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3.3排序不等式


3.3 排序不等式

探究
B ( j j ? 1, 2,

如图,设?AOB =?,自点O沿OA边依次 取n个点A1,A2, ,An,沿OB边依次取n个 , n)与某个点

点B1,B2, ,Bn .选取某个点A ( i i ? 1, 2,

, n) ,连接它们,得到?AOB i j

.这样一一搭配,

一共可以得到n个三角形.显然,搭配的方法不同, 得到的?AOB i j不同,因而三角形的面积也可能不同.
Bn

B

B1
O

B2

Bj

?

A1 A2

Ai

An

A

探究
才能使得到的n个三角形面积之和最大?如何一一 搭配,才能使得到的n个三角形面积之和最小?
Bn

问:OA边上的点与OB边上的点如何一一搭配,

B

B1
O

B2

Bj

?

A1 A2

Ai

An

A

Bn

B

设 OAi =ai ,OB j =b j (i, j ? 1,2, , n) .
? an , ? bn .

B1
O

B2

Bj

?

A1 A2

Ai

1 1 因为?AOB ai b j sin ? ,而 sin ?是常数, i j的面积是 2 2 于是,上面的几何问题就可以归结为下面的代数问题:

由已知条件,得 a1 ? a2 ? a3 ? An A b1 ? b2 ? b3 ?

设c1,c2, ,cn是数组b1,b2, ,bn的任何一个排列, 问以下的n个乘积的和 S ? a1c1 ? a2c2 ? a3c3 ?
Bn
B2

B1

O

?

A2 Ai

An

A

? an cn

何时取得最大值?

备注:本页幻灯片展示结束后,①用两组数1,2,3和4,5,6做初步检验;②板书证明过 程;③总结强调“逐项调整的策略”

我们把上面的和S叫做数组( a1 , a2 ,

, an )和(b1 , b2 , anb1

, bn )

的乱序和,其中按相反顺序相乘所得积的和 S1 ? a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ?2 ? S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 称为反序和,按相同顺序相乘所得积的和 an bn

称为顺序和. 我们对一般的实数组也做同样的定义.几何直觉告诉我们,
下面的不等式应该成立: S ?ac ?a c 即
1 1

反序和 ? 乱序和 ? 顺序和 .

2 2

S ? S ? S 1 2 a ?a c ? ?
3 3

n n

c

思考

顺序和S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?

anbn和 anb1能相

反序和S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? a3bn ?2 ?
当a1 =a2 = =an,或b1 =b2 =

等吗?如果能,那么什么条件下两者相等?
=bn时, 顺序和 ? 反序和. 即 S1 =S =S2 . 进一步地,如果a1,a2, an不全相等,并且

b1,b2, ,bn也不全相等,则一定有a1 <an ,b1 <bn . 考虑和数 S ? =S2-(a1b1 ? anbn)( + a1bn +anb1), S2-S ? =(an-a1 )(b1 ? bn )>0, 即S <S2 .进而得 S1 ? S <S2 . 因此
? ?

可以看出,和数S ?符合前面S的形式,而且 S1 ? S2 .

归纳以上证明的结论,得

定理 c1 , c2 ,

(排序不等式,又称排序原理) ? an , b1 ? b2 ? ? bn为两组实数, ? an cn , cn是b1 , b2 , , bn的任一排列,则 ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? an或b1 ? b2 ?

设a1 ? a2 ? a1bn ? a2bn ?1 ? ? a1b1 ? a2b2 ? 等于顺序和. 当且仅当a1 ? a2 ?

? anbn, ? bn时,反序和

例题
例1 有10人各拿一只水桶去接水 , 设水龙头注满第 i ( i ? 1,2,?,10)个人的水桶需要 t i 分, 假定这些t i 各不 相同,问只有一个水龙头时 , 应如何安排10人的顺序, 使他们等候的总时间最 少 ? 这个最少的总时间等于 多少 ?

例2 设a1 , a2 , 1 1 1? ? ? 2 3

, an是n个互不相同的正整数,求证 1 a2 a3 ? ? a1 ? 2 ? 2 ? n 2 3 an ? 2 n

例题
例3. 设a, b, c ? R? , 试证 a b c 10 10 10 ? ? ?a ?b ?c bc ca ab
例4. 在?ABC中, 试证 : ? aA ? bB ? cC ? ? ? 3 a?b?c 2
12 12 12

课堂练习
课本45页: 1,2,3,4


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