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64东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-离散型随机变量的分布列-期望与方差-正态分布(理)B


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 064A

离散型随机变量的分布列-期望与方差-正态分布(理科)A 1.若离散型随机变量 ? 的分布列为

?
P 则称 E ? = 随机变量取值的 。把

x1 p1

x2 p2

? xi

? xn

? pi ? pn

为随机变量 ? 的均值,也称为期望,它反映了离散型 叫做随机变量方差, D? 的算术平 ,记作 。随机变量的方差与标

方根 D? 叫做随机变量 ? 的 准差都反映了随机变量取值的 有 。

。其中标准差与随机变量本身

2.若 ? =a ? +b(a,b 为常数),则 E ? =E(a ? +b)=______________;D ? =D(a ? +b)=____________;若 ? 服从两点分布,则 E ? = 若 X 服从二项分布, ? ~ B(n, p) , E ? = 即 则 ,D ? = ,?= D , 。

3.函数 ?? ,? ( x) ? ______________ 的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线。 4.对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足 P(a ? X ? b) ? ____________, 则称 X 的分布为正态分布,正态分布完全由参数 确定。因此正态分布常记 作 ,如果 X 服从正态分布,则记为 。 5. 正态分布的特点: 曲线在 (1) ; 曲线关于直线 (2) 对 称; (3)曲线在 x ? ? 时 ; (4)当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线 ,表示总体的分布越 线 ,表示总体的分布越 五.课时作业 一、填空题 1. 下面说法中正确的是( ) A.离散型随机变量 ξ 的期望 Eξ 反映了 ξ 取值的概率的平均值。 B.离散型随机变量 ξ 的方差 Dξ 反映了 ξ 取值的平均水平。 ; 。

? 越小,曲

1

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C.离散型随机变量 ξ 的期望 Eξ 反映了 ξ 取值的平均水平。 D.离散型随机变量 ξ 的方差 Dξ 反映了 ξ 取值的概率的平均值。 2.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数为ξ ,则下列结论正 确的是( ) A.Eξ=0.001 B.Dξ=0.099 C.P(ξ=k)=0.01k· 0.9910
-k

k D.P(ξ=k)=C 10 · 0.99k· 0.0110

-k

3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗子弹,命 中后的剩余子弹数目 ξ 的期望为( ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 4.(2007 宁夏理)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试 成绩如下表 环数 频数 甲的成绩 7 8 9 5 5 5 10 5 乙的成绩 环数 7 8 9 频数 6 4 4 10 6 丙的成绩 环数 7 8 9 频数 4 6 6 ) 10 4

s1,s2,s3

分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A. s3 ? s1 ? s2 B. s2 ? s1 ? s3 X P 1 0.5 C. s1 ? s2 ? s3 2 X 3 y

D. s2 ? s3 ? s1

5.设随机变量 X 的分布列为

15 ,则 DX=( 8 33 55 A. B. 64 64
若 EX=

) C.

7 32

D.

9 32

6. 在 一 次 歌 手 大 奖 赛 上 , 七 位 评 委 为 歌 手 打 出 的 分 数 如 下 : 9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均 值和方差分别为( ) A.9.4, 0.484 B.9.4, 0.016 C.9.5, 0.04 D.9.5, 0.016 二、填空题 7.袋中有 4 个红球,3 个黑球,今从袋中随机取出 4 个球.设取到一个红球得 2 分, 取到一个黑球得 1 分, 则得分ξ 的取值为_____________,ξ 数学期望等于__________. 8. 利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是_____.

2

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9. (2006 年四川卷)设离散性随机变量 ? 可能取的值为

1,2,3,4, P ?? ? k ? ? ak ? b ? k ? 1,2,3,4? , 又 ? 的 数 学 期 望 E? ? 3 , 则 a ? b ?
_______; 10. 一批电阻的阻值 X 服从正态分布 N(1000,52) ? ) ( 。今从甲、乙两箱成品中各 随机抽取一个电阻,测得阻值分别为 1011 ? 和 982 ? ,可以认为_______(填写正 确的序号) (1)甲、乙两箱电阻均可出厂; (2)甲、乙两箱电阻均不可出厂; (3)甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂; (4)甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂。 三、解答题 11. 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有 9 个白球、 个红球的箱子中每次随 1 机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金 10 元;摸出两个红球 可获得奖金 50 元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ 表示甲、乙两 人摸球后获得的奖金总额,求: (1)ξ 的分布列; (2)ξ 的数学期望。

12.某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3,一旦发生,将造 成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙 预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发 生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或 不采用,请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事 ... 件损失的期望值.)

3

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参考答案
⒈ 【提示】 x1P ? x2 P ? ? ? xn P ,平均水平, D? ? 1 2 n 偏离于均值的平均程度,相同单位 ⒉ 【提示】AE ? +b,a D ? ,P,P(1-P) ,nP,nP(1-P)
2

? ( x ? E? ) P ,标准差, ?? ,
2 i ?1 i i

n

? 1 3. 【提示】 e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, x?R
2

4. 【提示】

? ?? ? ( x)dx , ? 和 ? , N (?,?
a ,

b

) , X ~ N (? , ? 2 )
1 ,1,越“矮 2??

5. 【提示】位于 x 轴上方,与 x 轴不相交, x ? ? ,达到峰值

胖” ,分散 6.解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 1,
?1 2 ? 2 ? 1 ? 2q ? q ? 1, ? 所以 ?0 ? 1 ? 2 p ? 1, ? 2 ?q ? 1, ?

解得 q=1-

2 .于是,ξ 的分布列为 2

ξ

-1

0
2 -1

1

P
所以 Eξ =(-1)×

1 2

3 - 2 2

1 3 +0×( 2 -1)+1×( - 2 )=1- 2 , 2 2

1 3 Dξ =[-1-(1- 2 ) 2× +(1- 2 )2×( 2 -1)+[1-(1- 2 ) 2×( ] ] 2 2
- 2 )= 2 -1. 7. 解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P Y2 P 2 0.2 5 0.8 8 0.5 10 0.2 12 0.2

4

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EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,
DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 , EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 , DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .
(Ⅱ) f ( x) ? D ?
2

? x ? ? 100 ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 100 ? ? 100 ?
2

4 ? x ? ? 100 ? x ? 2 2 ?? ? DY1 ? ? ? DY2 ? 1002 ? x ? 3(100 ? x) ? ? ? ? 100 ? ? 100 ? 4 600 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) ,当 x ? ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 2 100 2? 4
8. 分析: 两个随机变量ξ A 和ξ B&都以相同的概率 0.1,0.2,0.4,0.1,0.2 取 5 个不同的数值.ξ A 取较为集中的数值 110,120,125,130,135;ξ B 取较为分 散的数值 100,115,125,130,145.直观上看,猜想 A 种钢筋质量较好.但猜想不 一定正确,需要通过计算来证明我们猜想的正确性 解:先比较ξ A 与ξ B 的期望值,因为 Eξ A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, Eξ B=100×0.1+115×0.2+125×0.4 十 130×0.1+145×0.2=125. 所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为 2 2 2 2 Dξ A=(110-125) ×0.1+(120-125) ×0.2+(130-125) ×0.1+(135-125) × 0.2=50, 2 2 2 2 Dξ B=(100-125) ×0.1+(110-125) ×0.2+(130-125) ×0.1+(145-125) × 0.2=165.所以,Dξ A < Dξ B.因此,A 种钢筋质量较好 【变式与拓展】 解:Eξ 1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ 2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差 Dξ 1=(0-0.44) ×0.7+(1-0.44) ×0.2+(2-0.44) ×0.06+(3-0.44) ×0.04=0.6064, Dξ 2=(0-0.44) ×0.8+(1-0.44) ×0.06+(2-0.44) ×0.04+(3-0.44) ×0.10=0.9264.
2 2 2 2 2 2 2 2

? ~ N (1, 22 ) ,? ? ? 1, ? ? 2 ; (1) P(?1 ? ? ? 3) ? P(1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2) ? P( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826.
9. 解: ?

5

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(2) ? P(3 ? ? ? 5) ? P(?3 ? ? ? ?1)

1 1 ? P(3 ? ? ? 5) ? [ P(?3 ? ? ? 5) ? P(?1 ? ? ? 3)] ? [ P(1 ? 4 ? ? ? 1 ? 4) ? P(1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2)] 2 2 1 ? [ P( ? ? 2? ? x ? ? ? 2? ) ? P( ? ? ? ? x ? ? ? ? )] 2 1 ? (0.9544 ? 0.6826) 2 ? 0.1359. (3) ? P(? ? 5) ? P(? ? ?3). 1 1 ? P(? ? 5) ? [1 ? P(?3 ? ? ? 5)] ? [1 ? P(1 ? 4 ? ? ? 1 ? 4)] 2 2 1 ? [1 ? P( ? ? 2? ? x ? ? ? 2? )] 2 1 ? (1 ? 0.9544) 2 ? 0.0228.
【点评】 求随机变量 ? 在某一范围内的概率, 只需借助于正态密度曲线的图像性质以 及课本中所给给出的数据进行转化求值。 【变式与拓展】A 求离散型随机变量的均值、方差都有公式可循,正态分布需注意不同区间的概率。 10. 解:(I)解法一:

?1 的概率分布为 1.2 1.18 ?1
P

1.17

1 6

1 2

1 3

1 1 1 +1.18 ? +1.17 ? =1.18. 6 2 3 由题设得 ? ~ B(2, p) ,则 ? 的概率分布为
E ?1 =1.2 ?

?
P 故 ?2 的概率分布为

0

1

2

(1 ? p)2
1.3

2 p(1 ? p)
1.25

p2
0.2

?
P 所以 ?2 的数学期望为

(1 ? p)

2

2 p(1 ? p)
2 2

p2

E ?2 = 1.3 ? (1 ? p) + 1.25 ? 2 p(1 ? p) + 0.2 ? p = ? p ? 0.1 p ? 1.3 .
2

解法二:

?1 的概率分布为

6

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?1
P E ?1 =1.2 ?

1.2

1.18

1.17

1 6

1 2

1 3

1 1 1 +1.18 ? +1.17 ? =1.18. 6 2 3

设 Ai 表示事件”第 i 次调整,价格下降”(i=1,2),则 P( ? =0)= P( A ) P( A2 ) ? (1 ? p)2 ; 1 P( ? =1)= P( A ) P( A2 ) ? P( A ) P( A2 ) ? 2 p(1 ? p) ; 1 1 P( ? =2)= P( A ) P( A2 ) ? p2 1 故 ?2 的概率分布为

?
P 所以 ?2 的数学期望为

1.3

1.25

0.2

(1 ? p)2

2 p(1 ? p)
2 2

p2

E ?2 = 1.3 ? (1 ? p) + 1.25 ? 2 p(1 ? p) + 0.2 ? p = ? p ? 0.1 p ? 1.3 .
2

(II) 由 E?1 ? E?2 ,得:

? p2 ? 0.1p ? 1.3 ? 1.18 ? ( p ? 0.4)( p ? 0.3) ? 0 ? ?0.4 ? p ? 0.3
因 0<p<1,所以 E?1 ? E?2 时,p 的取值范围是 0<p<0.3. 11. 解:正态分布的概率密度函数是 f ( x) ?

1 2? ?
1 2? ?

?

( x?? )2 2? 2

e

, x ? (??,??) ,它是偶

函数,说明μ =0, f (x) 的最大值为 f ( ? ) = 是标准正态分布

,所以σ =1,这个正态分布就

P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1
参考答案: 1-6.CBCBBD

12 7. 8, 6, ; 7, 5 35

8. A 3

9. a ?

1 , b ? 0 ,∴ a ? b ? 10

1 10

10. (3)

11.解: (1) ζ 的所有可能的取值为 0,10,20,50,60.

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9 729 P (? ? 0) ? ( )3 ? ; 10 1000 1 9 9 18 243 P (? ? 10) ? ? ( ) 2 ? ? 2 ? ; 10 10 10 10 1000

1 18 18 ? 2? ; 10 10 1000 9 1 9 P(? ? 50) ? ? 2 ? ; 10 10 1000 1 1 P(? ? 60) ? 3 ? ; 10 1000 P(? ? 20) ?
(2) E? ? 0 ? 729 243 18 9 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 3.3 (元) 1000 1000 1000 1000 1000

12. 解:①不采取预防措施时,总费用即损失期望为 400×0.3=120(万元) ; ②若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率为 1-0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元) ,所以总费用为 45+40=85(万 元) ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1-0.85=0.15,损失期望值为 400×0.15=60(万元) ,所以总费用为 30+60=90 (万元) ; ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为 45+30=75(万元) ,发生 突发事件的概率为(1-0.9) (1-0.85)=0.015,损失期望值为 400×0.015=6 (万元) ,所以总费用为 75+6=81(万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可 使总费用最少. 一、选择题 1.袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的条 件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 X,则 X 所有可能取值的个 数是( A.5 ) B.9 C.10 D.25

解析:号码之和可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,共 9 种.答案:B 2.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为: X P -1 0.5 0 1-2q 1 q2

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则 q 等于 ( A.1

) B.1± 2 2 C.1- 2 2 D.1+ 2 2

解析:由分布列的性质得

?0≤1-2q<1 ? ?0≤q2<1 ?0