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02 导数的应用答案


答案 1.A 2.A 5.D 6.A 7.D 8.C

9.(I)解: f '( x ) ? 3 a x 2 ? 2 b x ? 3, 依题意, f '(1) ? f '( ? 1) ? 0, 即
?3a ? 2b ? 3 ? 0 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0

解得

a ?

1 ,b ? 0 .
3 2

? f ( x ) ? x ? 3 x , f '( x ) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1).

令 f '( x ) ? 0, 得 x ? ? 1, x ? 1. 若
x ? ( ? ?, ? ? 1) ( 1 ? ? ) f, '( x ) ? 0 , 则

,故

f ( x ) 在 ( ? ? , ? 1) 上是增函数, f ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数。



x ? ( ? 1 , 1则, f '( x ) ? 0 ,故 ) f ( x ) 在 ( ? 1,1)

上是减函数。

所以, f ( ? 1) ? 2 是极大值; f (1) ? ? 2 是极小值。 (II)解:曲线方程为 y ? x 3 ? 3 x . 点 A (0,1 6 ) 不在曲线上。 设切点为 M ( x 0 , y 0 ), 则点 M 的坐标满足
y0 ? x0 ? 3 x0
3

因 f '( x 0 ) ? 3( x 0 2 ? 1), 故切线的方程为
y ? y ?3 ( x 0 0
2

? 1 ) (x ? 0 ) x

注意到点 A (0,1 6 ) 在切线上,有
1 6 ? ( x 0 ? 3 x 0 ) ? 3( x 0 ? 1)(0 ? x 0 )
3 2

化简得 x 0 3 ? ? 8, 解得 x 0 ? ? 2 . 所以,切点为 M ( ? 2, ? 2 ), 切线方程为
9x ? y ? 1 6 ? 0

10. (I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)(3,+∞) , . (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在[-1, 2]上单调 递增,又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间 [-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

11.解法一: ⑴ 由图像可知,在 ? ? ? ,1 ? 上
f '? x ? ? 0



在 ? 1, 2 ? 上 f ' ? x ? ? 0 ,在 ? 2, ? ? ? 上 f ' ? x ? ? 0
( 故 f ( x ) 在 - ? , 1) , ( 2, + ? ) 上递增,在 (1 ,2 ) 上递减,

因此 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值,所以 x 0 ? 1 ⑵ f ' ( x ) ? 3ax 2 ? 2bx ? c,
' ' ' 由 f( 1) 0, f( 2) = 0, f( 1) = 5,

? 3 a ? 2 b ? c ? 0, ? 得 ?1 2 a ? 4 b ? c ? 0, ? a ? b ? c ? 5, ?

解得 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12.

解法二: ⑴ 同解法一 ⑵ 设 f ' ( x ) ? m ( x ? 1)( x ? 2 ) ? m x 2 ? 3 m x ? 2 m , 又 f ' ( x ) ? 3ax 2 ? 2bx ? c, 所以 a ?
f (x) ? m 3 m 3 x ?
3

,b ? ? 3 2

3 2

m, c ? 2m
2|

m x ? 2m x,

由 f (1) ? 5, 即
m 3 ? 3 2 m ? 2 m ? 5,

得 m ? 6, 所以 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12

12.⑴ f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b 由 f?( - a= -
1 2 2 3

)=

12 9



4 3

a + b = 0 ,f?(1)=3+2a+b=0



,b=-2

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x (-?,-
2 3

) - 0

2 3

(- -

2 3

,1)

1 0

(1,+?) +

f?(x) + f(x) ?

极大值 ?
2 3

极小值 ? )与(1,+?)

所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 递减区间是(- ,1)
3 2

⑵f(x)=x3- x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,
2

1

当 x=- 时,f(x)=
3

2

22 27

+c

为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c2?f(2)=2+c 解得 c?-1 或 c?2

13.解:由已知得函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, ? ? ) ,且 f ' ( x ) ?

ax ? 1 x ?1

( a ? ? 1),

⑴ 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ' ( x ) ? 0, 函数 f ( x ) 在 ( ? 1, ? ? ) 上单调递减, ⑵ 当 a ? 0 时,由 f ' ( x ) ? 0, 解得 x ?
f (x) 、 f ( x) 随 x
'

1 a

.

的变化情况如下表
( ? 1, 1 a ) 1 a ( 1 a , ?? )

x
f (x)
f (x)
'


?

0 极小值

+
?

从上表可知 当 x ? ( ? 1, ) 时, f ' ( x ) ? 0, 函数 f ( x ) 在 ( ? 1, ) 上单调递减.
a 1 a 1 a a 1 1

当 x ? ( , ? ? ) 时, f ' ( x ) ? 0, 函数 f ( x ) 在 ( , ? ? ) 上单调递增. 综上所述: 当 ? 1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ( ? 1, ? ? ) 上单调递减. 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ( ? 1, ) 上单调递减,函数 f ( x ) 在 ( , ? ? ) 上单调递增.
a a 1 1

14.⑴ 令 f ?( x ) ? ( ? x 3 ? 3 x ? 2 ) ? ? ? 3 x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或 x ? ? 1 当 x ? ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 所以,函数在 x ? ? 1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值,故
x 1 ? ? 1, x 2 ? 1 , f ( ? 1) ? 0 , f (1) ? 4

所以, 点 A、B 的坐标为 A ( ? 1, 0 ), B (1, 4 ) .
PA Q ⑵ 设 p ( m , n ) , ( x , y ) , ? PB ? ? ? 1 ? m , ? n ? ? ?1 ? m , 4 ? n ? ? m 2 ? 1 ? n 2 ? 4 n ? 4
k PQ ? ?
y?m 2

1 2

,所以

y?n x?m

? ?

1 2

, 又 PQ 的 中 点 在 y ? 2 ( x ? 4 ) 上 , 所 以

?x?n ? ? 2? ? 4? ? 2 ?
2 2

消去 m , n 得 ? x ? 8 ? ? ? y ? 2 ? ? 9

15.解法 1:依定义 f ( x ) ? x 2 (1 ? x ) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,
2 则 f ?( x ) ? ? 3 x ? 2 x ? t .

若 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是增函数

, 则在 ( ? 1,1) 上可设 f ? ( x ) ? 0 .

2 2 ? f ? ( x ) ? 0 ? t ? 3 x ? 2 x , 在区间 ( ? 1,1) 上恒成立 , 考虑函数 g ( x ) ? 3 x ? 2 x ,

由于 g ( x )的图象是对称轴为

x ?

1 3

,

开 口 向 上 的 抛 物 线 , 故 要 使 t ? 3x 2 ? 2x 在 区 间 ( - 1 , 1 ) 上 恒 成 立
? t ? g ( ? 1), 即 t ? 5 .

而当 t ? 5时 , f ? ( x ) 在 ( ? 1,1) 上满足 f ? ( x ) ? 0 , 即 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是增函数
故 t的取值范围是 t ? 5.

.

解法 2:依定义 f ( x ) ? x 2 (1 ? x ) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,
2 f ?( x ) ? ? 3 x ? 2 x ? t .

若 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是增函数

, 则在 ( ? 1,1) 上可设 f ? ( x ) ? 0 .

? f ? ( x ) 的图象是开口向下的抛物线,

? 当且仅当 f ? (1) ? t ? 1 ? 0 , 且 f ? ( ? 1) ? t ? 5 ? 0时
f ? ( x ) 在 ( ? 1,1) 上满足 f ? ( x ) ? 0 , 即 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是增函数 故 t 的取值范围是 t ? 5. .

16.⑴ 解:当 cos ? ? 0 时, f ( x ) ? 4 x 3 ,则 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内是增函数,故无 极值. ⑵ 解: f '( x ) ? 12 x 2 ? 6 x cos ? ,令 f '( x ) ? 0 ,得
x1 ? 0, x 2 ? co s ? 2

由⑴ ,只需分下面两种情况讨论. ①当 cos ? ? 0 时,随 x 的变化 f '( x ) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表: x
f '( x ) (?? , 0)

0 0 极大值
co s ? 2

(0 ,

co s ? 2

)

co s ? 2

(

co s ? 2

, ?? )

+ ↗


co s ? 2

0 极小值

+ ↗

f (x)

因此,函数 f ( x ) 在 x ?
f( co s ? 2 )? ? co s ? 2 1 4 co s ? ?
3

处取得极小值 f(

)

,且

3 16

?
1 4 co s ? (co s ? ?
2

要使 f (

) ? 0 ,必有 ?
3 2

3 4

) ? 0 ,可得 0 ? co s ? ?
1 1? 6

3 2

由于 0 ? co s ? ?

,故

?
6

?? ?

?
2



3? 2

?? ?

②当时 cos ? ? 0 ,随 x 的变化, f '( x ) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(?? ,

co s ? 2

)

co s ? 2

(

co s ? 2

, 0)

0

(0, ? ? )

f '( x ) f (x)

+
?

0 极大值

?

0 极小值

+
?

因此,函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极小值 f (0) ,且
f (0 ) ? 3 16 co s ? .

若 f (0 ) ? 0 ,则 c o s ? ? 0 。矛盾。所以当 c o s ? ? 0 时, f ( x ) 的极小值不会大于 零。 综上,要使函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内的极小值大于零,参数 ? 的取值范围为
(

? ?
, 6 2

)?(

3? 1 1? , )。 2 6 co s ? 2 , ?? )

⑶ 解:由(II)知,函数 f ( x ) 在区间 ( ? ? , ? ? ) 与 (

内都是增函数。

由题设,函数 f ( x ) 在 (2 a ? 1, a ) 内是增函数,则 a 须满足不等式组
2a ? 1 ? a a ? 0

2a ? 1 ? a


?
6

2a ? 1 ?

1 2

cos ?

由⑵ ,参数时? ?(
2 a ? 1? 1 2

,

?
2

) ?

3 3 ? 1 1? ( , ) 时 , 0 ? c o ?s ? 2 2 6 3 4

。要使不等式
3 ? a

c o? s关于参数 ?

恒成立,必有 2 a ? 1 ?
? a ? 1。 4? 8 3

,即

4? 8



综上,解得 a ? 0 或

4? 8

3

所以 a 的取值范围是 ( ? ? , 0 ) ? [

,1)




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