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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学 1.1.2 弧度制课件 新人教A版必修4


1.1.2 弧度制

本节课通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并 掌握弧度制的定义 ,领会定义的合理性 .根据弧度制的定义推导并 运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制 的互化, 能正确使用计算器 . 通过本节的学习,使同学们掌握另一 种度量角的单位制 -- 弧度制,理解并认识到角度制与弧度制都是 对角度量的方法,二者是辨

证统一的,而不是孤立、割裂的关系.

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一
对应关系 :即每一个角都有唯一的一个实数 (即这个角的弧度数 )与 它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备.

(1)理解并掌握弧度制的定义;
(2)领会弧度制定义的合理性; ( 3 )掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公 式; (4)熟练地进行角度制与弧度制的换算; (5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系 (6) 使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制 与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而 不是孤立、割裂的关系.

1.角的概念的推广 2.象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴正半轴 重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,我 们就说这个角是第几象限角。 3.终边相同的角
所有与角α 终边相同的角,连同角 α在内,可构成

一个集合

S ? {? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z },
0

1. 在平面几何里,度量角的大小用什么单位? 度 2. 1? 是如何规定的?

1 周角的 为1? 的角。 360
3.我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
4.在圆内,圆心角的大小 和半径大小有关系吗?
?

A

l

1. 弧度:圆心角所对的弧长与半 径之比称为这个角的弧度数。 l 即 :? ? r

?
O

B r

2. 1弧度角的规定: 我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角. 3.弧度制:这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制,它的单位是弧度,单位符号是rad.

思考:若半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为 2r,那么,角α的弧度数是多少?
l ? 2r

B

?
O
A

? ? 2rad

理解概念

当AB弧的长度为2r、3r时, 正角∠AOB为多少弧度? 一个周角的弧度数是多少?半个圆弧所对的圆心角 的弧度数是多少?
弧长l 半径r 圆心角α (弧度) r r 2r r 3r r 2πr r πr r

1

2

3



π

l ? ? r

l ?? ?r

l 结论:角α的弧度数的绝对值是 ? = r
r为半径, l为角α所对弧的长

若∠AOB为负角,且l=2r,则∠AOB为多少弧度? -2 rad l 公式? ? 应该如何修改? r 思考:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长 是l,那么α的弧度数是多少?
l
α rad

α的正负由角α 的终边旋转方向决定

r

用弧度来度量角,实际上角的集合

与实数集R之间建立一一对应的关系:
对应角的 弧度数

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

角的集合

实数集R

角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,

角度制是以“度”为单位度量角的制度;
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)
1 360

的大小,而 1 是圆的
的大小;

?

所对的圆心角(或该弧)

③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值.

角度制与弧度制的换算
1. 把角度换成弧度
0

2? rad ? 360 ? 360 ? 2? rad 180 ? ? ? rad ? rad ? 180 ? ? 0 1 ? rad ? 0.01745 rad 180

2. 把弧度换成角度

1rad ?

180

0

?

? 57.30 ? 57 18
0 0

'

若弧是一个整圆,它的圆心角是周角,其弧度数 是2π,而在角度制里它是360°.

例 1 把下列各角的度数化为弧度。 (1)

?

67 °30?
?

67 30 ' ? ? 67.5 ?
?



3 67 30 ' ? rad ? 67.5 ? ? rad 180 8

?

例2

把下列各角的弧度化为度数。

5? (1) ; 12
解 (1)

? (2) 。 4

5? 180? 5? ? ? ? ? 75 12 ? 12

(2)

?
4

?

180

?

?

?

?
4

? 45

?

角度制与弧度制互化时要抓住 180°= ? rad 这个关 键。

课堂练习: 填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度 弧 度
? ? ? 0? 30? 45? 60 90? 120 135 150? 180? 270? 360?

0

π 6

? 4

π 3

? 2

2π 3π 5 ? 3 4 6

?

3π 2? 2

1 ?

?

?
180

rad

180 ? 1rad ? ( )

?

例3. 把下列各角化成 2kπ ? α?0 ? α ? 2π,k ? Ζ ? 的形式:
16 π (1) 3

(2)? 315

?

11π (3)? 7

(4)? 8

16? 4? ? 4? ? ?1? 3 3 7? ? 0 ? 2 ? ? 315 ? ? ? ?2? ? 4 4 11? 3? ? ?2? ? ? 3? ? 7 7

? 4? ? 8 ? ?4? ? ? 4? -8?

象限. 例4 试判断下列各角所在的
5 (4) 1 (1) (1)

?

( 2)

( 5)
?0 ?

11? 5 4 ?

( 3)

(6)
?

2000 ? ? 3 ?8 是第一象限角 .

?
5

?
5

?
2

?
5

( 2)

11? 5

11? ? ? ? 2? ? 5 5

11? ? 是第一象限角 . 5

2000 ( 3) ? ? 3 4? 3? 又 ?? ? ? 3 2

2000 4? ?? ? ? ?668 ?? 3 3 2000 ?? ?是 第 三 象 限 角 . 3

象限. 例4 试判断下列各角所在的
(4) 1
(4) ?0 ? 1 ?

( 5)

4

(6)

?8

?
2

(?? ? 3.1 4 ?

?
2

? 1.57)

? 1是第一象限的角 . 3 . ? ? ? 4 ? ? ? 4是第三象限的角 (5) 2 (6)分析 : 由于? ? 3.14, 得 ? 2? ? ?6.28,

? 4? ? ?12.56.而 ? 8介于两数之间 . ? ?8 ? ?4? ? (4? ? 8) 3 又 ? ? ? 4? ? 8 ? ? ? ? 8是第三象限的角 . 2

解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 ,
一般是将其化成 ? ? 2k? (k ? ?) 的形式 ,然 后再根据 ?所在象限予以判断 .

注意: 不能写成 ? ? (2k ? 1)?
10 ? ?不 能写 成 3? ? 例 3 3 4? 而 应写 成 2? ? 3

. (k ? ?) 的 形 式

的形式 ,

例5 利用弧度制证明下列关于扇形公式: 1 1 2 ?1? l ? ? R ? 2 ? S ? 2 ? R ? 3? S ? 2 lR 其中R是半径,l是弧长, α (0<α<2π )为圆心 角,S是扇形面积. l 证明:(1)由公式 ? = 得l= α R

r

知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是: 2 l n? R n? R l? ,S ? 180 360 α rad n? n°转换为弧度 ? ? r 180 1 1 2 S ? lR S ? ?R 2 2

例6 .已知扇形的周长为8厘米,圆心角为2rad, 求扇形面积。
B

解 设扇形的半径为 r,弧长为l,

?
O

l
r
A

?2r ? l ? 8, 则有? ?l ? 2r ,

?r ? 2, 解得? ?l ? 4.

1 2 因此扇形的面积为 S ? rl ? 4(cm ). 2

1.把下列各角化成 2k? ? ?

?0 ? ? ? 2?,k ? Ζ? 的形式:
.

11? 16? ? (1) ;(2) ? 315 ;(3) ? 3 7 2.下列角的终边相同的是( B ). ? ? A. k? ? 与 2k? ? ,k ? Ζ 4 4 ? 2? B. 2k? ? 与 ? ? ,k ? Ζ 3 3
C. D.

k? ? 与 k? ? ,k ? Ζ 2 2 ?2k ? 1??与 3k?,k ? Ζ

3.将分针拨快15分钟,则分针转过的弧 度数是( C )
? A.- 3
? C.- 2

? B. 3 ?

D.2

4. 5弧度的角所在的象限为( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5.下列角的终边相同的是( B

).

? ? A. k? ? 与 2k? ? ,k ? Ζ 4 4 ? 2 ? B. 2k? ? 与 ? ? ,k ? Ζ 3 3
C.

k? 2



? k? ? ,k ? Ζ 2

D.

?2k ? 1??与 3k?,k ? Ζ

(1) 180 ? ? ? 弧度;

(2)“角化弧”时,将n乘以
“弧化角”时,将α乘以 (3)弧长公式: l

?
180 180




1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? r ? 2 2 (其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)

?? ?r

?