kl800.com省心范文网

高考圆锥曲线解题技巧总结


新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

第五篇

高考解析几何万能解题套路

解析几何——把代数的演绎方法引入几何学,用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题, 如圆锥曲线的弦长求法、 与圆锥曲线有关的最值(极值) 问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题

等,在圆锥曲 线的综合应用中经常见到。 第一部分:基础知识 1.概念 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的 位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物 线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中,
2 2 2

c 最大, c2 ? a 2 ? b2 。
2.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )为例):①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; a2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0),
(1)椭圆(以 四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ?

a2 ; c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 ) (2) 双曲线 (以 为例) : ①范围:x ? ? a 或 x ? a, y ? R ; a 2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0), 两个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,
称为等轴双曲线,其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? 心率: e ?

a2 ; ⑤离 c

c ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大, a b 开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a 2 (3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例):①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦 p 点 ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没 2 p c 有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛 2 a 物线 ? e ? 1 。
1

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

3.直线与圆锥曲线的位置关系: 判断 ? 的大小。 特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形: 相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如

x2 y2 果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线 2 ? 2 a b =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之
间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条 切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行 的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有 两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行 于对称轴的直线。

4、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二 定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 5、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的 横 坐 标 ,

y1 , y2







A



B













, 特别地, 焦点弦 (过 焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦 半径之和后,利用第二定义求解。 例 过抛物线 y ? ?

|AB|=8,求倾斜角 ? .

1 2 x 的焦点作倾斜角为 ? 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,旦 4

特别提醒: 因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长、
2

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !

第二部分:解析几何万能解题套路
解析几何——把代数的演绎方法引入几何学, 用代数方法来解决几何问题。 正是在这一 设想的指引下,笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 高考解析几何剖析: 1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线(如圆、椭圆、抛物线、双曲线) 这三大类几何元素为基础构成的图形的问题; 2、演绎规则就是代数的演绎规则,或者说就是列方程、解方程的规则。 有了以上两点认识,我们可以毫不犹豫地下这么一个结论,那就是解决高考解析几何 问题无外乎做两项工作: 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一:(一化)把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示 出来(“翻译”); 口诀:见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点:“点”用平面坐标系上的坐标表示,只要是题目中提到的点都要加以坐标 .. 化; .. 2、见直线化直线:“直线”用二元一次方程表示,只要是题目中提到的直线都要加以方 . 程化 ; .. 3、见曲线化曲线:“曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)”用二元二次方程表示,只要 是题目中提到的曲线都要加以方程化 ; ... 步骤二:(二代)把题目中的点与直线、曲线从属关系 用代数形式表示出来;如果某 .... 个点在某条直线或曲线上,那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 口诀:点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线:如果某个点在某条直线上,将点的坐标代入这条直线的方程; 2、点代入曲线:如果某个点在某条曲线上,将点的坐标代入这条曲线的方程; 这样,每代入一次就会得到一个新的方程,方程逐一列出后,这些方程都是获得最后 答案的基础,最后就是解方程组的问题了。 在方程组的求解中,有时候能够直接求解,如果不能直接求解的,则采用下面这套等 效规则来处理可以达到同样的处理效果,并让方程组的求解更简单,具体过程: 1、点代入这两个点共同所在的直线:把这两个点共同所在直线用点斜式方程(如 )表示出来,将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程; 2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程,获得一个一元二次方程 2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ; 3、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来 (a ? 0) ;
3

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

4、把这个一元二次方程的判别式 列出来; 5、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示(这里表示出来的实际上就是这两个 点的坐标(可设而不求)之间的相互关系式 x1 ? x2 ? ?

b c , x1 ? x2 ? )。 a a

步骤三:(三化)图形构成特点的代数化,或者说其它附加条件的代数化。 前面几个步骤构成了解决所有问题的基础。在解析几何题目里,事实上就是附加了一 些特殊条件的问题,如我们可以附加两条直线垂直的条件,也可以附加一条直线与一条曲 线相切的条件,等等,当然,我们不用太担心,这些条件都是与我们教材上的基本数学概 念相对应的,它们分别与一个或一组固定模式的方程相对应,而且,通过少数几条通用规 则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的,就是针对这些特定条件选择合适的通 用规则来列方程。这个步骤涉及的主要通用规则: 1、两点的距离 2、两个点的对称点 3、两条直线垂直 4、两条直线平行 5、 两条直线的夹角 6、点到 直线的距离 7、正余铉定理及面积公式 8、 向量规则 9、直线 与曲线的位置关系 把直线方程代入曲线方程,得形如 ①当 时,直线与曲线有一个交点; ②当 ③当 时,直线与曲线相切; 时,直线与曲线有两个交点; 的一元二次方程:

④当 时,或当 时,直线与曲线无交点; 这个步骤的处理关键是根据条件的特点选择适当的通用规则组合。 步骤四:(四处理)按答案的要求解方程组,把结果转化成答案要求的形式。 一般情况步骤 1、2、3 完成后,会得到一组方程,而答案就是这组方程组的解。这 个步骤就是方程组的求解了,解方程组实际上就是用加减乘除四则混合运算以及乘方、开 方等来消除方程的参数。不过,这里我们也给出三条消参的原则: 1、 把方程中的所有未知量都视为参数。 比如, 如果某个点的坐标为 , 而

都是未知的,我们把它们都视为方程组的参数。 2、消参的原则是,把与答案无关的参数消去,留下与答案有关的参数。或者说在解 方程组的时候,用与答案有关的参数来表示与答案无关的参数。 3、消参完成后,把结果表示成答案要求的形式。

例题分析:
2011 年全国卷Ⅱ理(21)文 (本小题满分 12 分) 已知 为坐标原点, 为椭圆 科(22)

在轴正

4

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

半轴上的焦点,过 . (I)证明:点 (II)设点 在

且斜率为

的直线 与

交与

两点,点

满足

上; 的对称点为 ,证明: 四点在同一圆上.

关于点

【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交 点坐标求法及四点共圆的条件。 【解析】(I), 的方程为 代入并化简得

.

…………………………2 分设,



由题意得

所以点

的坐标为

. 满足方程,故点在椭圆上 …6 分

(II)由 .

和题设知, ①

的垂直平分线的方程为



的中点为

的垂直平分线的方程为

.



5

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

由①、②得

的交点为

.

…………………………9 分

故 又 所以 由此知 四点在以 为圆心, 为半径的圆上. ……………12 分 【点评】本题涉及到平面向量,有一定的综合性和计算量,相对来讲比较有利的方 面,也就是这道题的特点是没有任何的未知参数,我们看这道题椭圆完全给出,直线过了 椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率不给出,需要通过一定条件求出来,或者根本 求不出来,这道题都给了,这个跟平时做的不太一样,反而同学不知道怎么下手,完成有 难度。这两问出的非常巧妙,一个证明点在椭圆上的问题,还有一个四点共圆,这都是平 时很少涉及到的解析几何本质的内容。让学生掌握解析几何的本质,其实就是用代数方法 研究几何的问题,什么是四点共圆?首先在同一个圆上,首先找到圆心,四个点找圆心不 好找,最简单的两个点怎么找?这是平时的知识,怎么找距离相等的点,一定在中垂线, 两个中垂线交点必然是圆心,找到圆心再距离四个点距离相等,这就是简单的计算问题, 方法确定以后计算量其实比往年少。 建议: 多练多体会! (2009)(22)(本小题满分 12 分) ,

3 x2 y2 已知椭圆 C: a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3
两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2
2 (Ⅰ )求 a,b 的值;

,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B
2 2
? ? ?

(Ⅱ )C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。
6

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

(2010 文)(20)(本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +
2

y2 =1( 0 ? b<1 )的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交 b2

于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。

(2012 文)(20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为 半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m,n 距离的比值。

21.(2013 课标全国Ⅰ,文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x- 2 2 1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P, 圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 当圆 P 的半径最长时, 求|AB|.

2

2

(2013 课标全国 2 理)(20)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 右焦点的直线 a b
1 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 。 2
7

新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形的最大值。

(2014 文、理)20. (本小题满分 12 分)
2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂

a

b

直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.

(2014 预测题) 21.(本题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率

3 2 ,且点 P(?2, 0) 在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; e?
(Ⅱ)已知 A 、 B 为椭圆 C 上的动点,当 PA ? PB 时,求证:直线 AB 恒过一个定点.并求 出该定点的坐标.

8


高考圆锥曲线解题技巧总结

高考圆锥曲线解题技巧总结_数学_高中教育_教育专区。新课标高考数学分析及解题技巧汇编 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学,用...

高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结

高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结_数学_高中教育_教育专区。高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结圆锥曲线与方程解题技巧方法总结学习目标:熟悉并掌握常见的圆锥...

圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的...圆锥曲线问题解题方法 10页 2下载券 圆锥曲线解题方法 2页 1下载券 高考...

关于如何攻破高考圆锥曲线题型的方法与技巧

关于如何攻破高考圆锥曲线题型的方法与技巧_高考_高中教育_教育专区。有关高中圆锥...(至于这几种题型的具体解题方法先让你自己通过练习大量 的题来进行归纳总结,...

高考数学圆锥曲线及解题技巧

高考数学圆锥曲线解题技巧_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考数学圆锥曲线解题技巧_高考_高中教育_教育专区。椭圆与双曲线的性质 ...

高考数学圆锥曲线及解题技巧

高考数学圆锥曲线解题技巧_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线 椭圆与双曲线的性质 椭圆 1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT ...

高考数学圆锥曲线及解题技巧

高考数学圆锥曲线解题技巧_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理...

基于2015年高考题讨论圆锥曲线的解题方法

基于2015 年高考题讨论圆锥曲线问题的解决方法作者:周玉乾摘要:本文通过对 2015 年高考真题分类,由易到难得方式讨论圆锥曲线中常考题型以 及常用解题思路解题方法...

高中数学圆锥曲线性质及解题技巧

高中数学圆锥曲线性质及解题技巧_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 88份文档 2014全国高考状元联手分享状元笔记 衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸高中政...

高考 圆锥曲线 知识总结

高考数学必考圆锥曲线经典... 76页 1财富值 圆锥曲线解题技巧教案整理... 11页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此...

圆锥曲线解题技巧 | 数学圆锥曲线解题技巧 | 高考圆锥曲线解题技巧 | 高中圆锥曲线解题技巧 | 圆锥曲线解题技巧归纳 | 圆锥曲线的解题技巧 | 圆锥曲线大题解题技巧 | 文科圆锥曲线解题技巧 |