kl800.com省心范文网

上海师大附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年上海师大附中高二(上)期中数学试卷
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分. 1.直线 2x﹣y﹣3=0 关于 x 轴对称的直线方程为__________.

2.向量

在向量

方向上的投影为__________.

3.已知向量

,若

,则

=__________.

4.已知一个关于 x,y 的二元一次方程组的增广矩阵为

,则 x﹣y=__________.

5.若

=

,则 x+y=__________.

6. a、 b、 c 是两两不等的实数, b+c) C c+a) 则经过 P (b, 、 (a, 两点的直线的倾斜角为__________.

7.若行列式

=0,则 x=__________.

8.直线 Ax+3y+C=0 与直线 2x﹣3y+4=0 的交点在 y 轴上,则 C 的值为__________. 9. 已知平行四边形 ABCD 中, 点 E 为 CD 的中点, =m 则 =__________. , =n (m?n≠0) , 若 ∥ ,

10.已知直线 2x+y﹣2=0 和 mx﹣y+1=0 的夹角为

,则 m 的值为__________.

11.下面结论中,正确命题的个数为__________. ①当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2. ②如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于﹣1. ③已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数) , 若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0. ④点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .

⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. ⑥若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于﹣ ,且线段 AB 的 中点在直线 l 上. 12.直线 的倾斜角 α 的取值范围是__________. ,则 =__________.

13.已知△ ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC=

14.设 A 是平面向量的集合, 是定向量,对 属于集合 A,定义 .现给出如下四个向量: ① ④ 那么对于任意 、 ,② . ,使 的序号) . 恒成立的向量 的序号是 ,③ ,

__________(写出满足条件的所有向量

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15.“a=2”是“直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

16.已知关于 x,y 的二元一次线性方程组的增广矩阵为

,记

, 则此线性方程组有无穷多 组解的充要条件是( A. C. D. B. ) 两两平行 方向都相同

17.如图所示是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是(

)

A.①是循环变量初始化,循环就要开始 B.②为循环体 C.③是判断是否继续循环的终止条件 D.输出的 S 值为 2,4,6,8,10,12,14,16,18 18.如图,由四个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 2 的等边三角形,各项点依次为, A1,A2,A3,…An 则 ( ) 的值组成的集合为

A.{﹣2,﹣1,0,1,2} B. C. D.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题 务必写在答题纸上规定位置. 19.中秋节前几天,小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会,热心的小毛受班级同学委托, 去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物:中国结、记事本和笔袋(每种礼物 的品种和单价都相同) . 三个小组给他的采购计划各不相同,各种礼物的采购数量及价格如下表所示: 中国结 记事本 笔袋(个) 合计(元)

(个) (本) 2 1 0 10 小组 A 1 3 1 10 小组 B 0 5 2 30 小组 C 为了结账,小毛特意计算了各小组的采购总价(见上表合计栏) ,可是粗心的小毛却不慎抄 错了其中一个数字.第二天,当他按照自己的记录去向各小组报销的时候,有同学很快发现 其中有错. 发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价, 那么他是如何作出判断的呢?请你 用所学的行列式的知识对此加以说明. 20. (14 分)已知△ ABC 的顶点 A(1,3) ,AB 边上的中线所在直线的方程是 y=1,AC 边 上的高所在直线的方程是 x﹣2y+1=0. 求(1)AC 边所在直线的方程; (2)AB 边所在直线的方程. 21. (14 分)在直角坐标系中,已知两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ;x1,x2 是一元二次方程 2 2 2x ﹣2ax+a ﹣4=0 两个不等实根,且 A、B 两点都在直线 y=﹣x+a 上. (1)求 ; (2)a 为何值时 与 夹角为 .

22. (16 分)已知 O 为△ ABC 的外心,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点 为 D,再以 OC、OD 为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为 H. (1)若 ,试用 表示 ;

(2)证明: ; (3)若△ ABC 的∠A=60°,∠B=45°,外接圆的半径为 R,用 R 表示



23. (18 分)如图,射线 OA,OB 所在的直线的方向向量分别为



,点 P 在∠AOB 内,PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N; (1)若 k=1, ,求|OM|的值;

(2)若 P(2,1) ,△ OMP 的面积为 ,求 k 的值; (3)已知 k 为常数,M,N 的中点为 T,且 ,当 P 变化时,求|OT|的取值范围.

2015-2016 学年上海师大附中高二(上)期中数学试卷
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分. 1.直线 2x﹣y﹣3=0 关于 x 轴对称的直线方程为 2x+y﹣3=0. 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【专题】计算题;转化思想;构造法;直线与圆. 【分析】欲求直线 2x﹣y﹣3=0 关于 x 轴对称的直线方程,只须将原直线方程中的 y 用﹣y 替换得到的新方程即为所求. 【解答】解:∵直线 y=f(x)关于 x 对称的直线方程为 y=﹣f(x) , ∴直线 y=2x﹣3 关于 x 对称的直线方程为:y=﹣2x+3,即 2x+y﹣3=0, 故答案为:2x+y﹣3=0. 【点评】本题考查直线关于点,直线对称的直线方程问题,需要熟练掌握斜率的变化规律, 截距的变化规律.

2.向量

在向量

方向上的投影为 3.

【考点】平面向量数量积的含义与物理意义. 【专题】计算题. 【分析】先求向量 方向上的投影; 【解答】解:∵向量 在向量 , , 的夹角,再求向量 在向量

∴cos( , )=

=

= ,

∴向量

在向量

方向上的投影为:

cos( , )=5× =3,

故答案为 3; 【点评】此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质,注意向量积公式,是一道基础题;

3.已知向量

,若

,则

=



【考点】平面向量数量积的运算;向量的模. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用斜率的垂直求出 x,得到向量 ,然后求模即可. 【解答】解:向量 ∴ , ,若 ,

∴x=4, = = .

故答案为: . 【点评】本题考查斜率的数量积的应用,向量的模的求法,考查计算能力.

4.已知一个关于 x,y 的二元一次方程组的增广矩阵为 【考点】二阶矩阵. 【专题】矩阵和变换. 【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组 【解答】解:由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式 解得 x=4,y=2, 故答案为:2. ,

,则 x﹣y=2.

,再根据方程求解 x,y 即可.

【点评】 本题考查增广矩阵, 解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义, 属于基础题.

5.若

=

,则 x+y=2.

【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义. 【专题】矩阵和变换. 【分析】根据矩阵的乘法运算计算即可. 【解答】解:∵ = ,



,解得



故答案为:2. 【点评】本题考查矩阵的乘法运算,矩阵的相等,注意解题方法的积累,属于基础题.

6.a、b、c 是两两不等的实数,则经过 P(b,b+c) 、C(a,c+a)两点的直线的倾斜角为



【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题;对应思想;综合法;直线与圆. 【分析】由直线经过 P(b,b+c) 、C(a,c+a)两点,能求出直线 AB 的斜率,从而能求出 直线 AB 的倾斜角. 【解答】解:∵直线经过 P(b,b+c) 、C(a,c+a)两点, ∴直线 AB 的斜率 k= =1,

∴直线 AB 的倾斜角 α= 故答案为: .



【点评】本题考查直线的倾斜角的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化.

7.若行列式

=0,则 x=2 或﹣3.

【考点】三阶矩阵. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先将三阶行列式化为二阶行列式,即可求得结论 【解答】解:由题意, ∴x2+x﹣6=0 ∴x=2 或﹣3 故答案为:2 或﹣3 【点评】本题考查三阶行列式,考查学生的计算能力,属于基础题. 8.直线 Ax+3y+C=0 与直线 2x﹣3y+4=0 的交点在 y 轴上,则 C 的值为﹣4. 【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】计算题;函数思想;直线与圆. 【分析】直线 2x﹣3y+4=0 与 y 轴的交点坐标,代入直线 Ax+3y+C=0,求出可求 C. 【解答】解:直线 2x﹣3y+4=0 与 y 轴的交点(0, ) ,代入直线 Ax+3y+C=0,可得 4+C=0, 解得 C=﹣4. 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查直线的交点坐标的求法,考查计算能力. 9. 已知平行四边形 ABCD 中, 点 E 为 CD 的中点, =m 则 =2. 【考点】平行向量与共线向量. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由平面向量基本定理用 较系数可得. 【解答】解:由题意可得 = = = = , =n (m?n≠0) , 若 ∥ , ﹣2× +4× =0



表示



,由向量的共线可得



,代入比

=n

﹣m



= ∵ 即n ∥

, ,∴?λ∈R,使 =λ( =λ ) , λ,解得 =2 ,

﹣m

比较系数可得 n=λ,﹣m= 故答案为:2

【点评】本题考查向量的平行于共线,涉及平面向量基本定理,属基础题.

10.已知直线 2x+y﹣2=0 和 mx﹣y+1=0 的夹角为

,则 m 的值为

或 3.

【考点】两直线的夹角与到角问题. 【专题】直线与圆. 【分析】由条件利用两条直线的夹角公式,求得 m 的值. 【解答】解:由直线 2x+y﹣2=0 和 mx﹣y+1=0 的夹角为 可得 tan 求得 m= 故答案为: =1=| 或 3, 或 3. |, ,它们的斜率分别为﹣2、m,

【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用,属于基础题. 11.下面结论中,正确命题的个数为 3. ①当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2. ②如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于﹣1. ③已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数) , 若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0. ④点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .

⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.

⑥若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于﹣ ,且线段 AB 的 中点在直线 l 上. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;探究型;运动思想;直线与圆;简易逻辑. 【分析】举例说明①②错误;由两直线垂直与系数的关系说明③正确;由点到直线距离公 式说明④错误;由点到直线的垂直距离最小说明⑤正确,由点关于直线的对称点的求法说 明⑥正确. 【解答】解:①当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2,错误,l1 与 l2.也可能 重合; ②如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于﹣1,错误,还有是一条直线的斜 率为 0,而另一条直线的斜率不存在; ③已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数) , 若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0,正确; ④点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 ,错误,应化直线方程为一般式,由点

到直线的距离公式可得距离为



⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离,正确; ⑥若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于﹣ ,且线段 AB 的 中点在直线 l 上,正确. ∴以上正确的命题是③⑤⑥. 故答案为:3. 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了两直线的位置关系,考查了点到直线距离 公式,训练了点关于直线的对称点的求法,是基础题.

12.直线

的倾斜角 α 的取值范围是[0,

]∪[

,π) .

【考点】直线的一般式方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】将直线化成斜截式得斜率 k=﹣ 得﹣ ≤tanθ≤ cosα.设直线的倾斜角为 θ,由 cosα∈[﹣1,1]

,结合直线倾斜角的范围和正切函数的单调性加以讨论,可得本题答案. 化成斜截式,得 y=﹣ cosα, cosα, xcosα﹣ .

【解答】解:将直线 ∴直线的斜率 k=﹣

设直线的倾斜角为 θ,可得 tanθ=﹣

由 cosα∈[﹣1,1],得﹣ 当 0≤tanθ≤ 时,0≤θ≤

≤tanθ≤ ;当﹣ ≤tanθ<0 时, ]∪[ ,π) . ≤θ<π.

综上所述,直线的倾斜角 θ∈[0, 故答案为:[0, ]∪[ ,π)

【点评】本题给出直线的方程,求直线倾斜角的取值范围.着重考查了正弦函数的值域、直 线的斜率与倾斜角等知识,属于中档题.

13.已知△ ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC= 【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题. 【分析】根据 ,将向量的数量积转化为: = 得到答案. 【解答】解:由于 ∴ = 如图,根据向量数量积的几何意义得: =﹣3|AE|+2|AF|=﹣ ×3+2×1=﹣ 故答案为:﹣ . = ,

,则

=﹣ .

,如图,再根据向量数量积的几何意义即可

【点评】 本小题主要考查向量在几何中的应用等基础知识, 解答关键是利用向量数量积的几 何意义.属于基础题. 14.设 A 是平面向量的集合, 是定向量,对 属于集合 A,定义 .现给出如下四个向量:

① ④ 那么对于任意 、

,② . , 使 的序号) .

,③



恒成立的向量

的序号是①③④

(写出满足条件的所有向量

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;阅读型. 【分析】由于①是零向量代入 f(x)检验是否满足要求即可;对于一般情况,利用向量的 数量积的运算律求出 f(x)f(y) ;要满足条件得到 【解答】解:对于①当 当 时, 时, ,再判断②③④哪个满足即可. 满足

= 要满足 需 ∴ 对于③④ 故答案为①③④ 【点评】 本题考查向量的数量积的运算律: 满足交换量不满足结合律但当向量与实数相乘时 满足结合律. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15.“a=2”是“直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】当 a=2 时,经检验,两直线平行,故充分性成立;当两直线平行时,由斜率相等 得到 a=±2,故必要性不成立. 【解答】解:当 a=2 时,直线 2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0,直线 ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣ 2=0,显然两直线平行,故充分性成立.

当直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行时,由斜率相等得

,a2=4,a=±2,

故由直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行,不能推出 a=2,故必要性不成立. 综上,“a=2”是“直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行”的充分不必要条件, 故选 B. 【点评】本题考查两直线平行的条件和性质,充分条件、必要条件的定义和判断方法.

16.已知关于 x,y 的二元一次线性方程组的增广矩阵为

,记

, 则此线性方程组有无穷多 组解的充要条件是( A. C. D. B. ) 两两平行 方向都相同

【考点】二元一次方程组的矩阵形式;充要条件. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】 二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比 例,由此即可得到结论. 【解答】解:由题意,二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常 数项对应成比例 ∵ ∴ 两两平行 ,

故选 B. 【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,考查向量知识,属于基础题. 17.如图所示是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是( )

A.①是循环变量初始化,循环就要开始 B.②为循环体 C.③是判断是否继续循环的终止条件

D.输出的 S 值为 2,4,6,8,10,12,14,16,18 【考点】循环结构;程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 s 的值,结合各部分的功能即可得出答案. 【解答】解:这个程序框图中, ①是循环变量初始化,循环将要开始,正确; ②为不满足条件 n>10 时执行的语句,是循环体,故 B 正确; ③是判断是否继续循环的终止条件,正确; ④满足执行程序框图,可得 i=1 s=2,输出 2,i=2 s=4,输出 4,i=3 s=6,输出 6,i=4 s=8,输出 8,i=5 s=10,输出 10,i=6 s=12,输出 12,i=7 s=14,输出 14,i=8 s=16,输出 16,i=9 s=18,输出 18,i=10 s=20,输出 20,i=11 满足条件 i>10,退出循环.故 D 错. 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,循环结构,循环语句,程序功能的判断,是对算法 知识点的综合考查,熟练掌握算法的基础知识是解答本题的关键. 18.如图,由四个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 2 的等边三角形,各项点依次为, A1,A2,A3,…An 则 ( ) 的值组成的集合为

A.{﹣2,﹣1,0,1,2} B. C.

D. 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】通过观察图形知道向量 分成以下三个类型:①小三角形边上的向量,②大 的值,从而

三角形边上的向量,③大三角形中线向量,这样求出每种情况下 求得答案. 【解答】解:对向量 分成以下几种类型:

边长为 1 的小三角形边上的向量,只需找一个小三角形 A1A2A4,它其它小三角形边上的向 量相等; 大三角形 A1A3A6 边上的向量,和它的中线上的向量,所以有: , , , , ; ∴ 所有值组成的集合为{1,﹣1, }. , , , , , , , , , , ,

故选:D. 【点评】 考查相等向量, 相反向量的概念, 向量数量积的计算公式, 等边三角形中线的特点. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题 务必写在答题纸上规定位置. 19.中秋节前几天,小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会,热心的小毛受班级同学委托, 去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物:中国结、记事本和笔袋(每种礼物 的品种和单价都相同) . 三个小组给他的采购计划各不相同,各种礼物的采购数量及价格如下表所示: 中国结 记事本 笔袋(个) 合计(元) (个) (本) 2 1 0 10 小组 A 1 3 1 10 小组 B C 0 5 2 30 小组 为了结账,小毛特意计算了各小组的采购总价(见上表合计栏) ,可是粗心的小毛却不慎抄 错了其中一个数字.第二天,当他按照自己的记录去向各小组报销的时候,有同学很快发现 其中有错. 发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价, 那么他是如何作出判断的呢?请你 用所学的行列式的知识对此加以说明.

【考点】进行简单的合情推理. 【专题】计算题;方程思想;综合法;矩阵和变换. 【分析】设中国结每个 x 元,记事本每本 y 元,笔袋每个 z 元,由题设列出方程组,由系数 行列式 D=0,得方程组有无穷多组解或无解,再由 Dx,Dy,Dz 均不为 0,得到该方程组无 解. 【解答】 (本题满分 12 分) 解:设中国结每个 x 元,记事本每本 y 元,笔袋每个 z 元,

由题设有





,∴方程组有无穷多组解或无解,

又 ∴该方程组无解.







【点评】本题考查行列式知识的应用,是基础题,解题时要注意系数行列式在解线性方程组 时的合理运用. 20. (14 分)已知△ ABC 的顶点 A(1,3) ,AB 边上的中线所在直线的方程是 y=1,AC 边 上的高所在直线的方程是 x﹣2y+1=0. 求(1)AC 边所在直线的方程; (2)AB 边所在直线的方程. 【考点】直线的一般式方程. 【专题】计算题. 【分析】 (1)根据 AC 边的高所在的直线方程,设出 AC 所在的直线方程,再代入点 A 的坐 标,求参数即可 (2)由中点坐标公式表示出点 B 的坐标,再根据点 B 在 AC 的高线上,可求出中点坐标, 从而可确定直线 AB 的斜率,又由点 A 的坐标,即可表示出直线的方程 【解答】解: (1)由题意,直线 x﹣2y+1=0 的一个法向量(1,﹣2)是 AC 边所在直线的一 个方向向量 ∴可设 AC 所在的直线方程为:2x+y+c=0 又点 A 的坐标为(1,3) ∴2×1+3+c=0 ∴c=﹣5 ∴AC 所在直线方程为 2x+y﹣5=0. (2)y=1 是 AB 中线所在直线方程 设 AB 中点 P(xP,1) ,B(xB,yB) ∴ ∴点 B 坐标为(2xP﹣1,﹣1) ,且点 B 满足方程 x﹣2y+1=0

∴(2xP﹣1)﹣2?(﹣1)+1=0 得 xP=﹣1, ∴P(﹣1,1) ∴AB 所在的直线的斜率为: ∴AB 边所在直线方程为 y﹣3=1(x﹣1) ,即 x﹣y+2=0 【点评】本题考查直线方程的求法,要熟练应用直线垂直的关系和中点坐标公式.属简单题 21. (14 分)在直角坐标系中,已知两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ;x1,x2 是一元二次方程 2 2 2x ﹣2ax+a ﹣4=0 两个不等实根,且 A、B 两点都在直线 y=﹣x+a 上. (1)求 ; (2)a 为何值时 与 夹角为 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】 (1)由判别式大于 0 求出 a 的范围,利用根与系数关系结合 A、B 两点都在直线 y=﹣x+a 上求得 ; (2)求出方程的根,结合 A、B 两点都在直线 y=﹣x+a 上可得 x1=y2,x2=y1,求出 ,再由数量积公式求出 ,与(1)中的 结合得到关于 a 的方程, 求解方程得答案. 【解答】解: (1)∵x1、x2 是方程 2x2﹣2ax+a2﹣4=0 两个不等实根, ∴△=4a2﹣8(a2﹣4)>0,解得: , 且 x1+x2=a, ,

又∵A、B 两点都在直线 y=﹣x+a 上, ∴y1y2=(﹣x1+a) (﹣x2+a)= ∴ = = ; ,

(2)求解方程 2x2﹣2ax+a2﹣4=0,得







,同理 y2=x1, = =

∴ . 当 与 夹角为 时,



∴a2﹣4=2,解得: . ∴ . 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系,考查了平面向量的数量积运算,训练了灵 活变形能力,是中档题.

22. (16 分)已知 O 为△ ABC 的外心,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点 为 D,再以 OC、OD 为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为 H. (1)若 ,试用 表示 ;

(2)证明: ; (3)若△ ABC 的∠A=60°,∠B=45°,外接圆的半径为 R,用 R 表示



【考点】平面向量的综合题. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)利用向量加法的平行四边形法则,用已知向量表示向量 (2)要证明向量 ,只要证明 ,利用 O 是三角形的外心,可得 ,然后用向量 表示 两边平方整理可得外接圆半径

(3)利用已知的角,结合向量的数量积把已知的 【解答】解: (1)由平行四边形法则可得: 即 (2)∵O 是△ ABC 的外心, ∴| |=| |=| |, 即| |=| |=| |,而 ∴ . ( ,

)= |2﹣| |2=0,∴

(3)在△ ABC 中,O 是外心 A=60°,B=45° ∴∠BOC=120°,∠AOC=90° 于是∠AOB=150°| |2=( = =( ∴ 【点评】 本题主要考查向量的加法的平行四边形法则, 两向量垂直的证明方法及向量数量积 的定义,综合运用向量的知识,解决问题的关键是熟练掌握向量的基本知识. )R2 +2 °+2

23. (18 分)如图,射线 OA,OB 所在的直线的方向向量分别为



,点 P 在∠AOB 内,PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N; (1)若 k=1, ,求|OM|的值;

(2)若 P(2,1) ,△ OMP 的面积为 ,求 k 的值; (3)已知 k 为常数,M,N 的中点为 T,且 ,当 P 变化时,求|OT|的取值范围.

【考点】向量在几何中的应用. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】 (1)求出|OP|,点 P 到直线的距离,利用勾股定理,求|OM|的值; 2 ( )直线 OA 的方程为 kx﹣y=0,求出 P(2,1)到直线的距离,利用勾股定理求出|OM|, 利用△ OMP 的面积为 ,求 k 的值; (3)设直线 OA 的倾斜角为 α,求出|OM|,|ON|,利用 S△ MON= ,可得 P 变化时,动点 T 轨迹方程,求出|OT|,即可求|OT|的取值范围. 【解答】解: (1)∵ ,∴|OP|= , = ,

∵OA 的方程为 y=x,即 x﹣y=0,点 P 到直线的距离为 ∴|OM|= = ;

(2)直线 OA 的方程为 kx﹣y=0,P(2,1)到直线的距离为 d=



∴|OM|=



∴△OMP 的面积为 ×

×

= ,





(3)设 M(x1,kx1) ,N(x2,﹣kx2) ,T(x,y) ,x1>0,x2>0,k>0, 设直线 OA 的倾斜角为 α,则 ,

根据题意得



代入 化简得动点 T 轨迹方程为 .





当且仅当 ∴|OT|的取值范围是

时,|OT|取得最小值 . .

【点评】本题考查三角形面积的计算,考查轨迹方程,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.


上海市华师大二附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷...

(共 22 页) 2015-2016 学年上海市师大附中高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题 1.计算: 【考点】极限及其运算. 【专题】计算题. 【分析...

上海市复旦大学附中2015-2016学年高二上学期期末数学试...

上海市复旦大学附中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海市复旦大学附中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷 ...

...州学院附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文...

海南省琼州学院附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年海南省琼州学院附中高二(上)期中数学试卷(...

...附中分校2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科...

河南省北大附中分校2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河南省北大附中分校高二 (上) 期中数学试卷...

...2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

上海理工大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中...文档贡献者 tangna19841 贡献于2016-08-07 1/2 相关文档推荐 ...

...大学附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word...

江西省南昌大学附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年江西省南昌大学附中高二(上)期中数学试卷 一.选择...

湖南师大附中2015-2016学年高二上学期第二次段考数学试...

湖南师大附中2015-2016学年高二上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析_高二数学_数学_高中教育_教育专区。湖南师大附中2015-2016学年高二上学期第二次段考...

河南省南阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Wor...

河南省南阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育...2015-2016 学年河南省南阳市高二(上)期中数学试卷一、选择题 1.在等差数列{...

山西省晋中市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文...

山西省晋中市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年山西省晋中市高二(上)期中数学试卷(文科)一、...

...2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

北京师范大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中...文档贡献者 nongjian1979 贡献于2016-07-26 1/2 相关文档推荐 ...