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2011年高考数学一轮复习(共87节)2.8 函数的应用(1)


2.8 函数的应用(1) 【知识网络】 综合运用函数的性质解决问题. 【典型例题】 B. {x | x > 0} C. {x | x < ?1} D. {x | x < ?1或x > 1} B = {x | x > 1} , A I B = {x | x > 1} 提示: A = {x | x > 1或x < ?1} , A. {x | x > 1} 例 1. (1)设集合 A = {x | x 2 ? 1 > 0}, B = {x | log 2 x > 0 |}, 则A ∩ B 等于 ( A )

1 ?1. 5 0. 9 0. 44 (2)设 y1 = 4 , y2 = 8 , y3 = ( ) ,则 (D) 2 A. y3 > y1 > y2 B. y2 > y1 > y3 C. y1 > y2 > y3
提示: y1 = 2 为 D.
1. 8

D. y1 > y3 > y2

, y2 = 2

1. 32

, y3 = 2

1. 5

,∵ y = 2 在 R 上为增函数,∴ y1 > y3 > y2 ,答案
x

(3)下列函数既是奇函数,又在区间 [?1, 1] 上单调递减的是(D ) 1 2? x A. f ( x ) = sin x B. f ( x) = ? | x + 1| C. f ( x ) = ( a x + a ? x ) D. f ( x ) = ln 2 2+ x 提示:A、D 为奇函数,A 中函数在 [?1, 1] 上为增函数,故答案为 D (4)若函数 y = x 2 + ( a + 2) x + 3, x ∈ [ a, b] 的图象关于直线 x = 1 对称,则 b = 6

a+2 ?4 + b = 1 解得: a = ?4 ,由 =1得b = 6 . 2 2 (5)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (?∞,0] 上是减函数, 且 f (2) = 0 ,则使得 f ( x) < 0 的 x 的取值范围是 (?2, 2) 提示:作出示意图:当 ?2 < x < 2 ,时, f ( x) < 0 .
提示:由 ?
2 例 2.解不等式: log 1 ( x ? x ? 2) > log 1 ( x ? 1) ? 1. 2
2

2

解:原不等式变形为 log 1 ( x ? x ? 2) > log 1 (2 x ? 2) .所以,原不等式
2 2

? x 2 ? x ? 2 > 0, ?( x ? 2)( x + 1) > 0, ? x > 2, ? ? ? ?x ? 1 > 0 ? ? x ? 1 > 0, ?? ? 2 < x < 3. ?0 < x < 3 ? 2 ? 2 ? x ? 3x < 0 ?x ? x ? 2 < 2x ? 2 故原不等式的解集为 {x | 2 < x < 3} . a ( x ? x ?1 ) ,其中 a > 0 且 a ≠ 1 例 3.已知函数 f (x ) 满足 f (log a x ) = 2 a ?1 (1)对于函数 f (x ) ,当 x ∈ (?1,1) 时, f (1 ? m) + f (1 ? m 2 ) < 0 求实数 m 的取值集合; 2) (2)当 x ∈ (?∞, 时, f (x ) -4 的值恰为负数,求 a 的取值范围.
解: (1)令 t = log a x ,则 x = a t , f (t ) = 函数 f ( x) 的定义域为 R, f (? x) = 当 0 < a < 1 时, 当 a > 1 时,
2 2

a (a t ? a ?t ) a ?1
2

∴ f ( x) =

a (a x ? a ? x ) , a ?1
2

a ( a ? x ? a x ) = ? f ( x) ,故 f (x ) 为奇函数. a2 ?1

a < 0 , ax 为减函数, a?x 为增函数,故 f ( x) 为增函数; a ?1

a > 0 , ax 为增函数, a?x 为减函数,故 f ( x) 为增函数; a ?1 综上, f (x ) 为 R 上的增函数.

(1)由 f (1 ? m) + f (1 ? m 2 ) > 0 及 f (x ) 为奇函数,得, f (1 ? m ) < f ( m 2 ? 1) 再由定义域和单调性得: ? 1 < 1 ? m < m 2 ? 1 < 1 ,解之得 1 < m < 2 。 且 所以, f ( x ) ? 4 < f ( 2) ? 4 , 要使 f ( x ) ? 4 (2) 因为 f ( x ) ? 4 在 R 上是增函数, x < 2 , a (a 2 ? a ? 2 ) =4,解之得 a = 2 ± 3 在 (?∞,2) 上恰为负数,只需 f (2) ? 4 = 0 ,即 2 a ?1 例 4. 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c, ( a, b, c ∈ R ) 满足: 对任意实数 x, 都有 f ( x) ≥ x , 1 2 且当 x ∈ (1,3)时,有 f ( x) ≤ ( x + 2) 成立. 8 (1)证明: f ( 2) = 2 ; (2)若 f (?2) = 0, 求f ( x) 的表达式. m 1 (3)设 g ( x) = f ( x) ? x x ∈ [0,+∞) ,若 g (x) 图上的点都位于直线 y = 的上方,求 4 2 实数 m 的取值范围. 又∵取 x =2 时,f (2) ≤ (2 + 2) 2 = 2 恒成立, f ( 2) = 2 ∴ 解: 由条件知 f (2) ≥ 2 恒成立, (1) (2)∵ ?
1 8

? f (2) = 4a + 2b + c = 2 ? f (?2) = 4a ? 2b + c = 0

∴ 4a + c = 1 , 2b = 1 , b =

1 , c = 1 ? 4a 2

f ( x) ≥ x 恒成立,即 ax 2 + (b ? 1) x + c ≥ 0 恒成立
1 2 ∴ a > 0, ? = ( ? 1) ? 4a(1 ? 4a) ≤ 0 ,即: (8a ? 1) 2 ≤ 0 2 1 2 1 1 1 1 1 解得: a = , b = , c = ∴ f ( x) = x + x + 8 2 2 8 2 2
(3)由条件知道, f (x ) 图象总在直线 y =

m 1 x + 上方,即直线与抛物线无公共点. 2 4

1 2 1 1 ? ?y = 8 x + 2 x + 2 1 1 1 m 1 ? 由? 消去 y 得: x 2 + x + = x + ,即: x 2 + 4(1 ? m) x + 2 = 0 m 1 8 2 2 2 4 ?y = x + ? ? 2 4

? = 16(m ? 1)2 ? 8 < 0 ,解得: 1 ?

2 2 . < m <1+ 2 2

【课内练习】 1.若 f (x ) 、 g (x ) 都是 R 上的单调函数,有如下命题: ①若 f (x ) 、 g (x ) 都单调递增,则 f ( x ) ? g ( x ) 单调递增 ②若 f (x ) 、 g (x ) 都单调递减,则 f ( x ) ? g ( x ) 单调递减 ③若 f (x ) 、 g (x ) 都单调递增,则 f ( x ) ? g ( x ) 单调递增 ④若 f (x ) 单调递增, g (x ) 单调递减,则 f ( x ) ? g ( x ) 单调递增 ⑤若 f (x ) 单调递减, g (x ) 单调递增, f ( x ) ? g ( x ) 单调递减 其中正确的是(D) A.①② B.②③④ C.③④⑤ D.④⑤ 提示:①错,反例: f ( x) = x , g ( x) = x ;②错,反例: f ( x) = ? x , g ( x) = ? x ;③错,反 例: f ( x) = x , g ( x) = x ;④⑤正确. 2.函数 f ( x) = a x + log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 ? 积为 ?

1 ,最大值与最小值之 4

3 ,则 a 等于( B ) 8
B.

A.2

1 2

C.2 或

1 2

D.

2 3

1 3 提示: f ( x) 在区间[1,2]上为单调函数,故 f (1) + f (2) = ? , f (1) ? f (2) = ? ,把选择 4 8 1 支代入检验,知 a = ,答案为 B. 2 ?a, a ≥ b 3.对 a, b ∈ R,记 max { a, b }= ? ,函数 f ( x) = max{| x + 1|,| x ? 2 |}( x ∈ R ) 的最 ?b, a<b
小值是(C ) A.0 B.

1 2

C.

3 2

D.3

提示:作出函数 y = f ( x) 的图象,可以看出函数的最小值为

3 2 x ?x 4 若函数 f ( x) = ka ? a ( a > 0且a ≠ 1) 在 ( ?∞,+∞) 是既是奇函数,又是增函数,则

g ( x) = log a ( x + k ) 的图像是( C )

?x x 提示: f (? x) + f ( x) = 0 ,即: ka ? x ? a x + ka x ? a ? x = 0 ,∴ (k ? 1)(a + a ) = 0 x ?x ∵ a ? x + a x ≠ 0 ,∴ k = 1 ,∴ f ( x) = a ? a , g ( x) = log a ( x + 1)

∵ f ( x) = a x ? a ? x 在 (?∞, +∞) 上为增函数,故 a > 1 ,∴ g ( x) = log a ( x + 1) 在 (?1, +∞ ) 上为 增函数,故答案为 C. 5.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x + 2) = ? f ( x) ,则 f (6) 的值为 0 提示: f (6) = f (4 + 2) = ? f (4) = ? f (2 + 2) = f (2) = ? f (0) = 0 2+ x x 2 6.设 f ( x) = lg ,则 f ( ) + f ( ) 的定义域为 (?4, ?1) U (1, 4) 2? x 2 x x ? 2+ x ??2 < 2 < 2, , ? 提示:由 > 0 得, f ( x) 的定义域为 {x | ?2 < x < 2} 。故 ? 2? x ??2 < 2 < 2. ? x ? x 2 解得: (?4, ?1) U (1, 4) ,故 f ( ) + f ( ) 的定义域为 (?4, ?1) U (1, 4) . 2 x 7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是② ① y = ? x 3 , x ∈ R ; ② y = sin x, x ∈ R ;③ y = x, x ∈ R ;④ y = ( ) , x ∈ R . ②在其定义域内是奇函数但不是减函数; ②在其定义域内既是奇函数又是增函数; ③在其定 义域内不是奇函数,是减函数.故答案为①. 8.设函数 f ( x) = lg( x + x 2 + 1) . (1)确定函数 f (x)的定义域;(2)判断函数 f (x)的奇偶性;(3)证明函数 f (x)在其定义域上是单 调增函数.
2 ? 9.解: (1)由 ? x + x + 1 > 0 得 x∈R,定义域为 R. ? 2 ? x +1 ≥ 0 ?

1 x 2

(2) f ( ? x) = lg( ? x +

x 2 + 1) = lg( x + x 2 + 1) ?1 = ? lg( x + x 2 + 1) = ? f ( x)

又 f ( x) 的定义域关于原点对称,所以 f ( x) 是奇函数. (3)设 x1 , x2 ∈ R ,且 x1 < x2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = lg 则 t1 ? t 2 = ( x1 +

x1 + x12 + 1 x2 + x + 1
2 2

. 令t = x +

x2 +1 ,

2 2 x12 + 1) ? ( x 2 + x 2 + 1) = ( x1 ? x2 ) + ( x12 + 1 ? x2 + 1)
2 ( x1 ? x2 )( x12 + 1 + x2 + 1 + x1 + x2 2 x12 + 1 + x2 + 1

= ( x1 ? x2 ) +

( x1 ? x2 )( x1 + x2 )
2 x12 + 1 + x2 + 1

=

∵x1-x2<0, x1 + 1 + x1 > 0 , x 2 + 1 + x 2 > 0 ,
2 2

2 x12 + 1 + x 2 + 1 > 0 ,

∴t1-t2<0,∴0<t1<t2,∴ 0 <

t1 <1 t2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < lg1 = 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,∴ 函数f(x)在R上是单调增函数. 10.设函数 f ( x) =| x 2 ? 4 x ? 5 | . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2)设集合 A = {x f ( x) ≥ 5 }, B = ( ? ∞, ? 2] U [ 0, 4] U [ 6, + ∞ ) . 试判断集合 A 和 B 之间 的关系,并给出证明; (3)当 k > 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上方. 解: (1)函数的图象如下:

(2) 方程 f ( x) = 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 4 和 2 + 14 , 由于 f (x) 在 ( ? ∞, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, + ∞ ) 上单调递增,因此

A = (?∞, 2 ? 14] U [ 0, 4 ] U [2 + 14, + ∞)
由于 2 + 14 < 6,

2 ? 14 > ?2

∴ B 是 A 的子集.

(3)当 x ∈ [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) = ? x 2 + 4 x + 5 .

g ( x) = k ( x + 3) ? (? x 2 + 4 x + 5) = x 2 + (k ? 4) x + (3k ? 5) = ( x ?

Q k > 2 ,∴

4?k < 1 ,又 ? 1 ≤ x ≤ 5 , 2 4?k 4?k ① 当 ?1≤ < 1 ,即 2 < k ≤ 6 时,取 x = , 2 2

4 ? k 2 k 2 ? 20k + 36 ) ? 2 4

g (x) min = ?

k 2 ? 20k + 36 1 = ? [(k ? 10) 2 ? 64] . 4 4 2 Q 16 ≤ (k ? 10) < 64 ,∴ (k ? 10)2 ? 64 < 0 ,则 g ( x) min > 0 . 4?k ② 当 < ?1 ,即 k > 6 时,取 x = ?1 , g (x) min = 2k > 0 . 2 由 ①、②可知,当 k > 2 时, g ( x) > 0 , x ∈ [ ? 1, 5 ] .

作业本 A组 1. y = f ( x) 的图象 g ( x ) = log 2 x ( x > 0) 的图象关于原点对称,则 f ( x) 的表达式为(D ) 1 B. f ( x) = log 2 (? x)( x < 0) A. f ( x) = ( x > 0) log 2 x C. f ( x) = ? log 2 x( x > 0) D. f ( x) = ? log 2 (? x)( x < 0) 提示:把 y = g ( x) 中的 x 换成 ? x , y 换成 ? y 得: ? y = log 2 ( ? x) , y = ? log 2 ( ? x) ,答案为 D.

2.“ a = 1 ”是“函数 f ( x ) =| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示:显然, a = 1 时, f ( x ) =| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数,但当 f ( x ) =| x ? a | 在区 间[1, +∞)上为增函数时, a ≤ 1 . 3.函数 f ( x) = log 0. 5 ( ?2 x 2 + 5 x ? 2) 的单调递增区间为( B ) A. ( ?∞, ] ;

5 4

B. [ , 2) ;

5 4

C. [ , +∞ ) ;

5 4

D. ( , ]

1 5 2 4

1 提示:由 ?2 x 2 + 5 x ? 2 ≥ 0 得: 2 x 2 ? 5 x + 2 ≤ 0 ,解得: ≤ x ≤ 2 ,函数 t = ?2 x 2 + 5 x ? 2 的 2
减区间 [ , 2) 即为 f ( x) 的增区间. 4.方程 log 3 (2 x ? 1) = 1 的解 x = 2 提示: 2 x ? 1 = 3 , x = 2 ,经检验适合. 5. 已知 y = f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, x > 0 时, f ( x) = x ? 1 , 当 那么不等式 f ( x) <

5 4

1 的 2

1 3 解集是 (?∞, ? ) U [0, ) 2 2 提示:设 x < 0 ,则 ? x > 0 , f ( ? x) = ? x ? 1 = ? f ( x) ,∴ f ( x) = x + 1 ,且 f (0) = 0

?x < 0 ?x > 0 ? ? 1 3 x = 0或 ? 1 或? 1 ,解得: x < ? 或 0 ≤ x ≤ x +1< x ?1 < 2 2 ? ? ? 2 ? 2 6.若函数 y = lg(ax 2 + ax + 1) 的定义域为 R,求实数 a 的范围. 解: ax 2 + ax + 1 > 0 对 x ∈ R 恒成立. (1)当 a = 0 时, 1 > 0 恒成立,适合题意; 2 (2)当 a < 0 时,抛物线 y = ax + ax + 1 开口向下, ax 2 + ax + 1 > 0 对 x ∈ R 不恒成立; ?a > 0 (3)当 a > 0 时, ? ,解得: 0 < a < 4 . 2 ?? = a ? 4a < 0 综上所述: 0 ≤ a < 4 7.已知函数 f ( x) = x 2 ? ax + 2a 在区间[-2,4]上的最小值不小于 3,求实数 a 的范围.
a a2 解: f ( x) = ( x ? ) 2 + 2a ? 2 4 ? a < ?4 a (1)当 < ?2 即 a < ?4 时, ? ,解得: a ∈ φ ; 2 ? f (?2) = 4 + 2a + 2a ≥ 3

? ?4 ≤ a ≤ 8 ? a ,解得: 2 ≤ a ≤ 6 ; (2)当 ?2 ≤ ≤ 4 即 ?4 ≤ a ≤ 8 时, ? a a2 ≥3 2 ? f ( ) = 2a ? 4 ? 2 ?a > 8 a ,解得: a ∈ φ . (3)当 > 4 即 a > 8 时, ? 2 ? f (4) = 16 ? 4a + 2a ≥ 3 综上所述: 2 ≤ a ≤ 6 . 8.设 y = f (x) 是定义在区间 [?1,1] 上的函数,且满足条件:
(i) f (?1) = f (1) = 0 ; (ii)对任意的 u , v ∈ [ ?1,1], 都有 | f (u ) ? f (v ) |≤| u ? v | . (1)证明:对任意的 x ∈ [ ?1, 1] ,都有 x ? 1 ≤ f ( x) ≤ 1 ? x ; (2)证明:对任意的 u , v ∈ [ ?1, 1] ,都有 | f (u ) ? f (v) |≤ 1 . (1)证明:由题设条件可知,当 x ∈ [?1, 1] 时,有 | f ( x) |=| f ( x) ? f (1) |≤| x ? 1|= 1 ? x, 即 x ? 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 ? x. (2)证明: 对任意的 u , v ∈ [?1, 1] ,当 | u ? v |≤ 1 时,有 | f (u ) ? f (v) |≤| u ? v |≤ 1 当 |u-v| > 1 时, u ? v < 0 ,不妨设 u < 0, 则 v > 0且v - u > 1, ∴ | f (u ) ? f (v ) |≤| f (u ) ? f ( ?1) | + | f (v ) ? f (1) |≤| u + 1 | + | v ? 1 | = 1 + u + 1 ? v = 2 ? (v ? u ) < 1 . 综上可知,对任意的 u , v ∈ [?1, 1], 都有 | f (u ) ? f (v) |≤ 1 . B组 1.若函数 f ( x) 是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,则(D) A.f (3) + f (4) > 0 B.f (?3) ? f (?2) < 0 C.f (?2) + f (?5) < 0 D.f (4) ? f (?1) > 0 2 2 提示:A 错误,反例: y = x ? 20 ;B 错误,反例: y = x , C 错误,反例: y = x 2 .答案为 D. 2.已知函数 y = log a (1 ? ax) (a > 0, a ≠ 1) 在定义域(1, 2)上为增函数,则 a 的范围是( C)

1 1 ) B. (0, 1) C. (0, ] D. (1, 2) 2 2 提示:令 t = 1 ? ax = g ( x) ,由 a > 0 知, t 在(1,2)上为减函数,则 y = log a t 在 (0, +∞ ) 上
A. (0,

?0 < a < 1 1 为减函数,故 0 < a < 1 , ∴ ? ,解得 0 < a ≤ . 2 ? g (2) = 1 ? 2a ≥ 0 p p 3.函数 f ( x) = x ? + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是( A ) x 2 A. [-1,+∞ ) B. [1,+∞ ) C. ( -∞,-1] D. ( -∞,1] ?p p + 的增区间为 (?∞, ? ? p ] 提示:显然, p ≥ 0 时,适合题意;当 p < 0 时, f ( x) = x + x 2 p<0 ? ? 和 [ ? p , +∞) ,则(1,+∞)是 [ ? p , +∞) 的子集,故 ? ,解得 ?1 ≤ p < 0 . ? ? p ≤1 ? 综上: p ≥ ?1 .答案为 A. 4.已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ∞, + ∞ ) 上的偶函数,当 x ∈ ( ? ∞, 0 ) 时, f ( x) = x ? x 4 ,则
当 x ∈ ( 0, + ∞ ) 时, f (x) = ? x ? x 4 提示:设 x > 0 ,则 ? x < 0 , f (? x) = ? x ? x 2 = f ( x) ,故 f ( x) = ? x ? x 4 . 5.设 a > 0, a ≠ 1 ,函数 f ( x ) = log a ( x ? 2 x + 3) 有最小值,则不等式 log a ( x ? 1) > 0 的解
2

集为 (2, +∞) 提示:令 t = x 2 ? 2 x + 3 = ( x ? 1) 2 + 2 ≥ 2 ,由题意,当 t = 2 时, y = log a t 有最小值,故

a > 1 ,∴ log a ( x ? 1) > 0 可化为 x ? 1 > 1 ,即 x > 2 . 6.已知函数 y = lg(ax 2 + ax + 1) 的值域为 R,求实数 a 的范围. 解:当 a = 0 时, y = lg1 = 0 显然不符合要求,则 a ≠ 0 ; 当 a < 0 时,显然不符合要求;因此 a > 0 . 令 t = ax 2 + ax + 1 (t > 0) ,则 {t | t = ax 2 + ax + 1 ( x ∈ R )} ? {t | t > 0}
结合 t = ax 2 + ax + 1 的图象可知:当 t = ax 2 + ax + 1 的图象全部在 x 轴上方时, t 大于或等于一个正常数,故不符合要求.

?a > 0 ∴? ,解得: a ≥ 4 . 综上所述: a ≥ 4 2 ?? = a ? 4a ≥ 0
7.设 a, b ∈ R ,且 a ≠ 2 ,定义在区间 ( ?b, b) 内的函数 f ( x ) = lg (1)求 b 的取值范围; (2)判断并证明函数 f ( x ) 的单调性. 解: (1) f (? x) + f ( x) = lg

1 + ax 是奇函数. 1 + 2x

1 ? ax 1 + ax 1 ? a2 x2 1 ? a2 x2 + lg = lg = 0 ,∴ =1 1 ? 2x 1 + 2x 1 ? 4 x2 1 ? 4x2

∴ (a 2 ? 4) x 2 = 0 , ∵ x 2 不恒为 0,∴ a 2 = 4 ,又 a ≠ 2 ,故 a = ?2 ,∴ f ( x ) = lg

1? 2x 1 1 1 1 1 > 0 ,得: ? < x < ,由题意: (?b, b) ? (? , ) ,∴ 0 < b ≤ . 2 2 1 + 2x 2 2 2 (2)函数 f ( x ) 在 ( ?b, b) 上为减函数.证明如下: 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 4( x2 ? x1 ) ? = =k 设 ?b < x1 < x 2 < b ,则 1 + 2 x1 1 + 2 x2 (1 + 2 x1 )(1 + 2 x2 ) ∵ ?b < x1 < x 2 < b ,∴ x2 ? x1 > 0 , 1 + 2 x1 > 1 ? 2b ≥ 0, 1 + 2 x2 > 1 ? 2b ≥ 0 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 > > lg ∴ k > 0 ,∴ ,∴ lg ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) 1 + 2 x1 1 + 2 x2 1 + 2 x1 1 + 2 x2 ∴ f ( x ) 在 ( ?b, b) 上为减函数.


1? 2x 1 + 2x

8.已知定义域为 R 的函数 f ( x) = 是奇函数。 2 x+1 + a (1)求 a, b 的值; (2)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围. 解: (1)因为 f ( x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) = 0 ,即 ∴ f ( x) =

?2 x + b

b ?1 = 0 ? b = 1, a+2

1 ? 2x 1? f (1) = ? f (?1) ,知 1 ? 2 x +1 ,又由 =? 2 ?a=2 a+2 a+4 a +1

1

∴ a = 2, b = 1

1 ? 2x 1 1 (2)由(1)知 f ( x ) = ,易知 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上 =? + x x +1 2+2 2 2 +1 为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0
等价于 f (t 2 ? 2t ) < ? f (2t 2 ? k ) = f ( k ? 2t 2 ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t > k ? 2t 2 .即对一切 t ∈ R 有: 3t 2 ? 2t ? k > 0 , 1 从而判别式 ? = 4 + 12k < 0 ? k < ? . 3


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