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1.3.1柱、锥、台的表面积1----2


1.3.1柱体、锥体、台体的表面积

§2、圆柱、圆锥、圆台的表面积

复习回顾:棱柱、棱锥、棱台是由多
个平面图形围成的多面体,它们的展 开图是什么?如何计算它们的表面积?

S表=S底+S侧
思考:圆柱、圆锥、圆台的表面积又 如何计算呢?

r O?
l

>O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱侧 ? S长方形 2?rl =

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )
2

圆锥的侧面展开图是扇形

2?r

S圆锥侧 ? ?rl
2

l

r

O

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )

r 'O’
l

2?r '

圆台的侧面展开图是扇环

2?r

r

O

思考:圆台侧面积是如何计算呢?

x

r 'O’
l

2?r '

2?r

r x ? r x?l

'

r

rx ? r x ? r l
' '
' '

O

S侧

? ? r (l ? x) ? ? r x ? ? (rl ? rx ? r x )
? ? ( r ' l ? rl )
'2
/

S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
2 '

S圆台侧=S扇环=?(r ? r )l

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么 关系?
r
O?
上底扩大

r 'O’
l

l

上底缩小

l

O
'2

r

O
2 '

r

O

r/=r
2

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )

r/=0

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

看图回答问题
r ?1
r' ? 1

h?2

l ?2

r ?1

l ?2

r?2

4? S圆柱侧 ? __ ??S圆锥侧 ? __??????? 2? S圆台侧 ? __ 6? S圆柱表 ? 6???S __????????? ? __? S 3 ? 11? __
圆锥表

圆台表

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直径 为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为 了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100 毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆?( ? 取 3.14,结果精确到1毫升,可用计算器.) 解:由圆台的表面积公式得 20cm 花盆的表面积:
2 ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15 cm
15 cm

? 1000(cm ) ? 0.1(m )
2

2

涂100个花盆需油漆:0.1?100 ?100 ? 1000(毫升) 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

例3.已知圆锥的表面积为3平方米,且它的侧面 展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.
解:设圆锥底面半径为 r ,母线长为 l 依题意有 2? r ? ? l ? l ? 2r 又由已知可得

? r ? ? rl ? 3
2

把 l ? 2r 代入上式得

3? r ? 3
2

从而

? r? ?

故底面直径为

2 ?

?

?m? 。

巩固练习 已知圆台的上、下底面半径分别是r、R, 且侧面积等于两底面积之和,求圆台的母 线长。 解: 设圆台母线长为 l ,

则 ? r ? ? R ? ? ? r ? R? l
2 2

r ?R ?l ? r?R
2

2

r ?R 故圆台的母线长为 r?R
2

2



【总一总★成竹在胸】
1.柱体、锥体、台体的表面积公式;

2.台体与柱体和锥体之间的转换关系.
3.化空间问题为平面问题的思想方法 的运用

课后练习 1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其 面积为 3 ,求这个圆锥的表面积。 2.如右图是一个漏斗形铁 管接头,它的母线长是 35cm,两底面直径分别是 50cm和20cm,制作1万个 这样的接头需要多少平方 米的铁皮(∏ 取3.1,结 果精确到1㎡)


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