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【2014淄博一模】淄博市2014届高三3月第一次模拟考试 数学理


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淄博市 2013—2014 学年度高三模拟考试试题

理 科 数 学
本试卷,分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正 带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ?

1? A. ? 0 ,

2? B. ?1,

C. (??, ?1) ? (0, ??)

D. (??, ?1) ? (1, ??)

2.在复平面内,复数 A.第一象限

2?i 对应的点位于 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

3.已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? 的值是 A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

4.在等差数列 ? an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a 7 = A.10 B.18 C.20 D.28

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 x 的值为 A.3 B.126 C.127 D.128

6.如图所示,曲线 y ? x ? 1 , x ? 2, x ? 0,y=0 围成的阴影部分的面积为
2

A. C.

? |x
0

2

2

? 1 |dx ? 1)dx

B. | D.

? (x
0
1 2 0

2

2

? 1)dx |
2 1

? (x
0

2

2

? (x

? 1)dx ? ? (1 ? x2 )dx

7.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视图 如图所示,则其侧视图的面积为 A.

2 2 2 4

B.

1 2 1 4

C.

D.

8.下列说法正确 的是 .. A. “ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件; B.已知随机变量 X ? N 2, ?

?

2

? ,且 P ? X ? 4 ? ? 0.84 ,则 P ? X ? 0 ? ? 0.16 ;
1 ? 成立的概率是 ; 4 4

C.若 a, b ? ? 0,1? ,则不等式 a 2 ? b 2 ?

D.已知空间直线 a, b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c . 9. 过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线交其于 A ,B 两点,O 为坐标原点. 若 | AF |? 3 , 则 ?AOB
2

的面积为 A.
2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.2 2

10.若函数 f ( x) 的导函数在区间 ? a, b ? 上的图像关于直线 x ? 区间 [a, b] 上的图象可能是

a?b 对称,则函数 y ? f ( x) 在 2

A.①④

B.②④

C.②③

D.③④

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 的解集为 .

? x ? y ?5 ? 0 ? x ? 2 y ?1 ? 0 12.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ?1 ? 0 ?
??? ? ??? ? CD ? CB ?



13 . 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?C ? 900 , AB ? 2 , AC ? 1 , 若 AD ? . 14.从 0,1, 2,3, 4 中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是 作答) . 15.已知在平面直角坐标系中有一个点列: P 1 ? 0,1? , P 2 ( x2 , y2 ) ,??,

????

? 3 ??? AB , 则 2
(用数字

Pn ( xn , yn ) ? n ? N* ? .若点 Pn ( xn , yn ) 到点 Pn ?1 ? xn ?1 , yn ?1 ? 的变化关系为:

? xn ?1 ? yn ? xn n ? N* ? ,则 | P2013P2014 | 等于 ? ? ? yn ?1 ? yn ? xn
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos(2 x ?



?

?

3

? ? ? ), cos x ? sin x) , b ? (1, cos x ? sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ( A) ? 求 ?ABC 的面积 S . 17. (本题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,

3 ? ,a ? 2,B ? , 2 3

AB ∥ CD , ?ABC ? 600 , AB ? 2CB ? 2 .在梯形 ACEF 中, EF ∥ AC , 且 AC =2EF , EC ⊥平面 ABCD . (Ⅰ)求证: BC ? AF ;
(Ⅱ)若二面角 D ? AF ? C 为 45 ,求 CE 的长. 18. (本题满分 12 分) 中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜). 进入总决赛的甲乙两队
0

中,若每一场比赛甲队获胜的概率为

2 1 ,乙队获胜的概率为 ,假设每场比赛的结果互相 3 3

独立.现已赛完两场,乙队以 2: 0 暂时领先. (Ⅰ)求甲队获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望

EX .
19.(本题满分 12 分) 若数列 ? An ? 满足 An ?1 ? An ,则称数列 ? An ? 为“平方递推数列”.已知数列 ? an ? 中,
2

a1 ? 9 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列 ?an ? 1? 是“平方递推数列”,且数列 ?lg( an ? 1)? 为等比数列; (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn , 即 Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1) ,求 lg Tn ; (Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的条件下, 记 bn ? 的 n 的最小值. 20. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

lg Tn , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n , 并求使 Sn ? 4026 lg(an ? 1)

2 x2 y 2 ) ,右焦点为 F2 .设 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 ,且过点(1 , 2 a b 2

1 线段 AB 的中点 M 的横坐标为 ? , 线段 AB 的中垂线交椭圆 C A ,B 是 C 上的两个动点, 2
于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

???? ? ???? ? (Ⅱ)求 F2 P ? F2Q 的取值范围.
21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e
x?m

? ln(2 x) .

(Ⅰ)设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明: f ( x) > ? ln 2 .

一模数学试题参考答案及评分说明 2014.3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (理科)[?2,3] 12. 9 13. (理科) 10.D

21006

9 2

14. (理科)60

15. (理科)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (理科 本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? cos(2 x ?

? ?

?
3

) ? cos2 x ? sin 2 x

? cos(2 x ? ) ? cos 2 x ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3
? 3 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin(2 x ? ) ????3 分 2 2 2 2 3

?

?

?

令?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ( k ? Z ) ,得 ?

5? ? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) , 12 12

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ?

? ? 5? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . ????6 分 12 ? 12 ?

(Ⅱ)由 f ( A) ?

3 ? 1 ,得 sin(2 A ? ) ? , 2 3 2

因为 A 为 ?ABC 的内角,由题意知 0 ? A ? 因此 2 A ?

5 ? ? ? ,解得 A ? , 4 3 6 ? a b 又 a ? 2 , B ? ,由正弦定理 , ? 3 sin A sin B
由A?

?

2 ? ? 5 ? ,所以 ? 2 A ? ? ? , 3 3 3 3
??????????? 8 分 得b ?

6 ,?????? 10 分

?

4

,B ?

?

3

,可得 sin C ? sin(? ? ( A ? B)) ? sin(A ? B)

= sin A cos B ? cos A sin B ?

2 1 2 3 ? ? ? ? 2 2 2 2

6? 2 ,???????11 分 4

所以, ?ABC 的面积 S ? 17. (理科

1 6 ? 2 3? 3 1 = .?12 分 ab sin C ? ? 2 ? 6 ? 2 4 2 2

本题满分 12 分)

解证: (Ⅰ)证明:在 ?ABC 中, AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos 60? ? 3 所以 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,由勾股定理知 ?ACB ? 90? 所以 BC ? AC . 又因为 EC ⊥平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD 所以 BC ? EC . 所以 BC ? AF . 直角坐标系 C ? xyz . 设 CE =h , 则 C ? 0, 0, 0 ? , A ?????????4 分 ?????????6 分 又因为 AC ? EC ? C 所以 BC ⊥平面 ACEF ,又 AF ? 平面 ACEF (Ⅱ)因为 EC ⊥平面 ABCD ,又由(Ⅰ)知 BC ? AC ,以 C 为原点,建立如图所示的空间 ??2 分

?

? 3 ? , 3, 0, 0 , F ? , 0, h ? ? 2 ? ? ?

?

? 3 1 ? ???? ? 3 1 ? , AD ? ? ? D? , ? , 0 ? ? 2 ,? 2 ,0? ?, ? 2 2 ? ? ? ? ?

??? ? ? ? 3 AF ? ? ? ? 2 , 0, h ? ?. ? ?

??????????8 分

???? ? ? AD ? n1 ? 0, 设平面 DAF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ? AF ? n1 ? 0.
3 2h

? ?? ? 所以 ? ?? ? ?

3 1 x ? y ? 0, 2 2 3 x ? hz ? 0. 2

令 x ? 3 .所以 n1 ? ( 3, ?3, ) . 又平面 AFC 的法向量 n2 ? (0,1, 0) 所以 cos 45 ?
?

???????????9 分 ???????????10 分

n1 ? n2 n1 ? n2
6 . 4

?

2 6 , 解得 h ? . ????????11 分 2 4
??????????????12 分

所以 CE 的长为

18. (理科 本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设甲队获胜为事件 A ,则甲队获胜包括甲队以 4 : 2 获胜和甲队以 4: 3 获胜两种情 况.

? 2 ? 16 设甲队以 4 : 2 获胜为事件 A1 ,则 P ? A1 ? ? ? ? ? ????????2 分 ? 3 ? 81

4

设甲队以 4: 3 获胜为事件 A2 ,则 P ? A2 ? ? C4 ? ? ?
1

1 ? 2 ? 2 64 ???4 分 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 243
??????????? 6 分

3

16 64 112 ? ? 81 243 243 (Ⅱ)随机变量 X 可能的取值为 4, 5, 6, 7. P ? A? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ?
2

?1? 1 P ? X ? 4? ? ? ? ? ?3? 9 1 2 1 4 1 P ? X ? 5? ? C2 ? ? ? ? 3 3 3 27 1 ?2? 1 ?2? 28 P ? X ? 6? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? 3 ?3? 81
1 3 2 4

??????????? 7 分 ???????????? 8 分

????? ????? 9 分

1 ? 2 ? 32 P ? X ? 7? ? C ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 81
1 4 3 1 4

3

?????????????? 10 分
3

1 ?2? 1 1 2 32 64 32 3?2? + = ) (或者 P ? X ? 7 ? ? C ? ? ? ? ? +C4 ? ? ? ? ? 3 ?3? 3 ? 3 ? 3 3 243 243 81 X 的概率分布为:

X
P

4
1 9

5
4 27

6
28 81

7
32 81

1 4 28 32 488 EX ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 9 27 81 81 81
19.(理科 本题满分 12 分)
2

???????????12 分

解证:(Ⅰ)由题意得: an ?1 ? an ? 2an ,即 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) ,
2

则 ?an ? 1? 是“平方递推数列” .
2

?????????????????2 分

对 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 两边取对数得 lg(an ?1 ? 1) ? 2lg(an ? 1) , 所以数列 ?lg( an ? 1)? 是以 ?lg( a1 ? 1)? 为首项, 2 为公比的等比数列.???4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? 2
n ?1

? 2n?1

???????????5 分

lg Tn ? lg(a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? lg(a2 ? 1) ? ? ? lg(an ? 1)
1? (1 ? 2n ) ??????????????8 分 ? 2n ? 1 1? 2 lg Tn 2n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ( ) n ?1 (Ⅲ) bn ? ????????????9 分 lg(an ? 1) 2 2 ?

1 2 n ? 2n ? 2 ? 1 ??????????????10 分 S n ? 2n ? n ?1 1 2 1? 2 1 1 又 Sn ? 4026 ,即 2n ? 2 ? n ?1 ? 4026, n ? n ? 2014 ???????11 分 2 2 1?

又0 ?

1 ? 1 ,所以 nmin ? 2014 . 2n

?????????????12 分

20. (理科 本题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 因为焦距为 2 ,所以 a ? b ? 1 .因为椭圆 C 过点( 1 ,
2 2

2 ) , 2
y P M A F1 O F2 x B

1 1 2 2 所以 2 ? 2 ? 1 .故 a ? 2 , b ? 1 ? 2 分 a 2b
所以椭圆 C 的方程为

x ? y 2 ? 1 ????4 分(Ⅱ) 由 2

2

题意,当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x ? ? 此时 P ? 2, 0 、Q 5分

?

?

?

2, 0

?

, 得 F2 P ? F2Q ? ?1. ???

???? ? ???? ?

1 , 2

Q

当 直 线 AB 不 垂 直 于 x 轴 时 , 设 直 线 AB 的 斜 率 为 k ( k ? 0 ) , M (?

1 , m) ( m ? 0 ) , 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
? x12 ? y12 ? 1, ? y ? y2 ? 2 ? 0 ,则 ?1 ? 4mk ? 0 , 由 ? 2 得 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 1 x1 ? x2 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2
故 4mk ? 1 . ???????????????? 6 分

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m , PQ 的直线方程为 y ? m ? ?4m ? x ? 即 y ? ?4mx ? m .

? ?

1? ?. 2?

? y ? ?4mx ? m ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 消去 y ,整理得 (32m ? 1) x ? 16m x ? 2m ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
设 P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ?

16m2 2m 2 ? 2 所以 x3 ? x4 ? ? , x3 x4 ? . ???????????9 分 32m2 ? 1 32m2 ? 1
于是

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q ? ? x3 ? 1?? x4 ? 1? ? y3 y4 ? x3 x4 ? ? x3 ? x4 ? ? 1 ? ? 4mx3 ? m ?? 4mx4 ? m ?
? ? 4m 2 ? 1? ? x3 ? x4 ? ? ?16m 2 ? 1? x3 x4 ? m 2 ? 1

(1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)(?16m2 ) 19m 2 ? 1 2 .?? 11 分 ? ? ?1? m ? 32m2 ? 1 32m2 ? 1 32m 2 ? 1

1 7 , m) 在椭圆的内部,故 0 ? m 2 ? 2 8 ???? ? ???? ? 19 51 2 令 t ? 32m ? 1 , 1 ? t ? 29 ,则 F2 P ? F2Q ? . ? 32 32t ???? ? ???? ? 125 又 1 ? t ? 29 ,所以 ?1 ? F2 P ? F2Q ? . 232
由于 M (? 综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为 ? ?1, 21. (理科 本题满分 12 分) 解证: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ?m ? 即e
1? m

????? 12 分

? ?

125 ? ?. 232 ?

???????? 13 分

1 ,由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 , x
????????????2分

? 1 ? 0 ,所以 m ? 1.
x ?1

于是 f ( x) ? e

, f ?( x) ? e x ?1 ? ? ln(2 x),(x ? 0)

1 , x

由 f ??( x) ? e x ?1 ?

1 ? 0 知 f ?( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递增,且 f ?(1) ? 0 , x2
???????????4分

所以 x ? 1 是 f ?( x) ? 0 的唯一零点.

因此,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ???????????6分 (Ⅱ)解法一:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e
x?m

? e x?2 ,

故只需证明当 m ? 2 时, f ( x) > ? ln 2 . ????????????8分
x ?2 当 m ? 2 时,函数 f ?( x) ? e ?

1 在 (0, ??) 上单调递增, x

又 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 , 故 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? (1, 2) .???????10 分 当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 从而当 x ? x0 时, f ( x) 取得最小值且 f ?( x0 ) ? 0 . 由 f ?( x0 ) ? 0 得 e 故 f ( x) ? f ( x0 )
x0 ? 2

?

1 , ln x0 ? 2 ? x0 .?????????????12 分 x0

f ( x0 ) ? e x0 ?2 ? ln(2 x) =

1 1 ? x0 )2 ? ln 2 ? ? ln 2 . ? ln 2 ? 2 ? x0 = ( x0 x0
??????????14 分
x?m

综上,当 m ? 2 时, f ( x) ? ? ln 2 . 解法二:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e

? e x ?2 ,又 e x ? x ? 1 ,所以

e x ?m ? e x ?2 ? x ? 1 .

???????????????8分

取函数 h( x) ? x ? 1 ? ln(2 x)( x ? 0) ( x ? 0) ,h' ( x) ? 1 ?

1 ,当 0 ? x ? 1 时,h' ( x) ? 0 ,h( x ) x

单调递减;当 x ? 1时, h' ( x) ? 0 , h( x ) 单调递增,得函数 h( x ) 在 x ? 1时取唯一的极小值即 最小值为 h(1) ? ? ln 2 . ??12 分 所以 f ( x) ? e
x ?m

? ln(2 x) ? e x ?2 ? ln(2 x) ? x ? 1 ? ln(2 x) ? ? ln 2 ,而上式三个不等号不能同时

成立,故 f ( x) > ? ln 2 .?????????????14 分


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