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2017届北师大版 三角函数与平面向量的综合应用 专项强化训练


专项强化训练(二)
三角函数与平面向量的综合应用 一、选择题 1.(2015·济宁模拟)已知向量 a=(1, 则 tanθ =( A. ) B. C.D.),b=(cosθ ,sinθ ),若 a∥b,

【解析】选 B.因为 a∥b, 所以 sinθ即 sinθ= cosθ=0, cosθ.故 tanθ= 中 , 角 . A,B,C 的 对 边 分 别 为

2. 在 △ ABC

a,b,c,m=(bcosC,-1),n=((c-3a)cosB,1),且 m∥n,则 cosB 的值为 ( A. ) B.C. D.-

【解题提示】 利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可解. 【解析】选 A.由 m∥n,得 bcosC+(c-3a)cosB=0. 所以 = .

则 c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2). 所以 2a2c=3a(a2+c2-b2),则 = 于是 cosB= = . .

3.(2015· 临沂模拟)若向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),则 a 与 b 一定满足( ) B.a⊥b

A.a 与 b 的夹角等于α -β
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C.a∥b

D.(a+b)⊥(a-b)

【解题提示】欲求 a 与 b 满足的关系,先利用平面向量数量积公式, 判断 a 与 b 是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断. 【解析】选 D.因为 a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(αβ),这表明这两个向量的夹角的余弦值为 cos(α-β). 同时,也不能得出 a 与 b 的平行和垂直关系. 因为计算得到(a+b)·(a-b)=0, 所以(a+b)⊥(a-b). 故选 D. 4.已知 a= 值范围 是( A.(0,1) ) B.(0,1] C.(0, ) D.(0, , ] ,b=(cosθ ,sinθ ),θ ∈(0,π ),则|a-b|的取

【解析】选 C.因为 a-b= 所以|a-b|= = = = , ,cos ∈(0,1).

因为θ∈(0,π),所以 ∈ 故|a-b|∈(0, ).

5.(2015 · 郑 州 模 拟 ) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为
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a,b,c,cosC= , A.

· B.

=-2 且 a+b=5,则 c 等于( C.4 · D.

)

【解题提示】 由已知 cosC= ,

=-2,利用数量积公式得到 ab=8,

再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC 可求 c. 【解析】选 A.由已知 cosC= , · =-2,

得 b·a·cos(π-C)=-2? b·a·cosC=2, 所以 ab=8, 利 用 余 弦 定 理 可 得 ,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2 × 8-4=5. 所以 c= 故选 A. 二、填空题 6. 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若 m∥n,m⊥p,则△ABC 的形 状是 . .

【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解. 【解析】由 m∥n 可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得 sinB=2sinCcosA, 即 sin(A+C)=2sinCcosA. 从而 sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故 sinAcosC-cosAsinC=0.
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即 sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以 A-C=0,即 A=C. 由 m⊥p 可得 c-2bcosA=0, 从而 sinC-2sinBcosA=0, 故 sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即 sinAcosB-cosAsinB=0, 即 sin(A-B)=0,故 A-B=0,A=B. 所以 A=B=C. 故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形 7.(2015· 银川模拟)已知正三角形 OAB 中,点 O 为原点,点 B 的坐标是 (-3,4),点 A 在第一象限,向量 m=(-1,0),记向量 m 与向量 为α ,则 sinα 的值为 【解析】设向量 sinβ= , cos β =- ,sin α =sin( π - α )=sin 答案: 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2 cosB-sin(A-B)sinB+ ,b=5,则 在 方向上的投影为 . × = . = sin β cos β = × . 的夹角

与 x 轴正向的夹角为β,则α+β=π+ = ,且有

cos(A+C)=- ,若 a=4

【解题提示】 利用已知条件先转化求得 cosA,再利用正余弦定理可解.
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【解析】由 2cos2

cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=- ,得

[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=- , 即 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- . 则 cos(A-B+B)=- , 即 cosA=- . 由 0<A<π,得 sinA= , 由正弦定理,有 所以,sinB= = = . ,

由题知 a>b,则 A>B,故 B= , 根据余弦定理,有(4 )2=52+c2-2×5c× ,

解得 c=1 或 c=-7(舍去). 故向量 答案: 三、解答题 9.(2015 · 潍 坊 模 拟 ) 在 △ ABC 中 ,a,b,c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且 m·n=0. (1)求角 B 的大小. (2)设函数 f(x)=sin2xcos(A+C)- cos2x,求函数 f(x)的最小正周期, 最大值及当 f(x)取得最大值时 x 的值. 【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0, 即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 即 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.
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方向上的投影为|

|cosB= .

所以 2sinAcosB+sin(B+C)=0, 即 2sinAcosB+sinA=0. 因为 0<A<π,所以 sinA≠0. 所以 2cosB+1=0,所以 cosB=- . 又 0<B<π,所以 B= . (2)因为 f(x)=sin2xcos(A+C)- cos2x =-sin2x·cosB- cos2x = sin2x- cos2x =sin .

故 f(x)的最小正周期 T= =π. 当 2x- =2kπ+ ,k∈Z 即当 x=kπ+ ,k∈Z 时,f(x)max=1. 已知平面向量 a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ), 其中 0< φ < π , 且函数 f(x)=(a · b)cosx+(b · c)sinx 的图象过点 . (1)求φ的值及函数 f(x)的单调增区间. (2)先将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,然后将得到函数图象 上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图 象,求函数 y=g(x)在 上的最大值和最小值.

【解题提示】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化 简函数解析式,由函数 f(x)的图象过定点确定φ的值,并由此求函数 f(x)的单调增区间.
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(2)先根据图象变换的法则确定函数 g(x)的表达式,并由此根据给定 的范围求函数 g(x)的最值. 【解析】(1)因为 a·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x), b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x). 所以 f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx =cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx =cos(φ-x-x) =cos(2x-φ), 即 f(x)=cos(2x-φ), 所以 f =cos =1,而 0<φ<π,

所以φ= . 所以 f(x)=cos ,

由 2kπ-π≤2x- ≤2kπ. 得 kπ- ≤x≤kπ+ , 即 f(x)的单调增区间为 (2)由(1)得,f(x)=cos y=cos 于是 g(x)=cos 当 x∈ =cos . (k∈Z). ,平移后的函数为 ,

时,- <x- < .

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所以 ≤cos

≤1,

即当 x= 时,g(x)取得最小值 , 当 x= 时,g(x)取得最大值 1. 10.(2015· 保定模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 向量 m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC- ),且 m⊥n. (1)求 A 的大小. (2) 现给出下列四个条件 : ① a=1; ② b=2sinB; ③ 2c-( +1)b=0; ④

B=45 °.试从中再选择两个条件以确定△ ABC, 求出你所确定的△ABC 的面积. 【解析】(1)因为 m⊥n, 所以-cosBcosC+sinBsinC- =0, 即 cosBcosC-sinBsinC=- ,cos(B+C)=- , 因为 A+B+C=180°, 所以 cos(B+C)=-cosA, 所以 cosA= ,又 0°<A<180°, 所以 A=30°. (2)选择①③可确定△ABC. 因为 A=30°,a=1,2c-( 由余弦定理 12=b2+ 整理得 b2=2,b= ,c= +1)b=0, -2b· . bcos30°,

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所以 S△ABC= bcsinA= × = .

×

×

【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC. 因为 A=30°,a=1,B=45°, 所以 C=105°. 因为 sin105°=sin(60°+45°) =sin60°cos45°+cos60°sin45°= 由正弦定理 得 b= = = = , , × = . ,

所以 S△ABC= absinC= ×1×

11. 已 知 向 量 a=(cos α ,sin α ),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin α ,cosx+2cosα ),其中 0<α <x<π . (1)若α = ,求函数 f(x)=b·c 的最小值及相应 x 的值. (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan2α 的值. 【解析】(1)因为 b=(cosx,sinx), c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα), α= ,所以 f(x)=b·c =cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα =2sinxcosx+ 令 t=sinx+cosx 则 2sinxcosx=t2-1,且-1<t<
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(sinx+cosx). , .

则 y=t2+ -1<t< ,

t-1=

- ,

所以 t=- 时,ymin=- , 此时 sinx+cosx=- , 即 sin =- ,

因为 <x<π,所以 <x+ < π, 所以 x+ = π,所以 x= .

所以函数 f(x)的最小值为- , 相应 x 的值为 .

(2)因为 a 与 b 的夹角为 , 所以 cos = =cosαcosx+sinαsinx

=cos(x-α).因为 0<α<x<π,所以 0<x-α<π, 所以 x-α= . 因为 a⊥c,所以 cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0, 所以 sin(x+α)+2sin2α=0, 即 sin +2sin2α=0.

所以 sin2α+ cos2α=0, 所以 tan2α=- .

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