kl800.com省心范文网

高二-§3.4基本不等式 第二课时


§3.4 基本不等式

ab ?

a?b 2
授课类型:新授课

●教材分析 《课标》对于这一节的要求:一是探索并了解基本不等式的证明过程;二是会用基本不 等式解决简单的最大(小)值问题. 在前面的学习中,同学们已经基本掌握了一些常见不 等式及不等式证明方法, 本节内容一定程度上是前面学习的运用, 也是后面系统学习不等式 证明的基础.基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁,放缩法证明不等式会 经常用到基本不等式.基本不等式作为求最值的方法,是高考常考的知识点, 通过基本不等式, 常常可以将一些较为复杂的求最值问题化为简单问题, 在化归方法中起着重要的惩承接作用 通过本节学习, 学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处, 加强数学联系生活这一 重要的数学观.习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫. ●教学目标 知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ?

a?b ;会应用此不等式求某些函数的最值;能 2

够解决一些简单的实际问题 过程与方法:通过两个实例,体现了基本不等式在求最值时的价值,更进一步体现了“当且 仅当 a ? b 时,等号成立”这一条件的重要性.学生可以从中体会到“积定和最小”及“和定 积最大”这两条基本的解题思路. 情感态度与价值观:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,感受数学的应用价值,培养实事 求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德. ●教学重点:运用基本不等式模型解决实际问题的四部曲:读题 ?建模 ?求解 ?作答;利 用基本不等式求最值. ●教学难点:根据题意建立模型;对基本不等式的变形应用,在给定定值情况下,求相关函 数最值问题时的技巧变换:加项变换;拆项变换;统一变元;平方后利用均值不等式. ●教学拓展点:切实的感受数学的应用价值;体会基本不等式的灵活运用. ●教学易混点:用基本不等式求最值,需注意等号成立的条件. ●教学易错点: 多次使用基本不等式, 及不等式中等号成立的条件不能同时取到, 造成误解. ●教具准备:多媒体课件、三角板

课堂模式 :学案导学
●教学过程 Ⅰ.复习旧知 上节课所学主要内容: 1、基本不等式 ab ?

a?b , a, b ? 0 2

2、 (一正二定三相等;“积定和最小”及“和定积最大”) 3、 利用基本不等式证明不等式:

Ⅱ.讲授新课 1、基本不等式在实际生活中的应用 例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? 师:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其 中第(1)问是求最小值, 第(2)问是求最大值,注意第(1)是积定求最小值, 第(2)是和定求最大值. 生: 小组讨论将试探着从文字描述中抽出问题的关键建立函数模型, 并试探用两种方法求解 师:通过实物投影仪对学生的做题过程进行讲评,并给出规范步骤.
1
2

课堂练习: 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m2,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1 m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最 低总造价是多少元? 师生共同总结:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 【设计意图】加强培养学生的数学意识,感受数学从生活中来,贴近学生生活实际,让学生 在已有的知识结构和生活经验中想学、乐学、学会、会学,并结合教学内容,组织学生参加 社会实践,为解决数学问题积累经验,养成善于运用数学眼光去观察、分析广泛存在于日常 生活中的实际问题的良好习惯,体现数学的应用价值.展现数学的趣味和魅力. 2、添项法求最值

4 ?a ?7 a?3 4 4 4 证明: a ? 3,? ? ? 0,? ? a ?3? 3? 2 ( a ? 3) ? 3 ? 7 a?3 a?3 a?3 4 4 即 ? a ? 7, 当且仅当 =a ? 3,即a ? 5时等号成立. a?3 a?3 a , x ? ?0, ?? ? 的最小值 课堂练习: 求函数f ( x ) ? x ? x ?1
例 2:已知 a ? 3 ,求证: 【设计意图】加深对基本不等式的理解,并学会灵活应用,注意等号成立的条件. 3、分离常数求最值 例 3:求函数 f ( x ) ?

?2 x 2 ? x ? 3 , ( x ? 0)的最大值 x ?2 x 2 ? x ? 3 3 3 3 ? ?2 x ? ? 1 ? ?(2 x ? ),? x ? 0,? 2 x ? 0, >0, 解 : f ( x) ? x x x x 3 3 2 x ? ? 2 2 x ? 2 6,? f ( x ) ? ?2 6 +1,? f ( x )的最大值为 ? 2 6 +1, x x

3 6 当且仅当2 x = ,即x = 时等号成立. x 2
x ? a恒成立, 则a的取值范围? x ? 3x ? 1 x x 2 ? 3x ? 1 1 的倒数 =x + +3的最大值求解a的取值范围 分析: 通过求解 2 x ? 3x ? 1 x x
课堂练习: (2006 山东理 14)若对任意 x ? 0,
2

【设计意图】在某些条件下,利用基本不等式求最值时,关键是条件的灵活运用. 4、乘 1 问题

例4:函数y ? loga ( x ? 3) ? 1, (a ? 0, a ? 1)的图像恒过的点A,若点A在直线mx ? ny ? 1 ? 0上, 1 2 其中m,n>0,则 ? 的最小值是? m n 解:函数y ? loga ( x ? 3) ? 1, (a ? 0, a ? 1)的图像恒过的点A坐标为(-2,-1),

2

? ?2m ? n ? 1? 0 , m ? n ? ? 2 又?

1,

1 2 1 2 n 4 m n m 4 ? ? ( ? ) (m ? n ? ? 2 ) ? ? 4 2 ? ?4 8 m n m n m n m n 1 2 n 4 m 1 1 即 ? ? 8 ,当且仅当 ? 即n ? m n, ? m, ? 时,等号成立 . , 2 m n m n 2 4 1 1 课堂练习: 已知正数x,y满足2x ? y ? 1, 求 + 的最小值? x y 1 1 1 1 y 2x 1 1 y 2x 解 ? + =( + )(2x ? y ) ? + +3 ? 2 2+3, + ? 2 2+3,当且仅当 ? , x y x y x y x y x y

即x =

2? 2 ,y= 2-1时,取等号. 2

【设计意图】在利用基本不等式求最值时,应尽量避免多次使用基本不等式,以及不等式中 等号成立的条件不能同时取到,造成错解.在利用不等式求解时对于 a ? b ? 1 的整体替换, 或用 b ? 1 ? a 换元带入,或考虑用三角代换. 5、构造不等式 例 5:已知正数x,y满足x ? 2 y +2 xy ? 8, 求x+2y的最小值?

解 ? x ? 0, y ? 0, x ? 2 y +2 xy ? 8,? 2 xy ? 8 ? ( x ? 2 y ), 又 ? x ? 2 y ? ( ?8 ? ( x ? 2 y) ? (

x ? 2y 2 ) , 2

x ? 2y 2 t2 ) , t ? x ? 2 y ? 0,? 上式变为8 ? t ? ,? t ? 4, 即x ? 2 y的最小值为4 2 4 当且仅当 x=2 y, 即x ? 2, y ? 1时等号成立.
课堂练习:1、若实数 x, y, 满足x 2 +y2 ? xy ? 1, 则x+y的最大值是? . 2、 若x ? 0, y ? 0, 且xy ? (x ? y ) ? 1, 则x+y的最小值是? . 【设计意图】在利用基本不等式求最值时始终注意“一正二定三相等”.要获得“定值”条 件比较困难, 需要一定的灵活性和变形技巧.在相等关系中利用基本不等式构造出不等关系, 进而求解最值问题. 6、等号取不到的处理方法(利用单调性) 例 6:函数 y=

的最小值为? x2 ? 2 x2 ? 3 1 1 解:y= = x 2 ? 2+ ? 2,当且仅当 x 2 ? 2= , 2 2 2 x ?2 x ?2 x ?2 即x 2 =-1时取最小值2.
(在实数范围内不成立)

x2 ? 3

正解: y= ?

x2 ? 3 x ?2
2

= x 2 ? 2+

1 x ?2
2



1 令t= x 2 ? 2 ? 2,? y ? t ? , 据对号函数的单调性得 t 3 2 y? ,当且仅当t= x 2 ? 2= 2 ,即x ? 0时,等号成立. 2 a , x ? ?0, ?? ?(其中0 ? a ? 1)的最小值? 课堂练习: 求函数f ( x ) ? x ? x ?1
3

【设计意图】 注意基本不等式中对于等号成立的要求, 对于最值的最后取到取不到问题进行 分析,对于利用基本不等式取不到最值的应考虑利用函数的单调性!
Ⅲ.补充练习

课堂达标卷(一) Ⅳ.课时小结 通过两个应用实例体会基本不等式在生活中的应用.总结应用基本不等式解决实际问题的四 部曲: 读题 ?建模 ?求解 ?作答.然后分类解决了应用基本不等式求带有限制条件的函数 的最值问题.共分了五类题型进行讲解. Ⅴ.课后作业 课本 P100 页练习第 4 题;习题 2.3 A 组的 2、3、4 题. 丛书 P86-88 页基本不等式第 1、2 课时 ●板书设计 §3.4 基本不等式

ab ?

a?b 2
例 6:

一、回顾 1、 2、 3、 二、新课 例 1:

例 2:

例 3:

课堂练习:

例 4: 三、总结

总结步骤: (1) 例 5: (2) 作业: (3) (4) ●授后记 本节课主要是应用基本不等式求解最值,在应用过程中体会 “一正二定三相等”.从例 1 入 手,第一小题就能说明“积定和最小” ,第二小题说明“和定积最大”.通过这道例题的讲解, 让学生理解“一正二定三等”.理解知识、掌握知识的最终目的在于应用.用数学知识分析和 解决实际问题,是学习数学的宗旨.正如现代教学论中指出:获取数学知识并不是最终目的, 应用数学知识去解决科研、生产、生活中的实际问题才是我们学习数学的出发点和归宿. 学习过程中给学生足够的发现和讨论时间, 让学生体会到发现知识的成就感, 进一步激发学 生的学习兴趣.在探索发现过程中学生出现的问题,教师应给予高度重视,要有针对性的提 出犯错的原因及解决办法.另外在教学过程中,要联系前后知识,运用建构主义认识论指导 教学.要多多进行变式练习,让学生体会到万变不离其宗的那个“宗” ,最后能够总结出运用 不等式解决问题的基本方法.

4


§3.4基本不等式第2课时

§3.4基本不等式第2课时_其它课程_初中教育_教育专区。教师课时教案备课人 课题§3.4 基本不等式 ab ? 授课时间 a?b (第 2 课时) 2 a?b 进一步掌握基本...

最新人教A版必修5高中数学 §3.4基本不等式第2课时教案...

最新人教A版必修5高中数学 §3.4基本不等式第2课时教案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学 §3.4 基本不等式第 2 课时教案 新人教 A 版必修...

2016年高二人教A版必修5系列教案:3.4基本不等式2

2016年高二人教A版必修5系列教案:3.4基本不等式2_高二数学_数学_高中教育_教育专区。课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 1 课时 a?b 2 授课类型:新授课 ...

人教A版数学必修五§3.4《基本不等式》第2课时教案

人教A版数学必修五§3.4《基本不等式》第2课时教案_数学_高中教育_教育专区。河北省武邑中学高中数学 §3.4 基本不等式第 2 课时教案 新人教 A 版 必修 5 ...

§3.4基本不等式

§3.4基本不等式_数学_高中教育_教育专区。§3.4 基本不等式 ab ? a?b 2 【教学目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何...

基本不等式教案第二课时

基本不等式教案第二课时_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。第 周第 课时 授课时间:20 年 月 日(星期 ) 课题: §3.4 基本不等式第 2 课时授课类型:新...

2016年春新人教A版高二数学必修5教案:3.4基本不等式2

2016年春新人教A版高二数学必修5教案:3.4基本不等式2_数学_高中教育_教育专区。课题: §3.4 基本不等式 ab ? 第 1 课时 a?b 2 授课类型:新授课 【教学...

3.4基本不等式教学设计

三个注意:基本不等式求函数的最大(小)值是注意: “一正二定三相等” (六)、布置作业: 课堂作业:习题 3.4A 组第 1 题 全品作业:3.4 第一课时 12 ...

...A版高中数学必修5学案 3.4 基本不等式(第2课时)

2017年春季学期新人教A版高中数学必修5学案 3.4 基本不等式(第2课时)_数学_高中教育_教育专区。3.4 学习目标 基本不等式:(第 2 课时) 1.进一步掌握基本不...

高二3.4基本不等式(人教版,必修五)

高二3.4基本不等式(人教版,必修五)高二3.4基本不等式(人教版,必修五)隐藏>> 课题: §3.4 基本不等式 a b ? 第 1 课时 a?b 2 授课类型:新授课 【教...