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山东省临朐县实验中学2014年高中数学 三角函数的图象和性质课件 新人教A版必修4


?

三角函数的图象和性质习题

? 1.周期函数及最小正周期 ? 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使 得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,则称f(x)为周期函数,T为它的 一个周期.若在所有周期中,有一个最小 的正数,则这个最小的正数叫做f(x)的最小 正周期.

? [思考探究] 所有的周期函数都有最小 正周期吗? ? 提示: 不是所有的周期函数都有最小 正周期,周期函数f(x)=C(C为常数)就没 有最小正周期.

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

? 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图 象和性质 图象

定义 域

{x|x∈R}

{x|x∈R}

{x|x∈R且 x≠+kπ, k∈Z}

函数 值域 在 单调 性

y=sin x
{y|-1≤y≤1}

y=cos x
{y|-1≤y≤1}

y=tan x
R

π π [(2k-1)π, - +2kπ , +2kπ ],2kπ],k∈Z 2 2 上递增;在 在 k∈Z


(-+kπ, +kπ), k∈Z

π 3π [ +2kπ , +2kπ ], +1)π],k∈Z 2 2 k∈Z π x= 时, + 2 k π ( k ∈ Z) 2
上递减

[2kπ,(2k

上递增;在 上递减

上 递增

x=

2kπ(k∈Z)

时,ymax
时,ymin

最值

ymax=1 x=

=1;x=
π+2kπ(k∈Z)

π - 2 +2kπ (k∈时, Z ymin= -1

无最值

=-1

函数 奇偶性

y=sin x


y=cos x

? ? ?kπ ?

y=tan x





对称 中心
(kπ,0),k∈Z

? π ? ? + 2 ,0?,? ?kπ ? ,k∈Z ? ? , 0 ? ? 2 ? k∈Z

性 对称 最小 正周期

π x=kπ + ,k∈Z 2 轴


x=kπ,k∈Z

无对称轴



π

1. 函数 f(x)= π A. 2 C.2π

?x π 3sin? ?2- 4 ?

? ? x∈R ?, ?

的最小正周期为(

)

B.π D.4π

2π 解析: T= 1 =4π. 2

? 答案: D

2.(2010· 陕西卷)对于函数 f(x)=2sin xcos x,下列选项 中正确的是(
?π A.f(x)在? ?4 ?

) π? ? , 2 ?上是递增的 ?

B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2

? 解析: ∵f(x)=2sin xcos x=sin 2x, ? ∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称. ? 答案: B

3.函数 f(x)=sin(-2x)的单调增区间是(
? A.? ?kπ ?

)

π π? ? - 4 ,kπ + 4 ?(k∈Z) ? π π? ? - 4 ,2kπ + 4 ?(k∈Z) ?

? B.? ?2kπ ? ? C.? ?kπ ?

π 3π ? ? + 4 ,kπ + 4 ?(k∈Z) ? π 3π ? ? + 4 ,2kπ + 4 ?(k∈Z) ?

? D.? ?2kπ ?

解析: 由 f(x)=sin(-2x)=-sin 2x, π 3π π 3π 2k π+ 2 ≤ 2x ≤ 2k π+ 2 得 k π+ 4 ≤ x ≤ k π+ 4 (k∈Z).

?

答案: C

4.函数 y= 2sin x-1的定义域为________.

解析: 若函数 y= 2sin x-1有意义, 则 2sin x-1≥0, π 5π 1 即 sin x≥ .由正弦函数的图象, 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ , 2 6 6 k∈Z.

答案:

? ? ?2kπ ?

π 5π ? ? + 6 ,2kπ + 6 ?(k∈Z) ?

5.函数

? π ? y=cos?x- 3 ?

? ? π ? ? ?,x∈?0, 3 ? ?

? ? ?的值域为________. ?

π π π 解析: 由 0≤x≤ 3 ,∴- 3 ≤x- 3 ≤0,
? π ? ? 而函数在?- ,0? ?上单调递增, 3 ? ?



? π? ? π? ? ? ? cos?- ?≤cos?x- ? ?≤cos 3 3 ? ? ? ?

0,

? π? 1 ? 故 ≤cos?x- ? ≤1. ? 2 3? ?

答案:

?1 ? ? ,1? ?2 ?

求函数 y= sin x-cos x的定义域.

解析: 由已知得 sin x-cos x≥0, 即 sin x≥cos x. 在[0,2π]内满足 sin x≥cos x 的 x 又正弦、余弦函数的周期为 2π,
? ? ? ? π ? 5 ? ∴所求定义域为?x? +2kπ≤x≤ π+2kπ,k∈Z?. ? ?4 ? 4 ? ? ?π 5 ? ? 的集合为? , π ?4 ?. 4 ? ?

1.求三角函数的定义域, 既要注意一般函数的定义域的规 律,又要注意三角函数本身的特有属性.如题中出现 tan x, π 则一定有 x≠kπ+ ,k∈Z. 2 2.求三角函数的定义域通常使用三角函数线,三角函数 图象和数轴.

1.求函数 y= 1-2cos x+lg(2sin x-1)的定义域. 1 ? cos x≤2 ? ?1-2cos x≥0 ? 解析: 由题意得? ?? , ? ?2sin x-1>0 ?sin x>1 2 ?

? ?π+2kπ≤x≤5π+2kπ,k∈Z 3 ?3 解得? , 5π ?π +2kπ<x< 6 +2kπ,k∈Z ? ?6 即
?π ? 5π ? x∈? +2kπ, +2kπ? ?,k∈Z. 3 6 ? ?

?π ? 5π ? ∴函数的定义域为? +2kπ, +2kπ? ?,k∈Z. 3 6 ? ?

写出下列函数的单调区间.
? π ? (1)y=sin?-2x+ 3 ? ? ? ?; ?

(2)y=|tan x|.
解析:
? π? ? (1)y=-sin?2x- ? ?, 3 ? ? ? π? ? y=sin?2x- ? ?的减区间, 3 ? ? ? π? ? y=sin?2x- ? ?的增区间. 3 ? ?

它的增区间是 它的减区间是

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12
? π 5π? ? ? 故所给函数的减区间为?kπ- ,kπ+ ,k∈Z; ? 12 12 ? ? ? 5π 11π? ? ? 增区间为?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12 ? ?

(2)观察图象可知,y=|tan k∈Z,

? π? ? x|的增区间是?kπ,kπ+ ? , 2? ? ?

? ? π ? 减区间是?kπ- ,kπ? ?,k∈Z. 2 ? ?

? 求形如y=Asin(ωx+φ)+k的单调区间时,只需 把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调 区间内即可,注意先把ω化为正数.求y= Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的单调区间类 似.

2.求下列函数的单调区间.
?π (1)y=cos? ?4 ? ? ? -2x?的单调减区间; ? ? ? ?的单调区间. ?

? π ? (2)y=tan?2x- 3 ?

解析: (1)由

?π ? ? π? ? ? ? y=cos? -2x?=cos?2x- ? 得 ? 4? ?4 ? ?

π 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 4 π 5π 故 kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z),
? π 5π? ? ? ∴函数的单调减区间为?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8 ? ?

π π π (2)由 kπ- 2 <2x- 3 <kπ+ 2 (k∈Z)得, π 5π kπ- 6 <2x<kπ+ 6 (k∈Z), kπ π kπ 5π 即 2 -12<x< 2 + 12 (k∈Z),
?kπ π kπ 5π? ? 故函数的单调增区间为? - , + ? 2 ?(k∈Z),无 12 2 12 ? ?

单调减区间.

(1)求函数

? π ? y=2sin?2x+ 3 ?

?? π ?? ?? - 6 ??

π? ? <x< 6 ?的值域; ?

(2)求函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域.
π π 解析: (1)∵- 6 <x< 6 , π 2π ∴0<2x+ < , 3 3
? π? ? ∴0<sin?2x+ ? ≤1. ? 3? ? ? π? ? ∴y=2sin?2x+ ? ?的值域为(0,2]. 3 ? ?

(2)y=2cos2x+5sin x-4 =2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2
? =-2?sin ?

5?2 9 x-4? + . 8 ?

∴当 sin x=1 时,ymax=1, 当 sin x=-1 时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sin x-4 的值域为[-9,1].

? 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常 用以下方法: ? (1)利用sin x、cos x的值域; ? (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数 单调性写出y=Asin(ωx+φ)的值域; ? (3)换元法:把sin x、cos x看作一个整体,可化 为二次函数.

(2011· 全国新课标卷 )设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+
? φ)? ?ω >0,|φ ?

π? ? 且 f(-x)=f(x), 则( |< 2 ?的最小正周期为π , ?
? ? ?单调递减 ?

)

? π ? A.f(x)在?0, 2 ? ?π B.f(x)在? ?4 ?

3π ? ? 单调递减 , 4 ? ?
? ? ?单调递增 ?

? π ? C.f(x)在?0, 2 ? ?π D.f(x)在? ?4 ?

3π ? ? , 4 ?单调递增 ?

解析: ∵f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) =
? π? ? 2sin?ωx+φ+ ? ?, 4 ? ?

又∵f(x)的最小正周期为π,∴ω=2. ∴f(x)=
? π? ? 2sin?2x+φ+ ? ?. 4 ? ?

由 f(x)=f(-x)知 f(x)是偶函数, π π 因此 φ+ 4 =kπ+ 2 (k∈Z).

π π 又|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)= 2cos 2x. 2 4 π 由 0<2x<π知 0<x< 2 时,f(x)单调递减,故选 A.

?

答案: A

1.求三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小 2π π 正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| (3)利用图象. 2.三角函数的对称性: 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图 形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称 轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.

? 4.(1)y=|sin x|的最小正周期为________. ? (2)y=2cos x,x∈[0,2π]与y=2围成封闭图形 的面积为________.

? 解析: (1)作出y=|sin x|的图象如下:

? ∴函数y=|sin x|的最小正周期为π.

(2)如图:方法一:由 y=2cos x 的图象成中心对称可知: Ⅰ部分面积相等,Ⅱ部分面积相等. ∴所求面积即阴影部分面积 S=S 矩形 OECD=4π. 方法二:由对称性可知: 1 S=2S 矩形 ABCD=4π.

?

答案: (1)π (2)4π

1.函数 y=Asin(ωx+φ)的单调性的求法 求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y= Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间, 求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义 域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同:
? π ? (1)y=sin?2x- 4 ? ? ?π ? ? ; (2) y = sin ? ?4 ? ? ? ? -2x?. ?

? 2.三角函数值的大小比较 ? 利用三角函数的单调性比较大小时,往往是利 用奇偶性、周期性或诱导公式转化为同一单调 区间上的两个同名函数值,再用单调性比较. ? 3.三角函数的值域或最值的求法 ? 求三角函数的值域或最值时,通常是把函数式 恒等变形为一个角的一种三角函数的形式,如 y=Asin(ωx+φ),或者利用换元法转化为一元 二次函数的最值问题,但都应特别注意x的取 值范围对三角函数值的限制,不能机械地套用 三角函数的有界性.


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