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《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象》课件


在物理中, 交流电的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6

4
2

o
-2
-4 -6

2

4

>6

8

x

o
-2
-4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin(?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?

1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象

复习回顾

y ? sin x, x ?[0,2? ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.

? 3? 关键点: (0,0), ( ,1), (?,0), ( ,-1), (2?,0) .

y

1

. . . ? 3?/2 2? .
x

o ?/2 -1

.

1.y=sin(x+? )与y=sinx的图象关系 ? ? 例1、试研究 y ? sin(x ? ) 、y ? sin(x ? ) 6 与 y ? sinx 的图象关系3

y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

一、函数y=sin(x+? ) 图象
函数y=sin(x+? )( ? ≠0)的图象可以看

作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当? >
0时 )或向右(当 ? <0时 )平行移动 ? 个单位而得到的。

? 练习:函数y = 3cos(x+ )图像向左平移 4 ? 个单位所得图像的函数表达式为 _____ 3

5? 思考:函数y = sin2x图像向右平移 12 个

单位所得图像的函数表达式为______

1.列表:

1x y ? sin 例2.作函数 y ? sin 2 x 及 2 的图象。

2. y ? sin ?x 与 y=sinx图象的关系 x
2x sin 2 x
2. 描点: 2 y
y=sin2x
1 O

0 0 0

?

4 ? 2

? 2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

y=sinx
? 2
?

纵坐标不变 ,横坐标

缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2? 3?

y=sin2x

x

?1
?2

对于函数y ? sin 1 x 2
1. 列表:

x
1 x 2 sin 1 x 2

0 0 0

?
?
2


?


3? 2

4?
2π 0

1

0

-1

2. 描点:
y y=sinx 1

y=sinx

纵坐标不变, 横坐标 变为原来的 2 倍 2? 3? y=sin 1 x 2

y=

1 sin 2 x

O ?1

?

4?

的图象间的变化关系。
y
2

1 y ? sin x 与 y ? sinx 函数 y ? sin2 x 、 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

二、函数y=sin?x(?>0)图象
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看

作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

1 例3、作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的简图. 2
解: 列表
x
sinx 2sinx
1 2

3.y=Asinx与y=sinx图象的关系

描点作图
?
2

0
0 0 0

π
0 0 0

3? 2



y

2 1
? 2

1 2
1 2

-1 -2
? 1 2

0 0 0

3? 2
0



π

x

sinx

-1

-2

y ? sin x
y=Sinx

纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变

y ? 1 sin x 2
y=2Sinx

纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变

1 函数 y ? 2 sinx 、y ? sin x 与 y ? sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
? 2

o
-1

1 y= 2
3? 2

sinx

2?

x

-2

三、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作

是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1
时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐 标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是[-A, A],最大值是A,最小值是-A。

例4:如 何 由 y=sinx 变 换 得 到
y ? 3 si n ( 2x ?

?

3

)

的 图 像?

方法1: (按? , ? , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法2: (按? , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

1 ? 练习:画出函数 y ? 2sin( x ? ) 3 6
在长度为一个周期的闭区间上的简

图,并说明它是由y=sinx如何变 化而来的?

练习:
1.已知函数y=3sin(x+π/5),x∈R的图象为C,为了得到函 数y=3sin(x-π/5),x∈R的图象,只需把C上所有的点( ) (A)向左平行移动π/5个单位长度 (B)向右平行移动π/5个单位长度 (C)向左平行移动2π/5个单位长度 (D)向右平行移动2π/5个单位长度

2.已知函 数y=3sin(x+π/5),x∈R的图象为C,为了得到函 数 y=3sin(2x+π/5),x∈R的图象,只需把C上所有的点( ) (A)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 (D)纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变

3.已知函数y=3sin(x+π/5),x∈R的图象为C,为了得到函数 y=4sin(x+π/5),x∈R的图象,只需把C上所有的点( ) (A)横坐标伸长到原来的4/3倍,纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的3/4倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的4/3倍,横坐标不变 (D)纵坐标伸长到原来的3/4倍,横坐标不变

总结:
1、作函数y=Asin(?x+?) 的图象: (1)用“五点法”作图。 (2)利用变换关系作图; 2、以不同顺序变换φ、ω、Α的方法 顺序可任意,平移要注意; 常常是平移、周期再振幅.


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