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2015年高考真题——文科数学(福建卷) Word版含解析


第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若 (1 ? i) ? (2 ? 3i) ? a ? bi ( a, b ? R, i 是虚数单位) ,则 a , b 的值分别等于( A. 3, ?2 【答案】A 【解析】 试题分析:由已知得 3 ? 2i ? a ? bi ,所以 a ? 3, b ? ?2 ,选 A. 考点:复数的概念. 2.若集合 M ? x ?2 ? x ? 2 , N ? ?0,1, 2? ,则 M ? N 等于( A. ?0? 【答案】D B. ?1? C. ?0,1, 2? D ?0,1? B. 3, 2 C. 3, ?3 D. ?1, 4 )

?

?



考点:集合的运算. 3.下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D 【解析】 试题分析:函数 y ? 数,故选 D. 考点:函数的奇偶性. 4.阅读如图所示的程序框图,阅读相应的程序.若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为( A.2 B.7 C.8 D.128 ) )

x

B. y ? e x C. y ? cos x D. y ? e x ? e? x

x 和 y ? ex 是非奇非偶函数; y ? cos x 是偶函数; y ? ex ? e? x 是奇函

【答案】C 【解析】

?2 x , x ? 2, 试题分析:由题意得,该程序表示分段函数 y ? ? ,则 f (1) ? 9 ?1 ? 8 ,故选 C. ?9 ? x, x ? 2
考点:程序框图. 5.若直线 A.2

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于( a b
B.3 C.4 D.5



【答案】C

考点:基本不等式. 6.若 sin ? ? ? A.

12 5

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( 13 12 5 5 B. ? C. D. ? 12 5 12



【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 sin ? ? ?

tan ? ?

sin ? cos ?

5 12 2 , 且 ? 为 第 四 象 限 角 , 则 cos ? ? 1 ? sin ? ? ,则 13 13

??

5 ,故选 D. 12

考点:同角三角函数基本关系式. 7.设 a ? (1,2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于( A. ?

?

?

?

?

?

?

?



3 2

B. ?

5 3

C.

5 3

D.

3 2

【答案】A

考点:平面向量数量积. 8.如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) .且点 C 与点 D 在函数

? x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则该点取自阴影部分 ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2
的概率等于( A. )

1 6

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

y D F O C x B

A

【答案】B

考点:古典概型. 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A. 8 ? 2 2 B. 11 ? 2 2 C. 14 ? 2 2 D. 15 )

2

1

1

1

【答案】B 【解析】 试题分析:由三视图还原几何体,该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四棱柱,且底

2 ,直角腰长为 1 ,斜腰为 2 .底面积为 2 ? 面直角梯形的两底分别为 1,
为则其表面积为

1 ? 3 ? 3 ,侧面积 2

2+2+4+2 2=8+2 2 ,所以该几何体的表面积为 11 ? 2 2 ,故选 B.
考点:三视图和表面积.

?x ? y ? 0 ? x ? y 的最大值为 2, 10. 变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 若z ?2 则实数 m 等于 ( ?mx ? y ? 0 ?
A. ? 2 【答案】C B. ? 1 C. 1 D. 2



【解析】
3 2

C
–4 –3 –2 –1

1

B
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

试题分析:将目标函数变形为 y ? 2 x ? z ,当 z 取最大值,则直线纵截距最小,故当 m ? 0

2 2m , ). 显然 O (0, 0) 2m ? 1 2m ? 1 2 2m 4 2m , ) 是最优解,代入目标函数得 ? ? 2 ,解 不是最优解,故只能 B ( 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1
时, 不满足题意; 当 m ? 0 时, 画出可行域, 如图所示, 其中 B ( 得 m ? 1 ,故选 C. 考点:线性规划. 11 . 已 知 椭 圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右 焦 点 为 F . 短 轴 的 一 个 端 点 为 M , 直 线 a 2 b2
4 , 5

l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于
则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A.

(0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

【答案】A

考点:1、椭圆的定义和简单几何性质;2、点到直线距离公式.

12. “对任意 x ? (0,

?
2

) , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的(
B.必要而不充分条件



A.充分而不必要条件 要条件 【答案】B

C. 充分必要条件 D.既不充分也不必

考点:导数的应用.

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年 级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为_______. 【答案】 25 【解析】 试题分析:由题意得抽样比例为 考点:分层抽样.
0 0 14.若 ?ABC 中, AC ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? _______.

45 1 1 ? ? 25 . ,故应抽取的男生人数为 500 ? 900 20 20

【答案】 2 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 B ? 180 ? A ? C ? 60 . 由 正 弦 定 理 得
0 0

AC ? sin B

BC ,则 si An

BC ?

AC sin A , sin B

所以 BC ?

3? 3 2

2 2 ? 2.

考点:正弦定理. 15.若函数 f ( x) ? 2
x ?a

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [m, ??) 单调递增,则

实数 m 的最小值等于_______. 【答案】 1 【解析】 试题分析:由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 得函数 f ( x ) 关于 x ? 1 对称,故 a ? 1 ,则 f ( x) ? 2 复合函数单调性得 f ( x ) 在 [1, ??) 递增,故 m ? 1 ,所以实数 m 的最小值等于 1 . 考点:函数的图象与性质. 16. 若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点, 且 a, b, ?2 这三个
2
x ?1

,由

数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于________. 【答案】9

考点:等差中项和等比中项. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

【答案】 (Ⅰ) an ? n ? 2 ; (Ⅱ) 2101 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用基本量法可求得 a1 , d ,进而求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列前 n 项和, 首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题 bn ? 2n ? n , 故可采取分组求和法求其前 10 项和. 试题解析: (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

? a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 .

考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 18. (本题满分 12 分) 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的 全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名 的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.

组号

分组

频数

1 2 3 4

[4,5)

2 8 7 3

[5, 6)
[6, 7) [7,8]

(Ⅰ)现从融合指数在 [4,5) 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研,求 至少有 1 家的融合指数在 ?7,8? 的概率; (Ⅱ)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【答案】 (Ⅰ)

9 ; (Ⅱ) 6.05 . 10

解法一: (I)融合指数在 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 ,? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台” 中随机抽取 2 家的所有基本事件是:??1 , ?2 ? ,??1 , ?3? ,??2 , ?3? ,??1 , ?1? ,??1 , ?2 ? ,

??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? , ??1, ?2? ,共10 个.
其中,至少有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? , ??1 , ?3? , ??2 , ?3? ,

??1, ?1? , ??1, ?2? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? ,共 9 个.
所以所求的概率 ? ?

9 . 10 7 6 ?. 5 ? 2 0 3

( II ) 这 20 家 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 的 融 合 指 数 平 均 数 等 于

2 4 .?5 ? 2 0

8 5? . 5 ? 2 0

? 7 . . 5? 2 0

6 . 0 5

解法二: (I)融合指数在 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 ,? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5?

内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台” 中随机抽取 2 家的所有基本事件是:??1 , ?2 ? ,??1 , ?3? ,??2 , ?3? ,??1 , ?1? ,??1 , ?2 ? ,

??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? , ??1, ?2? ,共10 个.
其中,没有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? ,共 1 个. 所以所求的概率 ? ? 1 ? (II)同解法一. 考点:1、古典概型;2、平均值. 19. (本小题满分 12 分) 已知点 F 为抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A(2, m) 在抛物线 E 上,且 AF ? 3 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相 切的圆,必与直线 GB 相切.

1 9 ? . 10 10

【答案】 (Ⅰ) y ? 4 x ; (Ⅱ)详见解析.
2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用抛物线定义,将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题 由 AF ? 3 可得 2 ?

p ? 3 ,可求 p 的值,进而确定抛物线方程; (Ⅱ)欲证明以点 F 为圆心 2

且与直线 GA 相切的圆, 必与直线 GB 相切. 可证明点 F 到直线 GA 和直线 GB 的距离相等 (此 时需确定两条直线方程) ;也可以证明 ??GF ? ??GF ,可转化为证明两条直线的斜率互为

相反数. 试题解析:解法一: (I)由抛物线的定义得 ?F ? 2 ? 因为 ?F ? 3 ,即 2 ?

p . 2

p ? 3 ,解得 p ? 2 ,所以抛物线 ? 的方程为 y 2 ? 4x . 2

(II)因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 . 由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ? F 的方程为 y ? 2 2 ? x ? 1? . 由?

?

?

?

?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

解得 x ? 2 或 x ? 又 G ? ?1,0? , 所以 kG? ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

? 2 ?0 2 2 2 2 ?0 2 2 ?? , kG? ? , ? 1 3 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 2

所以 kG? ? kG? ? 0 ,从而 ??GF ? ??GF ,这表明点 F 到直线 G? , G ? 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 解法二: (I)同解法一. (II)设以点 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆的半径为 r . 因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 .

?

?

由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ? F 的方程为 y ? 2 2 ? x ? 1? .

?

?

由?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

解得 x ? 2 或 x ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

又 G ? ?1,0? ,故直线 G? 的方程为 2 2 x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 从而 r ?

2 2?2 2 8?9

?

4 2 . 17

又直线 G ? 的方程为 2 2 x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 所以点 F 到直线 G ? 的距离 d ?

2 2?2 2 8?9

?

4 2 ?r. 17

这表明以点 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系. 20. (本题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点, ?? 垂直于圆 ? 所在的平面,且

?? ? ?? ? 1.

(Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证 ?C ? 平面 ? D? ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC ? 2 ,点 E 在线段 PB 上,求 CE ? OE 的最小值.

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】

1 2? 6 ; (Ⅲ) . 3 2

试题分析: (Ⅰ) 要证明 ?C ? 平面 ? D? , 只需证明 AC 垂直于面 ? D? 内的两条相交直线. 首 先由 ?? 垂直于圆 ? 所在的平面,可证明 ?? ? ?C ;又 ?? ? ?C , D 为 ? C 的中点,可证 明 ?C ? ?D ,进而证明结论; (Ⅱ)三棱锥 P ? ABC 中,高 PO ? 1 ,要使得 P ? ABC 体积

最大,则底面 ABC 面积最大,又 AB ? 2 是定值,故当 AB 边上的高最大,此时高为半径, 进而求三棱锥 P ? ABC 体积; (Ⅲ)将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,此时线段 OC 的长度即为 CE ? OE 的最小值.
'

试题解析:解法一: (I)在 ??? C 中,因为 ?? ? ?C , D 为 ? C 的中点, 所以 ?C ? ?D . 又 ?? 垂直于圆 ? 所在的平面, 所以 ?? ? ?C . 因为 D? ? ?? ? ? , 所以 ?C ? 平面 ? D? . (II)因为点 C 在圆 ? 上, 所以当 C? ? ?? 时, C 到 ?? 的距离最大,且最大值为 1 . 又 ?? ? 2 ,所以 ??? C 面积的最大值为 又因为三棱锥 ? ? ?? C 的高 ?? ? 1 , 故三棱锥 ? ? ?? C 体积的最大值为 ?1?1 ?

1 ? 2 ?1 ? 1 . 2 1 . 3
?

1 3

(III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 , 所以 ?? ? 12 ? 12 ? 2 . 同理 ?C ?

2 ,所以 ?? ? ?C ? ?C .

在三棱锥 ? ? ??C 中,将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如图 所示.

当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 又因为 ?? ? ?? , C?? ? C?? , 所以 ?C? 垂直平分 ?? , 即 ? 为 ?? 中点.

从而 ?C? ? ?? ? ?C? ?

2 6 2? 6 , ? ? 2 2 2 2? 6 . 2

亦即 C? ? ?? 的最小值为

解法二: (I) 、 (II)同解法一. (III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 ,
?

所以 ???? ? 45 , ?? ? 12 ? 12 ? 2 .同理 ?C ?
?

2.

所以 ?? ? ?C ? ?C ,所以 ?C?? ? 60 .
?

在三棱锥 ? ? ??C 中,将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如图 所示. 当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 所以在 ??C?? 中,由余弦定理得:

?C?2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos ? 45? ? 60? ?

? 2 1 ? 1 ? 2? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2

2 ? 2

? 3 ? ? 2 ?

? 2? 3.
从而 ?C? ?

2? 3 ?

2? 6 . 2 2? 6 . 2

所以 C? ? ?? 的最小值为

考点:1、直线和平面垂直的判定;2、三棱锥体积. 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后得 6

到函数 g ? x ? 的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2.

(ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ⅱ)详见解析. 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 首 先 利 用 证 明 二 倍 角 公 式 和 余 弦 降 幂 公 式 将 f ? x ? 化 为

2? ?? ? 求周期; (Ⅱ)由函数 f ? x ? 的解析式中给 x 减 T? f ( x)? 1 0 s?i n x ? ? ? ,然后利用 5 6? ? ?

? ,再将所得解析式整体减去 a 得 g ? x ? 的解析式为 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a ,当 sin x 取 1 的 6
时, g ? x ? 取最大值 10 ? 5 ? a ,列方程求得 a ? 13 ,从而 g ? x ? 的解析式可求;欲证明存在无 穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,可解不等式 g ? x0 ? ? 0 ,只需解集的长度大于 1,此时解集中一定含有整数,由周期性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数 x0 . 试题解析: (I)因为 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 2 2 2

? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5

?? ? ? 10sin ? x ? ? ? 5 . 6? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? . (II) (i) 将 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象, 再向下平移 a 6

( a ? 0 )个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象. 又已知函数 g ? x ? 的最大值为 2 ,所以 10 ? 5 ? a ? 2 ,解得 a ? 13 . 所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 . (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存在无穷多个 互不相同的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即 sin x0 ?

4 . 5



? 4 4 3 ? 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 sin ? 0 ? . 3 5 5 2

由正弦函数的性质可知,当 x ? ??0 , ? ? ?0 ? 时,均有 sin x ? 因为 y ? sin x 的周期为 2? ,

4 . 5

所以当 x ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ( k ? ? )时,均有 sin x ? 因为对任意的整数 k , ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ?

4 . 5

?

3

? 1, 4 . 5

所以对任意的正整数 k ,都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ,使得 sin xk ? 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 考点:1、三角函数的图像与性质;2、三角不等式. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ?( 恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? . 1 , x )0 时, 【答案】(Ⅰ) ? 0, ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求导函数 f ? ? x ? ?

? 1? 5 ? (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ) ? ??,1? . ?; 2 ? ? ?

? x2 ? x ? 1 ,解不等式 f ' ( x) ? 0 并与定义域求交集,得函 x

数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)构造函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ?1, ?? ? .欲证明 只需证明 F ( x) 的最大值小于 0 即可; (Ⅲ) 由 (II) 知, 当 k ? 1 时, 不存在 x0 ? 1 f ? x ? ? x ?1, 满足题意;当 k ? 1 时,对于 x ? 1 , 有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ? x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意;当 k ? 1 时, 构造函数 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,利用导数研究函数 G ( x) 的形状,只要存在

x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时
G ( x) ? 0 即可.

试题解析: (I) f ? ? x ? ? 由 f ? ? x? ? 0 得 ?

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? ? 0, ??? . x x
解得 0 ? x ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? ? ? ?. 2 ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ??? . 则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1. (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ?x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 则有 G? ? x ? ? ? x ? 1 ? k ? . x x
由 G? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .
2

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ?1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? . 考点:导数的综合应用.


2015年高考真题——理科数学(福建卷) Word版含解析

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2015年高考真题——理科数学(福建卷) Word版含答案

2015年高考真题——理科数学(福建卷) Word版含答案_资格考试/认证_教育专区。...( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f( x)...

2015年高考福建省文科数学真题word版(含解析)

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2015年高考真题——理科数学(福建卷)_Word版含答案

2015年高考真题——理科数学(福建卷)_Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项...

2015年高考真题——文科数学(福建卷) Word版含答案

2015年高考真题——文科数学(福建卷) Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数 学(文史类) 第Ⅰ卷(选择题 共 ...

2015年高考真题——文科数学(山东卷) Word版含解析

2015年高考真题——文科数学(山东卷) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1. 已知集合 A...

2015年高考试题——理科数学(福建卷) Word版含答案

2015年高考试题——理科数学(福建卷) Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。...( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f( x)...

2015年高考真题——文科数学(四川卷)Word版含解析

2015年高考真题——文科数学(四川卷)Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。一、选择题 1、设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B=( (...

2015年高考真题——文科数学(湖北卷) Word版含解析

2015年高考真题——文科数学(湖北卷) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个...

2015年高考真题——文科数学(山东卷) Word版含解析

2015年高考真题——文科数学(山东卷) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。第Ⅰ卷(共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分...