4) 在 等 差 数 列 {an} 中 , 若 m + n = p + q(m , n , p , q∈N*),则 am+an=ap+qq

(5)若(m+n)/2=k,(m,n,k∈N*)则

am+an=2ak

(3){an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项 之和相等,且等于首末两项之和,即
.

a1+an=a2+an-1=?=ai+an-i+1=?

? 1.已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9, 则a5=( ) ? A.-4 B.4 ? C.-8 D.8 ? 解析:a5= (a3+a7)=-4. ? 答案:A

? 2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12 的值是 ? ( ) ? A.64 B.31 ? C.30 D.15 ? 解析:a8= (a7+a9)=8,a12 +a4 =2a8. ? a12=2a8-a4=15. ? 答案:D

? 3.在数列{an}中,a3、a10是方程x2-3x-5=0 的 两 根 , 若 {an} 是 等 差 数 列 , 则 a5 + a8 = ________. ? 解析: 由已知得 a3 + a10 = 3 ,又 a5 + a8 = a3 + a10,∴a5+a8=3. ? 答案:3

? 4 .若 48 , a , b , c ,- 12 是等差数列中的 连续五项,则a、b、c的值依次为 __________. ? 解析:由等差数列的性质知2b=48+(-12), ∴b=18,同理2a=48+b=66 ? ∴a = 33 ,同理 2c = b + ( - 12) = 6 , ∴ c = 3 , 故a,b,c的值依次为33,18,3. ? 答案:33,18,3

? 5.在等差数列{an}中,已知a2+a3+a23+a24= 48,求a13; ? 解:由m+n=p+q?am+an=ap+aq,得 ? a2+a24=a3+a23=2a13. ? ∵a2+a3+a23+a24=48, ? ∴4a13=48,∴a13=12.

? [例3] 已知四个数成等差数列,它们的和 为26,中间两项的积为40,求这四个数.

[解] 解法1:设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意, 得 b-a=c-b=d-c, ? ? ?a+b+c+d=26, ? ?bc=40.

? ?a=2, ?b=5, 解得? ?c=8, ? ?d=11,

? ?a=11, ?b=8, 或? ?c=5, ? ?d=2,

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

解法2:设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意, 得
? ?a1+?a1+d?+?a1+2d?+?a1+3d?=26, ? ? ??a1+d??a1+2d?=40, ? ?4a1+6d=26, 化简,得? 2 2 ? ?a1+3a1d+2d =40, ? ?a1=2, 解得? ? ?d=3, ? ?a1=11, 或? ? ?d=-3,

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

解法3:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根 据题意,得
? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ? ??a-d??a+d?=40,

?a=13, ? ? 2 ?4a=26, 化简,得? 2 解得? 2 3 ? a - d = 40 , ? ?d=± . 2 ?
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

? [点评] (1)对于项数有限的等差数列,用“对 称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的 (特别是在已知其和时 ),三个数的“对称设项 ” 是x-d,x,x+d;五个数是x-2d,x-d,x, x+d,x+2d;四个数则是x-3d,x-d,x+d, x + 3d 等等.本题解法 3 就是运用 “ 对称设项 法”,是三个解法中最简捷的. ? (2)除用对称设项方法外,也可以用“设基本量 法 ” ,即设出 a1 、 d ,运用通项公式表示所需 的项,它也能起到化多为少的作用.

? 迁移变式3 (1)有三个数成等差数列,它们 的和为9,积为-21,求这三个数. ? (2) 已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5 , 平方和为 ,求这5个数.

解:(1)设这三个数依次为x-d,x,x+d.
? ??x-d?+x+?x+d?=9, 则? ? x· ?x+d?=-21, ??x-d?· ? ?x=3, ∴? ? 4. ?d=±

∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.

(2)设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a-2d,a -d,a,a+d,a+2d. 由已知有

? ??a-2d?+?a-d?+a+?a+d?+?a+2d?=5, ? 85 2 2 2 2 2 ?a-2d? +?a-d? +a +?a+d? +?a+2d? = , ? 9 ? ? ?5a=5, ∴? 2 85 2 5a +10d = . ? 9 ?
2 ∴a=1,d=± . 3

? [例1] 已知等差数列{an}, ? (1)若a2+a3+a25+a26=48,求a14; ? (2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.

? [分析] 等差数列的首项a1和公差d是等差数列 中最基本的两个量.本题如果是利用已知条件 列出关于a1和d的方程(或方程组).进而求出a1 和 d ,当然可使问题获解.但若能结合等差数 列的几个基本性质进行解题,可以收到事半功 倍的效果. ? [解] (1)∵a2+a26=a3+a25=2a14, ? ∴a2+a3+a25+a26=4a14=48. ? 解得a14=12.

(2)∵a2+a5=a3+a4, ∴a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34. 解得a2+a5=17. 又已知a2a5=52, 联立解得a2=4,a5=13,或a2=13,a5=4. a5-a2 当a2=4,a5=13时,d= =3; 5-2 a5-a2 当a2=13,a5=4时,d= =-3. 5-2 ∴公差d为3或-3.

? [点评] 本题考查等差数列的两个基本性 质.解题时应注意题中所给各项的关系, 注意第(2)题应有两组结果.

? 迁移变式1 (1)设{an}为等差数列,若a3+a4 +a5+a6+a7=450,求a2+a8; ? (2) 在等差数列 {an} 中, a3 + a5 + a7 + a9 + a11 =100,求3a9-a13的值. ? 解:(1)a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8, ? ∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450. ? ∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180. ? (2)由a3+a5+a7+ a9+a11=5a7=100得 a7= 20.∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)=2a7= 40.

? [例2] 若数列{an}为等差数列,a15=8,a60 =20,求a75的值. ? [分析] 方法1:先求出a1和d,确定通项公 式an,从而得出a75.方法2:本题也可根据性 质: {an} 为等差数列,则 a15 , a30 , a45 , a60 , a75也为等差数列,再进行求解.

[解] 解法1:∵a15=a1+14d,a60=a1+59d.

?a =64, ? 1 15 ? ?a1+14d=8, ∴? 解得? ? a + 59 d = 20 , ? 1 ?d= 4 . ? 15

? ? ? ? ?

解法2:∵{an}为等差数列, ∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列. 设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项. ∴a60=a15+3d,∴20=8+3d,解得d=4. ∴a75=a60+d=20+4=24.

64 4 ∴a75=a1+74d= +74× =24. 15 15

? [点评] 等差数列中项数成等差的项仍然组 成等差数列,解法2正是应用等差数列这一 性质解题的.

? 迁移变式2 已知数列{an}为等差数列. ? (1)若a15=10,a45=90,求a60; ? (2) 公差 d =- 2 ,且 a1 + a4 + a7 +?+ a97 = 50,求a3+a6+a9+?+a99的值.

解:(1)∵在等差数列{an}中,a15,a30,a45,a60成等差数 a15+a45 10+90 列,∴a30= = =50,∴a60=2a45-a30=2×90- 2 2 50=130. (2)a3+a6+a9+?+a99=(a1+a4+a7+?+a97)+2d×33= 50-66×2=-82.

2 1 1 5 7 d= 时,这5个数分别是- , ,1, , ; 3 3 3 3 3 2 7 5 1 1 d=- 时,这5个数分别是 , ,1, ,- . 3 3 3 3 3 1 1 5 7 7 5 1 1 综上,5个数分别为- , ,1, , 或 , ,1, ,- . 3 3 3 3 3 3 3 3

? [例4] 已知f(x)是定义在正整数集N*上的函 数,当x为奇数时,f(x+1)-f(x)=1;当x为 偶数时,f(x+1)-f(x)=3,且f(1)+f(2)=5. ? (1) 求 证 : f(1) , f(3) , f(5) , ? , f(2n - 1)(n∈N*)成等差数列. ? (2)求f(n)的解析表达式.

? ? ? ? ? ? ?

[解] (1)∵x为奇数时,x+1为偶数, ∴由已知条件,可得 f(x+1)-f(x)=1, ① f(x+2)-f(x+1)=3, ② ①+②,得f(x+2)-f(x)=4. 又f(x)定义在N*上, ∴ f(1) , f(3) , ? , f(2n - 1)(n∈N*) 成等差数 列.

(2)∵f(2)-f(1)=1,f(1)+f(2)=5, ∴f(1)=2,f(2)=3. 又f(n+2)-f(n)=4,
? ?2n ?n为奇数?, ∴f(n)=? ? ?2n-1 ?n为偶数?.

? 迁移变式4 已知函数f(x)=2x,等差数列{an} 的公差为2. ? 若 f(a2 + a4 + a6 + a8 + a10) = 4 , 则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·?·f(a10)]=________.

? 解析:∵f(a2+a4+a6+a8+a10)=2a2+a4+ a6+a8+a10=4, ? ∴a2+a4+a6+a8+a10=2. ? 又 ∵ a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = (a2 - d) + (a4 - d) +?+(a10-d)=2-5d=-8, ? ∴a1+a2+?+a10=2+(-8)=-6. ? ∴log2[f(a1)f(a2)·?·f(a10)] = log2(2a1 + a2 +?+a10)=a1+a2+?+a10=-6. ? 答案:-6

1.如何理解等差中项 a+c 若b= ,则称b为a、c的等差中项,它与三数a、b、c成 2 等差数列可以相互推出. a +c 若a、b、c成等差数列,那么b= ,2b=a+c,b-a=c 2 -b,a-b=b-c都是等价的. 1 用递推公式an+1= (an+an+2)给出的数列也是等差数列,an+ 2
1称为an、an+2的等差中项.

2.等差数列常用的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列,则有: an-a1 am-ak (1)d= = (m、n、k∈N*). n-1 m-k (2)若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),则am+an=ap+aq. m+n (3)若 =k,则am+an=2ak(m、n、k∈N*). 2 (4)若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之 和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=?=ai+1 +an-i=?. (5)数列{λan+b}(λ、b是常数)是公差为λd的等差数列.

? 3.等差数列的常见设法 ? (1) 若三个数成等差数列,可设为 a - d , a , a +d ; ? (2)若五个数成等差数列,可设为a-2d,a-d, a,a+d,a+2d; ? (3)若四个数成等差数列,可设为a-3d,a-d, a+d,a+3d.


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