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1.3.2函数的奇偶性


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y

0

x

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观察下图,思考并讨论以下问题:
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)

f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数.
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1.偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 例如,函数 f ( x) ? x ? 1, f ( x) ? x ? 1 都是偶函数, 它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
2 2

2

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观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.
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2.奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意: 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的 一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则 -x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 于原点对称).
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3、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立. 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.

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例5、判断下列函数的奇偶性:
(1 ) (3) f (x) ? x
4

(2) 1 x (4)

f (x) ? x f (x) ?

5

f (x) ? x ?

1 x
2

(1)解:定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)

(2)解:定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)

∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解:定义域为{x|x≠0} (4)解:定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)奇函数 ∴f(x)偶函数
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3.用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.

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课堂练习
判断下列函数的奇偶性:
(1 ) f ( x ) ? x ? (3) f ( x ) ? 5 (5 ) f ( x ) ? x ? 1 1 x (4) f ( x) ? 0 ( 6 ) f ( x ) ? x , x ? [ ? 1, 3 ]
2

(2) f ( x) ? ? x ? 1
2

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3.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么就称这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么就称这个函数为偶函数.
说明:奇偶函数图象的性质可用于: a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
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例3、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图 象如下图,画出在y轴左边的图象. 解:画法略

y

相等

0

x

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y
相等

0

x

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本课小结
1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(-x)=-f(x) 如果都有f(-x)=f(x) 2、两个性质:

?f(x)为奇函数 ? f(x)为偶函数

一个函数为奇函数
一个函数为偶函数

? 它的图象关于原点对称 ? 它的图象关于y轴对称

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