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2011届高考数学第一轮复习滚动练习1


2011 届高考数学第一轮复习滚动练习 1
一、填空题 1.集合 M = {x 0 ≤ x ≤ 2} ,则 M I x y = lg(1 ? x ) =
2

{

}



2.已知等比数列 {a n }中, a 2 =

1 1 , a 4 = , 则a10 = . 2 4 2 2 条件. 3.已知实数 a,b, 则“ ab ≥ 2 ”是“ a + b ≥ 4 ”的 ( x ≤ 1) ?8 x ? 8 4.已知函数 f ( x) = ? 2 , g ( x) = ln x.则f ( x)与g ( x) 两函数的图像 ? x ? 6 x + 5 ( x > 1)

的交点个数为 . 5.在△ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边,若 a,b,c 成等比数列,

A = 60 o , 则

b sin B = c


2

6.设动直线 x = a 与函数 f ( x) = 2sin (

π
4

+ x) 和 g ( x) = 3 cos 2 x 的图象分别交
. .

于 M 、 N 两点,则 | MN | 的 最大值为
2 2

7. 函数 f ( x ) =| x ? sin α | + | x + cos α | (α ∈ R) 的最小值是 8.在等差数列 {a n }中, 若a 4 + a8 + a12 = 120, 则a11 ?

1 . a 20 的值是 4 9 . 已 知 0<t<1 , m = log a (1 + t ) 、 n = log a (1 ? t ) , 则 m 与 n 的 大 小 关 系

为 . 10 . 已 知 f ( x) 为 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x + 2) = f ( x) , 若 f (1 + a) = 1 , 则

f (1 ? a) =



cos 2α 的值为 . (sin α ? cos α )2 12.已知等差数列 {an } 的公差为 d ( d ≠ 0 ) ,且 a3 + a6 + a10 + a13 = 32 ,若 am = 8 , 则m 为 . uuu r uuu r uuur r 13. G 是 ?ABC 的重心, (56 sin A)GA + (40sin B )GB + (35sin C )GC = 0, 则 设 且 ∠B 的大小为___________. 3 14. ?ABC 的内角,A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , a cos B ? b cos A = c 设 且 5 tan A 则 的值为_________________. tan B
11.已知 tan α = 2 ,则

1

二、解答题 15.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C + (1)求角 A 的大小; (2)若 a = 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

1 c = b. 2

16.在 ?ABC 中, BC = 2 , AC =

2 AB = 3 + 1 . uuu uuur r (1)求 AB ? AC ; uuur uuur uuu r (2)设 ?ABC 的外心为 O ,若 AC = mAO + n AB ,求 m , n 的值.

2

17.已知函数, f ( x) = A cos (ω x + ? ) + 1( A > 0, ω > 0, 0 < ? <
2

π
2

) 的最大值为 3,

f ( x) 的图像的相邻两对称轴间的距离为 2,在 y 轴上的截距为 2. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的单调递增区间.

18.已知函数 f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ·3ax-4x 的定义域为[0,1]. (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 λ 的取值范围.

3

19.设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, S n = kn + n , n ∈ N ,其中 k 是常数.
2

*

(1) 求 a1 及 an ; (2)若对于任意的 m ∈ N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

20.设 f ( x ) = x 3 ,等差数列 {a n } 中 a 3 = 7 ,a1 + a 2 + a3 = 12 ,记 S n = f 令 bn = a n S n ,数列 { 证:Tn <

(

3

an +1 ,

)

1 } 的前 n 项和为 Tn .(1)求 {a n } 的通项公式和 S n ; (2)求 bn

1 ; (3) 是否存在正整数 m, n , 1 < m < n , 且 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列? 3 若存在,求出 m, n 的值,若不存在,说明理由.

4

参考答案 一、填空题 1. x | 0 ≤ x < 1} { 2.

1 32

3. 充分不必要条件

4. 2

5.

3 2

6. 3

7.1 8.30 9. m < n 二、解答题 15. (1) cos A =

10.1

11.-3

12.8

13. 60°

14.4

2 + ( 3 + 1) 2 ? 4 2 , = 2 2 2( 3 + 1) uuu uuur uuu uuur r r 2 ∴ AB ? AC = AB ? AC cos A = 2( 3 + 1) ? = 3 + 1. 2 uuu uuur r uuu uuur uuu uuur r r uuur uuur uuu r ? AB ? AC = m AB ? AO + n AB ? AB, ? (2)由 AC = mAO + n AB ,知 ? uuur uuur uuur uuur uuur uuur ? AC ? AC = mAC ? AO + n AC ? AB. ? uuu uuur r ? 3 + 1 = mAB ? AO + ( 3 + 1) 2 n, ? ∴? uuur uuur ?2 = m AC ? AO + ( 3 + 1)n. ? Q O 为 ?ABC 的外心, r 1 uuu AB uuu uuur uuu uuur r r uuu uuur r 1 ∴ AB ? AO = AB ? AO cos ∠BAO = AB ? AO ? 2uuur = ( 3 + 1) 2 . 2 AO

1 ? 2 2 uuur uuur ? 3 + 1 = ( 3 + 1) m + ( 3 + 1) n, 2 同理∴ AC ? AO = 1 .即 ? , 解 ?2 = m + ( 3 + 1)n. ? ?m = ? 3 ? 1, ? 得: ? ?n = 3. ? 1 1 16.11. 解: (1)由 a cos C + c = b 得 sin Acos C + sin C = sin B 2 2 又 sin B = sin ( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C

1 1 ∴ sin C = cos A sin C ,Q sinC ≠ 0 ,∴ cos A = , 2 2
又Q 0 < A < π ∴ A =

π . 3

(2)由正弦定理得: b =

a sin B 2 2 = sin B , c = sin C sin A 3 3 2 2 l = a + b + c = 1+ ( sin B + sin C ) = 1 + ( sin B + sin ( A + B ) ) 3 3

5

? 3 ? π? 1 ? = 1+ 2? sin B + cos B ? = 1 + 2 sin ? B + ? ? 2 ? 6? 2 ? ? ? π π ? π 5π ? π? ?1 ? ? 2π ? ? Q A = , ∴ B ∈ ? 0, ? , ∴ B + ∈ ? , ? ∴ sin ? B + ? ∈ ? ,1? 3 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? 3 ? ? 故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ( 2,3] .
(2)另解:周长 l = a + b + c = 1 + b + c 由(1)及余弦定理 a = b + c ? 2bc cos A
2 2 2

∴ b2 + c 2 = bc + 1

∴ (b + c) 2 = 1 + 3bc ≤ 1 + 3(

b + c ≤ 2 又 b + c > a = 1∴ l = a + b + c > 2 即 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ( 2,3] .
A A cos (2ωx + 2? ) + 1 + 2 2 依题意 17. (Ⅰ) 解: T 2π π = 2 ,得 T = 4 ∴ =4 ω= 2 2ω 4 Q f (x ) =

b+c 2 ) 2

A A + 1 + = 3, ∴ A = 2 2 2

?π ? ∴ f ( x ) = cos? x + 2? ? + 2 ?2 ?
令 x=0,得

cos 2? + 2 = 2 , 又0 < ? <

π
2

∴ 2? = x

π
2

所以函数 f (x) 的解析式为 还有其它的正确形式,如:

f ( x ) = 2 ? sin

π
2

f ( x ) = 2 cos 2 (
(Ⅱ)当

π
4

x+

π
4 <

) + 1, f ( x ) = cos(

π
2

x+

π
2

)+2

2 kπ +

π
2

π
2

x < 2 kπ +

3π 2 , k ∈ Z 时 f ( x ) 单调递增

即 4k + 1 < x < 4k + 3 , k ∈ Z ∴ ( ) 的增区间是 (4k + 1, 4 k + 3), k ∈ Z + 18.解 方法一 (1)由已知得 3a 2=18?3a=2?a=log32. (2)由(1)得 g(x)=λ·2x-4x,设 0≤x1<x2≤1, 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以 g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ-2x2-2x1)>0 恒成立,即 λ<2x2+2x1 恒成立. 由于 2x2+2x1>20+20=2, 所以,实数 λ 的取值范围是 λ≤2. + 方法二 (1)由已知得 3a 2=18?3a=2?a=log32. x x (2)由(1)得 g(x)=λ·2 -4 , 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以有 g′(x)=λln 2·2x-ln 4·4x

f x



6

=ln 2[-2·(2x)2+λ·2x]≤0 成立. 设 2x=u∈[1,2],上式成立等价于-2u2+λu≤0 恒成立.因为 u∈[1,2],只需 λ≤2u 恒成立,所以实数 λ 的取值范围是 λ≤2. 19.解析: (Ⅰ)当 n = 1, a1 = S1 = k + 1 ,

n ≥ 2, a n = S n ? S n ?1 = kn 2 + n ? [k (n ? 1) 2 + (n ? 1)] = 2kn ? k + 1 ( ? ) 经验, n = 1, ( ? )式成立, ∴ a n = 2kn ? k + 1
(Ⅱ)Q a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,∴ a 2 m = a m .a 4 m ,
2

即 ( 4km ? k + 1) = ( 2km ? k + 1)(8km ? k + 1) ,整理得: mk (k ? 1) = 0 ,
2

∴ k = 0或k = 1 . 20.解: 解 (Ⅰ)设数列 {a n } 的公差为 d ,由 a 3 = a1 + 2d = 7 , a1 + a 2 + a3 = 3a1 + 3d = 12 .
对任意的 m ∈ N ? 成立, 解得 a1 = 1 , d =3 ∵ f ( x) = x 3 (Ⅱ) bn = a n S n = (3n ? 2)(3n + 1) ∴ a n = 3n ? 2 ∴Sn= f

(

3

an +1 = a n +1 = 3n + 1 .

)

1 1 1 1 1 1 1 1 = = ( ? ) ∴ Tn = (1 ? )< 3 3n + 1 3 bn (3n ? 2)(3n + 1) 3 3n ? 2 3n + 1 n 1 m n (Ⅲ)由(2)知, Tn = ∴ T1 = , Tm = , Tn = 3n + 1 4 3m + 1 3n + 1 ∵ T1 , Tm , Tn 成等比数列. m 2 1 n 6m + 1 3n + 4 ∴ ( 即 = ) = 3m + 1 4 3n + 1 n m2 3n + 4 13 3n + 4 当 m = 1 时, = 7 ,n =1, 不合题意; m = 2 时, 当 = ,n =16, n 4 n
∴ 符合题意; 当 m = 3 时, 正整数解; 当 m = 5 时, 正整数解; 当 m ≥ 7 时 , m 2 ? 6m ? 1 = ( m ? 3) 2 ? 10 > 0 , 则

19 3n + 4 25 3n + 4 = , n 无正整数解;当 m = 4 时, = ,n 无 9 n 16 n 31 3n + 4 37 3n + 4 = ,n 无正整数解;当 m = 6 时, = ,n 无 25 n 36 n 6m + 1 <1 , 而 m2

3n + 4 4 = 3 + > 3, n n

所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. 综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列.

7


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