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惠州市2013届高三第二次调研考试数学(理科)试题及详细评分答案


惠州市 2013 届高三第二次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再

选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 为锥体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1. 已知复数 z ? i (1 ? i ) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

3 2.集合 M ? ? 4, 5, ? 3 m ? , N ? ? ? 9 ,? ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为(

A. 3 或 ? 1

B. 3

C. 3 或 ? 3

D. ? 1 )

3. 等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 ? 6 , a 1 ? 4 ,则公差 d 等于( C. ? 2 D. 3 3 ? ? ? ? ? 4. 已知向量 a ? ? co s a , ? 2 ? , b ? ? sin a ,1 ? ,且 a // b ,则 tan ( a ? ) 等于( 4 A.1 B. A. 3
a b

5



B. ? 3

C.

1 3

D. ? )

1 3

5. “ 2 ? 2 ”是“ lo g 2 a ? lo g 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 6.若抛物线 y ? 2 p x 的焦点与椭圆
2

B.既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为(



6

2

数学试题(理科)

第 1 页 共 12 页

A.-2

B.2

C.-4

D.4

7.某工厂从 2004 年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越 慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量 y 与时间 t 的函数图像可能是 ( y ) y y y

t

t

t

t

o

4
A

8
x

o

4
B
2

8

o

4
C

8

o

4
D

8 )

8.已知函数 f ( x ) ? e ? 1, g ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 ,若有 f ( a ) ? g ( b ) ,则 b 的取值范围为( A. 2 ?

?

2,2 ?

2

?

B. ? 2 ?
?

2,2 ?

2? ?

C. ? 1, 3 ?

D. ?1, 3 ?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f ( x ) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为
? 2 2? 10. ? x ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?
3


开始


输入x 是 f(x)>g(x) 否

11. 已知正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,E 、F 分别为 B B1 、
C C 1 的中点,那么异面直线 A E 与 D 1 F 所成角的余弦

h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

值为________.
输出h(x)

12.如图所示的算法流程图中, 若 f ( x ) ? 2 , g ( x ) ? x 则
x 2

结束

h ( 3) 的值等于

.

? x ? y ? 2, ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若目标函数 z ? y ? a x 仅在点 ? 5, 3 ? 处取得最小值, ? 0 ? y ? 3, ?

则实数 a 的取值范围为



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐

数学试题(理科)

第 2 页 共 12 页

标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R ) ,它与曲线
C

? x ? 1 ? 2 co s a ( a 为参数)相交于两点 A 和 B ,则 A B =_______. ? ? y ? 2 ? 2 sin a

B

O

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 A D 和割线

A

D

A B C ,已知 A D ? 2 3 , A C ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 A C 的距离





三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分) 已知向量 m ? ? sin A , co s A ? , n ? (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 4 cos A sin x ( x ? R ) 的值域.
??
?

?

?? ? 3 , ? 1 ,且 m ? n ? 1 , A 为锐角.

?

17. (本题满分 12 分) 某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 3 种服装商品、2 种家电 商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动。 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率; (2)商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高 180 元,同时允许 顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会, 若中奖, 则每次中奖都可获得奖金 100 元, 假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的,试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。

18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1 C1 中,侧棱 A A1 ? 底面 A B C , A B ? B C , D 为 A C 的中点,
A1 A

A A1 ? A B ? 2 .

(1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? A A1C 1 D 的体积为 3 , 求二面角 C ? B C 1 ? D 的正切值.
C1 C B1

D

B

数学试题(理科)

第 3 页 共 12 页

19. (本小题满分14分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆
???? ? ???? ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 A B 上
1 2

的一点, A M ? ? B M ,且点 M 在直线 l : y ? (1)求椭圆的离心率;

x 上.

(2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1 上,求椭圆的方程.
2 2

20. (本小题满分 14 分) 设 S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 S n ? ( m ? 1) ? m a n ( m 为正常数). (1)求证:数列 ? a n ? 是等比数列; (2)数列 ? b n ? 满足 b1 ? 2 a 1 , b n ?
b n ?1 1 ? b n ?1 , ( n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ? b n ? 的通项公式;

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2 n ?1 ? ? 的前 n 项和 T n . ? bn ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 ( e , f ( e )) 处的切线斜率为 3 ( e 为自然对数的底数) . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?
f (x) x ?1

对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值;
m

(3)当 m ? n ? 1 ( m , n ? Z ) 时,证明: ? n m

?

n

? ?mn

n

?

m



惠州市 2013 届高三第二次调研考试
数学(理科)参考答案与评分标准
数学试题(理科) 第 4 页 共 12 页

一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1
B

2
A

3
C

4
B

5
D

6
D

7
B

8
A

1. 【解析】1.提示:因为 z ? i (1 ? i ) ? ? 1 ? i ,所以 z ? i (1 ? i ) ? ? 1 ? i 对应的点在复平面的第二象 限. 故选 B . 2. 【解析】由 M ? N ? ? 可知 ? 3 m ? ? 9 或 ? 3 m ? 3 ,故选 A . 3. 【解析】 s 3 ? 6 ?
? ?
3 2 ( a 1 ? a 3 ) 且 a 3 ? a1 ? 2 d , a 1 ? 4 ,? d ? 2 .故选 C 1 2

4. 【解析】由 a // b ,得 cos ? ? 2 sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ? 故选 B 5. 【解析】注意 a , b 的正负号.故选 D . 6.【解析】椭圆的右焦点为 F ( 2, 0 ) ,?
p 2

,所以 tan (? ?

?
4

) ? ?3 ,

? 2 ,即 p ? 4 ,故选 D

7. 【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢, 知图象的斜率随 x 的变大而变小, 后四年年产量的增长速度保持不变,知图象的斜率不变,,故选 B . 8. 【 解 析 】 由 题 可 知 f ( x ) ? e ? 1 ? ? 1 g ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ? ( x ? 2 ) ? 1 ? 1 , 若 有 ,
x 2 2

f ( a )?

g ( b,则 g ( b ) ? ( ? 1,1] ,即 ? b ? 4 b ? 3 ? ? 1 ,解得 2 ? )
2

2 ?b? 2?

2 。故选 A .

二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只选做一题. 9. 0 , 6 ?
?

?

10. 12 15. 5

11.

3 5

12. 9

13. ?1, ? ? ?

14.

14

9. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
? x ?0 x ?0 ? x ?0 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? x x ?1 ? 2 lo g 6 ? 0 ? lo g 6 ? ?x ? 62 ? ? ? 2

? 0? x? 6
2 2

6 。

10. 【解析】 ( x ?
2

2 x

) 的展开式中的常数项即 T 2 ? 1 ? C 3 ( x )
3

3? 2

(?

2 x

) 。

2

11. 【解析】连接 D F , D 1 F ,则 D F // A E ,所以 D F 与 D 1 F 所成的角即为异面直线所成的角,设

数学试题(理科)

第 5 页 共 12 页

边长为 2 ,则 D F ? D1 F ?

5 ,在三角形 D D 1 F 中 co s D 1 F D ?

5?5?4 2? 5? 5

?

3 5

.

12. 【解析】 h ( x ) ? ?

?2x, 2x ? x2 ?x ,2 ? x
2 x 2

,由数形结合可知,当 2 ? x ? 4 时, h ? x ? ? x 所以有 h (3) ? 9
2

13. 【解析】目标函数 z ? y ? ax 可变为直线 y ? ax ? z ,斜率为 a ,仅在点 ?5 , 3 ? 处取得 最小值,只须 a ? 1 14. 【解析】直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) ? ? y ? 2 ? ? 4
2 2

? AB ? 2 2 ? (
2

1? 2 1?1

) ?
2

14

15. 【解析】先用切割线定理求出 B C 的长度,然后距离 d ?

r ?(
2

1 2

BC ) ?
2

5

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 m ?n ?
2 sin ( A ?

?? ?

3 sin A ? co s A ? 1 ???2 分

?
6

) ? 1 , sin ( A ?

?
6

)? ,

1 2 ),A?

???4 分
?
6 ?

由 A 为锐角 , 得 A ?

?
6

? (? 1 2

? ?
6 3

?
6

,A?

?
3

???6 分 ???7 分

(2)由(1)可得 co s A ?

所以 f ( x ) ? co s 2 x ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 2 sin x
2

? ? 2 (sin x ?

1 2

) ?
2

3 2

???9 分

因为 x ? R ,则 sin x ? [ ? 1,1] , 当 sin x ?
1 2 3 2

时, f ( x ) 有最大值

3 2

. 当 sin x ? ? 1 时, f ( x ) 有最小值 ? 3 , ???12 分

???11 分

故所求函数 f ( x ) 的值域是 [ ? 3, ] .

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中,选出 3 种商品,一共有
C 9 种不同的选法,选出的 3 种商品中,没有日用商品的选法有 C 5 种,??2 分
数学试题(理科) 第 6 页 共 12 页
3 3

所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 P ? 1 ?

C5 C9

3 3

? 1?

5 42

?

37 42

??4 分

(2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 ? ,其所有可能的取值为 0,100,200, 300。 (单元:元) ??6 分
1
3

? ? 0 表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P ( ? ? 0 ) ? ( ) ?
2

1 8

,??7 分

同理可得 P (? ? 1 0 0 ) ? C 3 ( ) ? ( ) ?
1 2

1

1

2

2

1 3 2 1 2 , P (? ? 2 0 0 ) ? C 3 ( ) ? ( ) ? 8 2 2 8,

3

1 3 1 P (? ? 3 0 0 ) ? ( ) ? 2 8

??9 分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
E (? ) ? 0 ? 1 8 ? 100 ? 3 8 ? 200 ? 3 8 ? 300 ? 1 8 ? 1 5 0 ? 1 8 0 ????11 分

故促销方案对商场有利。

????12 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 B C 1 相交于点 O ,连接 O D , ∵ 四边形 B C C 1 B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 A C 的中点,∴ O D 为 ? A B1C 的中位线, ∴ O D // A B1 . ?? 2 分
D A1 A

E

∵ O D ? 平 面 B C 1 D , A B1 ? 平 面 B C 1 D , ∴ A B1 // 平 面 B C 1 D . (2)解: 依题意知, A B ? B B1 ? 2 , ∵ A A1 ? 平 面 A B C , A A1 ? 平 面 A A1C 1C ,
C1

?? 4 分

B1

B

G
O C

F

∴ 平 面 A B C ? 平 面 A A1C 1C , 且 平 面 A B C ? 平 面 A A1C 1C ? A C 作 B E ? A C ,垂足为 E ,则 B E ? 平 面 A A1C 1C , 设 BC ? a ,
数学试题(理科) 第 7 页 共 12 页

??6 分

在 R t ? A B C 中, A C ?

AB ? BC
2

2

?

4 ? a , BE ?
2

A B ?B C AC

?

2a 4?a
2



∴四棱锥 B ? A A1C 1 D 的体积 V ?
?

1 3

?

1 2

( A1C 1 ? A D ) ?A A1 ?B E
4 ? a ? 2?
2

1 6

?

3 2

2a 4?a
2

? a。

?? 8 分

依题意得, a ? 3 ,即 B C ? 3 . (以下求二面角 C ? B C 1 ? D 的正切值提供两种解法) 解法 1:∵ A B ? B C , A B ? B B1 , B C ? B B1 ? B ,

?? 9 分

B C ? 平 面 B B1C 1C , B B1 ? 平 面 B B1C 1C ,∴ A B ? 平 面 B B1C 1C .?? 10 分

取 B C 的中点 F ,连接 D F ,则 D F // A B ,且 D F ? ∴ D F ? 平 面 B B1 C 1 C .

1 2

AB ? 1 .

作 F G ? B C 1 ,垂足为 G ,连接 D G ,由于 D F ? B C 1 ,且 D F ? F G ? F , ∴ B C 1 ? 平 面 D F G . 又∵ D G ? 平 面 D F G ,∴ B C 1 ? D G . ∴ ? D G F 为 二 面 角 C ? B C 1 ? D的 平 面 角 .
3 ?2 ? 13

?? 12 分



R t ? B G F ? R t ? B C C 1 ,得

GF C C1

?

BF B C1 13 3

,得 G F ?

B F ?C C 1 B C1

? 2

3 13 13

,

在 R t ? D F G 中, tan ? D G F ?

DF GF

?

.

∴二面角 C ? B C 1 ? D 的正切值为

13 3

.

?? 14 分

解法 2: ∵ A B ? B C , A B ? B B1 , B C ? B B1 ? B , B C ? 平 面 B B1C 1C , BB1 ? 平面 BB1C1C ,
z

∴ A B ? 平 面 B B1 C 1 C .

?? 10 分

A1

A

以点 B1 为坐标原点,分别以 B1C 1 , B1 B , B1 A1 所在直线为 x 轴,
数学试题(理科) 第 8 页 共 12 页
B1 B y D

y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz .

则 B (0, 2, 0) , C 1 (3, 0, 0 ) , A (0, 2, 2) , D ( , 2,1) .
2

3

???? ? ???? 3 ∴ B C 1 ? (3, ? 2, 0 ) , B D ? ( , 0 ,1) 2 ? 设平面 B C 1 D 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
?3 x ? 2 y ? 0 ? ???? ? ? ???? ? 由 n ? B C 1 ? 0 及 n ? B D ? 0 ,得 ? 3 ? x? z ?0 ? 2

令 x ? 2 ,得 y ? 3, z ? ? 3 . 故平面 B C 1 D 的一个法向量为 n ? ( 2, 3, ? 3) , 又平面 B C 1 C 的一个法向量为 A B ? (0, 0, ? 2 ) ,
? ??? ? ? ??? ? n ? A B 2 ? 0 ? 0 ? 3 ? ( ? 2 ) ? ( ? 3) ? ∴ co s ? n , A B ? ? ? ??? ? 2 ? 22 n AB
? ??? ? 3 22 13 22

?

?? 11 分

??? ?

3 22

.

?? 12 分

∴ sin ? n , A B ? ?

1? (

) ?
2

.

?? 13 分

∴ tan ? n , A B ? ?

? ??? ?

13 3

.

∴二面角 C ? B C 1 ? D 的正切值为 19. (本小题满分 14 分)

13 3

.

?? 14 分

解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) (1)由 A M ? ? B M 知 M 是 A B 的中点,
???? ? ???? ?

??????1 分

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 由? x2 y2 得: ( a ? b ) x ? 2 a x ? a ? a b ? 0 ???????4 分 ? 2 ?1 ? 2 b ?a

数学试题(理科)

第 9 页 共 12 页

x1 ? x 2 ?

2a
2

2 2

a ?b

, y 1 ? y 2 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?
2 2 2 2

2b
2

2 2

a ?b

????5 分

? M 点的坐标为 (

a
2

a ?b

,

b
2

a ?b

)

又 M 点在直线上:?

a
2

2 2

a ?b
2

?

2b
2

2 2

a ?b
2

?0

?6 分

? a ? 2b ? 2(a ? c )
2 2 2

? a ? 2c

2

?e?

c a

?

2 2

??7 分

(2)由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F ( b , 0 ) , 设 F ( b , 0 ) 关于直线 l : y ?
1 2 x 的对称点为 ( x 0 , y 0 ) ,??????8 分

? y0 ? 0 1 3 ? x ? b ? x ? b ?2 ? ? 1 ? 0 5 ? ? 0 则有 ? 解得: ? y ?y ? 4b ? x0 ? b ? 2? 0 ? 0 ? 0 ? 2 5 ? ? 2

?????11 分

由已知 x 0 ? y 0 ? 1 ,
2 2

3 2 4 2 ( b) ? ( b) ? 1 , 5 5

? b ? 1.
2

???13 分

所求的椭圆的方程为

x

2

? y ?1
2

?????14 分

2

20. (本小题满分 14 分) (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? ( m ? 1) ? m a1 ,解得 a1 ? 1 .???????1 分 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? m a n ?1 ? m a n .即 (1 ? m ) a n ? m a n ?1 .???????2 分 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴
an a n ?1 ? m 1? m
m 1? m

( n ? 2 ) .?????????3 分

∴数列 { a n } 是首项为 1,公比为

的等比数列.????????4 分

(2)解: b1 ? 2 a1 ? 2 . ?????????5 分 ∵ bn ?
b n ?1 1 ? b n ?1

,∴

1 bn

?

1 b n ?1

? 1 ,即

1 bn

?

1 b n ?1

? 1( n ? 2 ) .??????7 分

数学试题(理科)

第 10 页 共 12 页

∴?

? 1 ? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.???????????????8 分 2 ? bn ?
1 bn ? 1 2 ? ( n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1 2
2 2n ? 1



,即 b n ?
2
n ?1

2 2n ? 1
n

( n ? N ) .???????????9 分

?

(3)解:由(2)知 b n ?
2
2

,则
n

? 2 ( 2 n ? 1) .
n ?1

bn 2 ? 2

所以 T n ?
1

?

2

3

?
2

2

4

?? ?
3


? ( 2 n ? 3) ? 2 ? ( 2 n ? 1) ,
n n ?1

?10 分 ① ??11 分 ②???12 分

b1

b2

b3

b n ?1

bn
n ?1

即 Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2
2 3 4

则 2 T n ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2 ? (2 n ? 3) ? 2
n

? (2 n ? 1) ,

②-①得 T n ? 2 故 Tn ? 2
n ?1

n ?1

? (2 n ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4

n ?1

,????????13 分

? ( 2 n ? 1) ? 2 ?

2 (1 ? 2
3

n ?1

)

1? 2

? 2

n ?1

? ( 2 n ? 3) ? 6 .????????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x ) 是奇函数,所以 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,即
a ( ? x ) ? ( ? x ) ln | ? x ? b |? ? ( ax ? x ln | x ? b |)

??1 分, ??2 分, ??3 分, ??4 分

所以 ln | ? x ? b |? ln | x ? b | ,从而 b ? 0 此时 f ( x ) ? ax ? x ln | x | , f ( x ) ? a ? 1 ? ln | x |
/

依题意 f ( e ) ? a ? 2 ? 3 ,所以 a ? 1
/

(2)当 x ? 1 时,设 g ( x ) ? 则 g (x) ?
/

f (x) x ?1

?

x ? x ln x x ?1



x ? 2 ? ln x ( x ? 1)
2

??5 分
1 x

设 h ( x ) ? x ? 2 ? ln x ,则 h ( x ) ? 1 ?
/

? 0 , h ( x ) 在 (1 , ? ? ) 上是增函数

因为 h ( 3 ) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h ( 4 ) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 ? x 0 ? ( 3 , 4 ) ,使 h ( x 0 ) ? 0
/

??7 分

x ? (1 , x 0 ) 时, h ( x ) ? 0 , g ( x ) ? 0 ,即 g ( x ) 在 (1 , x 0 ) 上为减函数;

同理 g ( x ) 在 ( x 0 ,
数学试题(理科)

? ? ) 上为增函数

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从而 g ( x ) 的最小值为 g ( x 0 ) ?

x 0 ? x 0 ln x 0 x0 ? 1

? x0

所以 k ? x 0 ? ( 3 , 4 ) , k 的最大值为 3
m n n m

??9 分。

(3)要证 ( nm ) ? ( mn ) ,即要证 n ln n ? mn ln m ? m ln m ? mn ln n ??10 分, 即证 n (1 ? m ) ln n ? m (1 ? n ) ln m , n ? 1 ? m ? 1 设? ( x ) ? 则? ( x ) ?
/

n ln n

m ln m

??11 分,

x ln x x ?1

,x ?1

??12 分,

x ? 1 ? ln x ( x ? 1)
2

/ 设 g ( x ) ? x ? 1 ? ln x ,则 g ( x ) ? 1 ? x ? 0 , g ( x ) 在 (1 , ? ? 0 ) 上为增函数,

1

? x ? 1 , g ( x ) ? g (1) ? 1 ? 1 ? ln 1 ? 0 ,

从而 ? ( x ) ? 0 , ? ( x ) 在 (1 ,
/

? ? ) 上为增函数

因为 m ? n ? 1 ,所以 ? ( n ) ? ? ( m ) , 所以 ( nm
m

n ln n n ?1

?

m ln m m ?1

, ??14 分

)

n

? ( mn )
n

m

数学试题(理科)

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