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2013北京房山区高三数学(文)二模试题及答案


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房山区 2013 年高考第二次模拟试卷
数 学 (文科)

本试卷共 4 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出

的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1.若﹁p∨q 是假命题,则 A. p∧q 是假命题 C. p 是假命题 B. p∨q 是假命题 D. ﹁q 是假命题

2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. y ? x ? 1 3.为了得到函数 y ? lg B. y ? tan x C. y ? ?

2 x

D. y ? x3

x 的图象,只需把函数 y ? lg x 的图象上 10

A. 所有点向右平移 1 个单位长度 B. 所有点向下平移 1 个单位长度

1 (纵坐标不变) 10 1 D. 所有点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 10
C. 所有点的横坐标缩短到原来的 4.设平面向量 a ? (1, 2), A. 4 C. 3 5

b ? (?2, y) ,若 a // b ,则 2a ? b 等于
B. 5 D. 4 5 开始

5.执行如图所示的程序框图.则输出的所有点 ( x, y ) A.都在函数 y ? x ? 1 的图象上 B.都在函数 y ? 2 x 的图象上 C.都在函数 y ? 2x 的图象上 D.都在函数 y ? 2 x ?1 的图象上 京翰高考网:http://gaokao.zgjhjy.com/

x ? 1, y ? 2


x?4


( 输出 x, y)

结束

x ? x ? 1, y ? 2 y
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? x ? 1, ? y ? 1, ? 6.已知 M , N 是不等式组 ? 所表示的平面区域内的两个不同的点,则 | MN | 的 ? x ? y ? 1 ? 0, ?x ? y ? 6 ?
最大值是 A.

34 2

B.

17
17 2
3 6 正(主视图) 侧(左)视图

C. 3 2

D.

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体 的表面积为 A. 9 ? 18 2 B. 18 ? 9 3 C. 18 ? 3 2 D. 9
俯视图

3

?a 8.定义运算 ? ?b

c ? ? x ? ? ax ? cy ? ? x? ? ? a c ? ? x ? ? ? y ? ? ?bx ? dy ? ,称 ? y ?? ? ?b d ? ? y ? 为将点 ? x, y ? 映到点 ? x?, y?? 的 d?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? x? ? ? 2 ? 1? ? x ? 一次变换.若 ? ? = ? ? ? ? 把直线 y ? x 上的各点映到这点本身,而把直线 ? y ?? ? p q ? ? y ?
y ? 3x 上的各点映到这点关于原点对称的点.则 p, q 的值分别是
A. p ? 3, q ? 3 C. p ? 3, q ? 1 B. p ? 3, q ? ?2 D. p ? 1, q ? 1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点的坐标为 10.已知角 A 为三角形的一个内角,且 cos A ? . , tan( A ? ) ?

3 ,则 tan A ? 5

? 4

.

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11.数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 1 ,且 a 3 是 a1 ,a9 的等比中项,则数列 {an } 的通 项公式 an ? . . ,若点 P 在抛物线 .

12.实数 a , b 满足 2a ? b ? 5 ,则 ab 的最大值为

13.抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F ( ,0) ,则抛物线 C 的方程为
C 上运动,点 Q 在直线 x ? y ? 5 ? 0 上运动,则 PQ 的最小值等于

1 2

14.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f '( x ) 是函数 y ? f ( x) 的 导数, f ''( x ) 是 f '( x ) 的导数,若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数

y ? f ( x) 的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个
三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若 f ( x) ? x3 ? 的对称中心为

1 2 1 x ? x ? 1 ,则该函数 2 6 1 2 3 2012 ,计算 f ( . )? f ( )? f ( ) ??? f ( )? 2013 2013 2013 2013

1 3

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,且图象过点 ( , ) . (Ⅰ)求 ?,? 的值;

? 1 6 2

? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

16.(本小题满分 14 分) 如图, ABCD 是正方形, DE ? 平面 ABCD ,

E

AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ) 求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 BEF ;
A F

D

(Ⅲ) 求四面体 BDEF 的体积.
B C

17.(本小题满分 13 分)

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一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字 0,1, 2,3, 4,5 , 一个质地均匀的正四面体 的四个面上分别标有数字 1, 2,3, 4 .将这个正方体和正四面体同时抛掷一次,正方体正 面向上的数字为 a ,正四面体的三个侧面上的数字之和为 b . (Ⅰ)求事件 b ? 3a 的概率; (Ⅱ)求事件“点 ( a, b) 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 ”的概率.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? 2)e x 在 x ? 1 处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ?m, m? 1? 上的最小值; (Ⅲ)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e .

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点坐标为 (? 2 ,0) ,离心率为 .直线 2 3 a b

y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 是否存在实数 k , 使得以 PQ 为直径的圆过点 D(? 1, 若不存在,请说明理由. 求出 k 的值; 0) ?若存在,

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ?1 ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)设数列 ?bn ? 满足 (2an ?1)(2 n ?1) ? 1 , Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,试比较 Tn 与
b

2Sn (n ? N* ) ,其中 a1 ? 1, an ? 0 . an

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log 2 (2an ? 1) 的大小,并说明理由.

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房山区 2013 年高考第二次模拟考试参考答案 数 学 (文科) 2013.05

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (1, 2) 12. 10. 13.
4 , ?7 3
y 2 ? 2 x, 9 2 4

11.

n

25 8

1 14. ( ,1), 2012 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知 由 f( )?

?

6

1 得 2

又0 ?? ?? ,

?

2? ? 2, T ? 1 sin( ? ? ) ? , 3 2

??

??????2 分

3 5? ?? ? 所以 3 6

?

?

?

3

?? ? ? ?

?

??

?
2

3
, ??????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ?

?

1 ? ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 2 4 2

?????????????????????????9 分 解 2 k? ?

?

2 2 k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 得 ???????????12 分 2 8 2 8 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . 所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [ 2 8 2 8
???????????????????13 分 16(本小题满分 14 分)
E

? 4 x ? 2 k? ?

?

(Ⅰ)证明:因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ???????1 分
F G D O B C

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A

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因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 因为 DE ? BD ? D 所以 AC ? 平面 BDE . ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分

(Ⅱ)证明:设 AC ? BD ? O ,取 BE 中点 G ,连结 FG, OG ,
// 1 所以, OG ? DE .

2

???????5 分 ???????6 分 ??????7 分 ???????8 分 ????????9 分

// 因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ? OG ,

从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO . 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF . (Ⅲ)解:因为 DE ? 平面 ABCD 所以 DE ? AB 因为正方形 ABCD 中, AB ? AD , 所以 AB ? 平面 ADEF . 因为 AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 ,

???????11 分

1 ? ED ? AD ? 2 , 2 1 4 所以四面体 BDEF 的体积 ? S ?DEF ? AB ? . 3 3
所以 ?DEF 的面积为

?????14 分

17(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由题可知 a 的取值为 0,1, 2,3, 4,5 , b 的取值为 6,7,8,9 基本事件空间:

? ? ?(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),

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(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)
共计 24 个基本事件 满足 b ? 3a 的有 (2,6), ????????3 分

?

(3,9) 共 2 个基本事件
2 1 ? 24 12
????????7 分

所以事件 b ? 3a 的概率为

(Ⅱ)设事件 B=“点(a,b)满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 ” 当 b ? 8 时, a ? 0 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 当 b ? 7 时, b ? 0,1, 2 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 当 b ? 6 时, b ? 0,1, 2 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 所以满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 的有 (0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7) , 所以 P ( B ) ?

7 24

????????13 分

18(本小题满分 13 分) (Ⅰ) f '( x) ? ae x ? (ax ? 2)e x ? (ax ? a ? 2)e x 由已知得 f '(1) ? 0 即 (2a ? 2)e x ? 0 解得: a ? 1 ?????1 分 ?????2 分 ??????????3 分

当 a ? 1 时,在 x ? 1 处函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x 取得极小值,所以 a ? 1 (Ⅱ) f ( x) ? ? x ? 2? e ,
x

f'( x) ? ex + ? x ? 2? ex ? ? x ?1? ex .
(??,1)


x

1
0

(1, ??)
+ 增 ????????4 分

f ?( x )

f ( x)

所以函数 f ( x) 在 ? ??,1? 递减,在 ?1, ?? ? 递增.

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当 m ? 1 时, f ( x) 在 ?m, m? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (m) ? (m ? 2)e m . ?????????5 分 当 0 ? m ? 1 时, m ? 1 ? m ? 1

f ( x) 在 ? m,1? 单调递减,在 ?1, m ? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (1) ? ?e .
??????????6 分 当 m ? 0 时, m+1 ? 1 ,

f ( x) 在 ?m, m?1? 单调递减, fmin ( x) ? f (m ? 1) ? (m ?1)em?1.
??????????7 分

综上

? (m ? 2)em , m ? 1, ? f ( x) 在 ?m, m?1? 上的最小值 f min ( x) ? ? ?e, 0 ? m ? 1, ?(m ? 1)em?1 , m ? 0. ?
???????????????8 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? 2? e ,
x

f'( x) ? ex + ? x ? 2? ex ? ? x ?1? ex .

令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 因为 f (0) ? ?2, f (1) ? ?e, f (2) ? 0 所以 f max ( x) ? 0,

f min ( x) ? ?e

?????11 分

所以,对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f max ( x) ? f min ( x) ? e ???????????????13 分

19(本小题满分 14 分)京翰高考网:http://gaokao.zgjhjy.com/ (Ⅰ)由 e ?

6 c ? , c ? 2 , a 2 ? b2 ? c 2 3 a
x2 ? y2 ? 1 3

得a ?

3 ,b ? 1,

所以椭圆方程是:

????????4 分

(Ⅱ)设 P( x1 ,

y1 ) , Q( x2 ,

y2 )

则 y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx2 ? 2

将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 3

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则 x1 ? x2 ? ?

12k 9 , x1 x2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
??? ? ????

?????????7 分

以 PQ 为直径的圆过 D(? 1,

0) ,则 PD ? QD ,即 PD ? QD ? 0
y2 ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2

??? ???? ?

??? ???? ? PD ? QD ? ( x1 ? 1,

y1 ) ? ( x2 ? 1,

? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 y2 ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 5

?
解得 k ?

?12k ? 14 ?0. 3k 2 ? 1

????????????12 分

7 ,此时(*)方程 ? ? 0 , 6 7 所以 存在 k ? ,使得以 PQ 为直径的圆过点 D(? 1, 0) . ??14 分 6
20(本小题满分 13 分)

2S1 2a1 2S 2(a1 ? a2 ) ? ? 2 , a3 ? 2 ? ? 3 ??????2 分 a1 a1 a2 a2 1 1 1 (Ⅱ)由已知可知 S n ? an an ?1 ,故 an ?1 ? S n ?1 ? S n ? an ?1an ? 2 ? an an ?1 . 2 2 2 * 因为 an?1 ? 0 ,所以 an?2 ? an ? 2 (n ?N ) . ??????4 分
(Ⅰ)由于 a2 ? 于是 a2m?1 ? 1 ? 2(m ?1) ? 2m ?1 , a2m ? 2 ? 2(m ? 1) ? 2m , 所以 an ? n (n ?N* ) . (Ⅲ) Tn ? log 2 ??????6 分 ????????????????7 分

(2an ? 1)

(2an ? 1) 的大小,只需比较 2Tn , log2 (2an ? 1) 的大小 2n b b b 由 (2an ?1)(2 n ?1) ? 1 ,得 (2n ?1)(2 n ?1) ? 1, 2 n ? , 2n ? 1 2n 故 bn ? log 2 . ????????????????8 分 2n ? 1 2n ? ?2 4 6 从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ? ? ? ? ?? ?. 2n ? 1 ? ?1 3 5
要比较 Tn 与 log 2

2n ? 2n ? ?2 4 6 ?2 4 6 2Tn ? 2log 2 ? ? ? ??? ? ? log 2 ? ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ?1 3 5 ?1 3 5
2

2

2n ? ?2 4 6 因此 2Tn ? log2 (2an ? 1) ? log 2 ? ? ? ??? ? ? log2 (2n ? 1) 2n ? 1 ? ?1 3 5

2n ? 1 ?2 4 6 ? log2 ? ? ? ??? ? ? log 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?1 3 5

2

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2n ? 1 ?2 4 6 ? log2 [? ? ? ??? ]. ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?1 3 5
设 f (n) ? ?

2

2n ? 1 ?2 4 6 , ? ? ?? ? ? ? 2n ?1 ? 2n ? 1 ?1 3 5
2

2

2n 2n ? 2 ? 1 ?2 4 6 则 f (n ? 1) ? ? ? ? ??? , ? ? ? 2n ?1 2n ? 1 ? 2n ? 3 ?1 3 5
4n 2 ? 8n ? 4 f (n ? 1) 2n ? 1 ? 2n ? 2 ? (2n ? 2)2 ? 2 ? 1, 故 ? ?? ? ? f (n) 2n ? 3 ? 2n ? 1 ? (2n ? 3)(2n ? 1) 4n ? 8n ? 3 又 f (n) ? 0 ,所以 f (n ? 1) ? f (n) . 4 * 所以对于任意 n ? N 都有 f (n) ? f (1) ? ? 1 , 3 从而 2Tn ? log2 (2an ? 1) ? log2 f (n) ? 0 .
2

所以 2Tn ? log2 (2an ? 1),n ?N* . 即

Tn ? log 2 (2an ? 1)

?????????????????13 分

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