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空间直角坐标系 空间两点间的距离公式


空间直角 坐标系
4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式

课前预习

栏 目 导 航

课堂探究

【课标要求】
1.理解空间直角坐标系的有关概念,会根据 坐标描出点的位置、由点的位置写出点的 坐标. 2.掌握空间两点间的距离公式,理解公式使 用的条件,

会用公式计算或证明.

【实例】我们知道了把几何问题放在坐标系中 研究,就可以得到一些数据,利用代数的方法研 究几何问题,对正方形 ABCD,边长为 2,建立一个 合适的坐标系后(如图所示可以得到 A(0,0), B(2,0),C(2,2),D(0,2)).

空间直角坐标系
1:要想给一个棱长为 2 的正方体 标注坐标,可以怎样建立坐标系呢? (可以建立空间直角坐标系)

1:(1)空间直角坐标系 如图,为了确定空间点 的位置,我们建立空间 直角坐标系:以正方体 为载体,以 O 为原点,分 别以射线 OA,OC,OD′ 的方向为正方向,以线段 OA,OC,OD′的长为单 位长,建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,这时我

们说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,其中点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴, 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别 称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面,通常建立 的坐标系为右手直角坐标系,即右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,中指指 向 z 轴的正方向.

(2)空间直角坐标系中的坐标 空间一点 M 的坐标可用有序实数组(x,y,z) 来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点 M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标.

【质疑探究 1】 坐标轴及坐标平面上的点的坐 标怎么表示? (xOy 平面是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集; xOz 平面是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集; yOz 平面是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集; x 轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集; y 轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集; z 轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集. 其中 x,y,z 均为任意实数)

空间两点间的距离公式
2:在平面直角坐标系中,两点间的 距离公式为|AB|= ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ,在空
2 2

间直角坐标系中呢?如何推导?

2:空间两点间的距离公式 空间直角坐标系中,两点 P1(x1,y1,z1)与 P2(x2,y2,z2)间的距离公式为
PP2 ? 1

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ? ? ? z1 ? z2 ? .
2 2

【质疑探究 2】 空间中线段的中点坐标如何 表示? (设 M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)是空间中两点,则
x1 ? x2 线段 MN 的中点 P 的坐标为( 2 z1 ? z 2 )) 2

,

y1 ? y 2 2

,

(1)点 P(2,-4,2)与点 O(0,0,0)的中点坐标为 B(2,-1,6)的距离是( D ) (A)2 43 (B)2 21 (C)9 (D) 86 .

(2)空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)和点

解析:(1)由中点坐标公式得点 P 与点 O 的中 点坐标为(1,-2,1). (2)由空间两点间的距离公式可得 |AB|= ? 2 ? ? ?3?? ? ? ?1 ? 4 ? ? ? 6 ? 0 ? ? ?
2 2 2

= 25 ? 25 ? 36 = 86 . 故选 D. 答案:(1)(1,-2,1) (2)D

求空间内点的坐标
【例 1】 如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,
AD=BC=3,AB=5,AA1=4,建立适当的直角坐标系,写 出此长方体各顶点的坐标.

解:如图,以 DA 所在直线为 x 轴,以 DC 所在 直线为 y 轴,以 DD1 所在直线为 z 轴,建立空 间直角坐标系 Dxyz. 由题意知长方体的棱长 AD=BC=3,DC=AB=5,DD1=AA1=4, 显然 D(0,0,0),A 在 x 轴上, ∴A(3,0,0); C 在 y 轴上,∴C(0,5,0); D1 在 z 轴上,∴D1(0,0,4);

B 在 xOy 平面内,∴B(3,5,0); A1 在 xOz 平面内,∴A1(3,0,4); C1 在 yOz 平面内,∴C1(0,5,4). 由 B1 在 xOy 平面内的射影为 B(3,5,0), ∴B1 的横坐标为 3,纵坐标为 5, ∵B1 在 z 轴上的射影为 D1(0,0,4), ∴B1 的竖坐标为 4,∴B1(3,5,4).

建立空间直角坐标系应遵循什 么原则? ((1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平 面内;(2)充分利用几何图形的对称性)

跟踪训练 1 1:如图所示,长方体 ABCD A1B1C1D1 中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N 为棱 CC1 的中点, 分别以 AB、AD、AA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. (1)求点 A、B、C、D、A1、 B1、C1、D1 的坐标; (2)求点 N 的坐标.

解:(1)由题意可知 A(0,0,0), 由于点 B 在 x 轴的正半轴上, 且|OB|=4, 所以 B(4,0,0). 同理,可得 D(0,3,0),A1(0,0,5). 由于点 C 在坐标平面 xOy 内,BC⊥AB,CD⊥AD, 则点 C(4,3,0). 同理,可得 B1(4,0,5),D1(0,3,5),与 C 的坐标相 比,点 C1 的坐标中只有竖坐标不同,CC1=AA1=5, 则点 C1(4,3,5).

(2)由(1)知 C(4,3,0),C1(4,3,5),
? 4? 4 3?3 0?5? , , 则 C1C 的中点为 ? ?, 2 2 ? ? 2 5? ? 即 N ? 4, 3, ? . 2? ?

空间直角坐标系中关于对 称点的坐标问题
【例 2】 在空间直角坐标系中,点 P(-2,1,4).
(1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标; (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标; (3)求点 P 关于点 M(2,-1,-4)的对称点的坐标.

名师导引:解决对称问题应如何处理? (可以借助平面直角坐标系中的对称方式求解) 解:(1)由于点 P 关于 x 轴对称后,它在 x 轴的分 量不变,在 y 轴、 轴的分量变为原来的相反数, z 所以对称点为 P1(-2,-1,-4). (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后,它在 x 轴、y 轴的分量不变,在 z 轴的分量变为原来的相反数, 所以对称点为 P2(-2,1,-4).

(3)设对称点为 P3(x,y,z),则点 M 为线段 PP3 的中点, 由中点坐标公式, 可得 x=2× 2-(-2)=6, y=2× (-1)-1=-3,z=2× (-4)-4=-12. 所以 P3(6,-3,-12).

解决有关对称问题时,注意依靠 x 轴、y 轴、z 轴作为参照直线,坐标平面为参照面, 通过平行、垂直确定出对称点的位置.空间点关于 坐标轴、坐标平面的对称问题,可以参照如下口诀 记忆:“关于谁谁不变,其余的均相反”.如关于 x 轴对称的点横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来 的相反数;关于 xOy 坐标平面对称的点横、纵坐标 不变,竖坐标相反.特别注意关于原点对称时三个 坐标均变为原来的相反数.

跟踪训练 2 1:点 P(-1,2,3)关于 xOz 平面对称 的点的坐标为( (A)(1,2,3) ) (B)(-1,-2,3)

(C)(-1,2,-3) (D)(1,-2,-3) 解析:点 P(-1,2,3)关于 xOz 平面对称的点,横 坐标、竖坐标不变,纵坐标互为相反数,即对称 点坐标为(-1,-2,3),故选 B.

空间两点间的距离
【例 3】 如图所示,在长方体 ABCD A1B1C1D1
中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点 M 在 A1C1 上, |MC1|=2|A1M|,N 在 D1C 上且为 D1C 中点,求 M、N 两点间的距离.

名师导引:(1)如何建坐标系?(以长方体的一个顶 点为坐标原点,相邻的三条棱所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴) (2)空间点 P(x1,y1,z1)与点 Q(x2,y2,z2)的中点 M 的 坐标是什么?

((

x1 ? x2 2

,

y1 ? y 2 2

,

z1 ? z 2 2

))

解:如图所示,分别以 AB,AD,AA1 所在的直线 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知 C(3,3,0),D(0,3,0), ∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2), ∵N 为 CD1 的中点,
?3 ? ∴N ? , 3,1 ? . ?2 ?

M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点, ∴M(1,1,2).由两点间距离公式,得
2 2 ?3 ? |MN|= ? ? 1? ? ?3 ? 1? ? ?1 ? 2 ? ?2 ? 2

21 = . 2

求解距离问题的关键是什么? (解决本类题目的关键是准确确定点的坐标, 正确使用空间两点间的距离公式.若是在具 体的立体几何问题中,则需建立适当的坐标 系,结合具体的图形特征,利用空间两点间的 距离公式求解)

跟踪训练 3 1:已知点 A(0,1,0)、B(-1,0,-1)、 C(2,1,1),若 点 P(x,0,z)满足 PA⊥AB,PA⊥AC, 试求点 P 的坐标. 解:∵PA⊥AB, ∴△PAB 为直角三角形, 2 2 2 ∴|PB| =|PA| +|AB| ,即 2 2 2 2 (x+1) +(z+1) =x +1+z +1+1+1, 即 x+z=1,①

又∵PA⊥AC, ∴△PAC 为直角三角形, 2 2 2 ∴|PC| =|PA| +|AC| ,即 2 2 2 2 (x-2) +1+(z-1) =x +1+z +4+0+1, 即 2x+z=0,②
? x ? ?1, 由①②得 ? ? z ? 2.

∴点 P 的坐标为(-1,0,2).

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