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空间向量及其线性运算课件0


复习回顾:平面向量

一:空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a

空间向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

AB

长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

平面向量的加法、减法与数乘运算

b
a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

ka ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

思考:空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内?为什么?
B

b

O

A

a
O′

结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,
内,成为同一平面内的两个向量。

说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题,平面向量 中有关结论仍适用于它们。

二、空间向量及其加减法
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

三、空间向量的数乘运算
? ? a 仍然是一个向量.
⑴当 ? ⑵当 ? ⑶当 ?

? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ? 0 时, ? a 是零向量.

? 例如:

? a

? ?3a

? ? ? ? ? 3a 即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? (? )a ? (?? )a

共线向量亦称平行向量

平面共线向量定理的内容, 对空间向量也是成立的。

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; ? ? ? ? (2)若空间向量

(3)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,必有 AC ? AC1 ; 1

?? a? a、满足| a |?| b |,则 ???? b ?; b ????
?? ? ? ? ? 满足 m ? n, n ? p ,则

?? ? ? ? (4)若空间向量 m n p 、 、

?? ? ? m? p



(5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

C )
D.4

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
D A B A1 G C D1 B1 C1

M

解:) AB ? BC AC; (1 =

(2) AB ? AD ? AA ? AC ? AA ? AC ? CC1 ? AC1 1 1

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A A1 D1 B1 C1

D B

C

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

四、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a ? ?b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

??? ? ??? ? AP ? t AB
??? ???? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

中点公式:

??? 1 ??? ??? ? ? ? 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2

?

?

B
P A O

五、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? ? a e2 ? e1

? ? e 由平面向量基本定理知,如果 e1, 2

是平面内的两个不共线的向量,那么 ? 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 ? ? ? , a 只有一对实数1 ?2 使 ? ?1e1 ? ?2e2

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? p 与两不共线向量 a , b

? 反过来,对空间任意两个不共线的向量 a , ,如 b ? 果 p ? x? ? yb,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?

?C b? A aB

?? p

P

? xa, yb分别与a, b共线,

?xa, yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在, a b确定的平面内,

?p ? xa ? yb在a, b确定的平面内即p与a, , b共面

? b 2.共面向量定理:如果两个向量 a , 不共线, ?? ? , 共面的充要条件是 则向量 p 与向量 a b ? ? ? ?
存在实数对x,y使

p ? xa ? yb

?C b ? A a B

?? p

P

3.空间四点P、A、B、C共面

???? ???? ???? ? 存在唯一实数对(x , y) 使得AP ? x AB ? y AC , ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

?C b? A a B

C'

?? p

P

O

例4: B 1.下列命题中正确的有:
? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  b ;

???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

???? ? ???? ? ???? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? 2 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、 MA-MB

它们一定是:

A

A.共面向量
C.不共面向量

B.共线向量

D.既不共线又不共面向量

3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 ???? ? ??? ? 1 ??? 1 ???? ? 意一点O, ? xOA + OB + OC ,则x OM 3 3 的值为:D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

??? ? ??? ? ??? ???? ? (2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

练习:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1
? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

课堂检测2 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 =BM ? MG ? MB ? MG

B

M

C

课堂检测3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

课堂检测3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

课堂检测3
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C D

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

练习2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1
D1 A1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C


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