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点到直线的距离


点 到 直 线 的 距 离

四川省成都市新都一中 何军

X

点到直线的距离
a

b d
c

P

y

l
Q O x

P(x0,y0) l:Ax+By+C=0
法一:

Q

C B C ? B ? x 0 ? y0 ? x 0 ? y0 ? ? ? A C B ,? ? A B ? ? ? A B A B A B B? ? ? ? ? ? A B A B ? ?

法二: 令P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0,倾斜角设为? y y P P l l ?1 ?1 Q Q M ? M ? x x O O 过P作PM⊥x轴交l于M,构造直角△PQM 锐角?1与倾斜角?有何关系? |PQ|=|PMcos ?1 | 如果l的倾斜角?是钝角呢? cos ?1 =|cos ? | 怎样用|PM|表示|PQ|? |PQ|=|PMcos ? |

?1= ?

?1= ?-?

Ax+By+C=0 y 已知P(x0,y0),设M(x1,y1) P l (x0,y0)? ∵PM∥Oy,∴x1=x0 1 Q 将 M( x , y ) 代入 l 的方程得 0 1 (x1,y1) Ax0 ? C M y1 ? ? ? x B O Ax0 ? By0 ? C Ax0 ? C ? ? PM ? y0 ? y1 ? y0 ?
又 ? cos? 1 ? cos? ? 1 1 ? tg ?
2

B

?

1 A 1? 2 B
2
2

B

?

B
2 2

A ?B

? PQ ? PM cos? ?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2

y

d
O

P(x0,y0)

x
l:Ax+By+C=0

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

1.此公式的作用是求点到直线的距离; 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的; 3.如果A=0或B=0,此公式恰好也成立; 4.如果A=0或B=0,一般不用此公式; 5.用此公式时直线要先化成一般式。

例1 求点P(-1,2)到直线 ①2x+y-10=0; ②3x=2的距离。 解: ①根据点到直线的距离公式,得

d?
y
P(-1,2) O

2 ? ?? 1? ? 1 ? 2 ? 10 2 ?1
2 2

?2 5

②如图,直线3x=2平行于y轴,

2 5 ? d ? ? ( ?1) ? 3 3 x 用公式验证,结果怎样? l:3x=2

例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y l1:2x-7y+8=0 两平行线间的 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点,例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

14 14 53 ? ? 53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

y P ?1

l1 l2 Q M

O

x

任意两条平行直线都 可以写成如下形式: l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0

|PQ|=|PM· cos ?1|

? PM ?

B
2

A ?B
2

|PM|是l1与l2在y轴上截距之差的绝对值

C 2 ? C1 C1 ? C 2 ? |B| ? PQ ? ? ??? ? ?? 2 2 2 2 B ? B? A ?B A ?B

练习 1.求坐标原点到下列直线的距离:
(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y 2.求下列点到直线的距离: (1) A(-2,3), 3x+4y+3=0

3 x+y - 3 =0 (3) A(1,-2), 4x+3y=0 3.求下列两条平行线的距离: (1) 2x+3y-8=0 , 2x+3y+18=0 (2) 3x+4y=10 , 3x+4y-5=0 (3) 2x+3y-8=0 , 4x+6y+36=0

(2) B(1,0),

4.完成下列解题过程: ⑴ P在x轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0与直线l2: 12x-5y+40=0的距离相等, 求P点坐标。 解:设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等,列式为 x ? 3 ?0? 7 12 x ? 5 ? 0 ? 40 ( )=( ) 2 2 2 2 12 ? ( ?5) 1 ? (? 3 ) 171 解得:( x ? 1 或 x ? ? ) 37 171 ,0 ) ) 所以P点坐标为:( (1,0) 或 ( ? 37

⑵.用解析法证明:等腰三角形底边上任意一点 到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),x∈( ? a , a ) y B(0,b) 可求得lAB:( bx ? ay ? ab ? 0) lCB:( bx ? ay ? ab ? 0 ) bx ? ab F |PE|=( ) 2 2 E a ?b bx ? ab x |PF|=( ) C(-a,0) O P A(a,0) 2 2 A到BC的距离h=(
2ab
2

a ?b

a ?b

2

)

因为|PE|+|PF|=h,所以原命题得证。

点到直线的距离
d? Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

1.此公式的作用是求点到直线的距离; 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的; 3.如果A=0或B=0,此公式恰好也成立; 4.如果A=0或B=0,一般不用此公式; 5.用此公式时直线要先化成一般式。

要求: 1.掌握点到直线的距离公式的推导过程; 2.能用点到直线的距离公式进行计算; 3.能求有关平行线间的距离。

探索与思考: 如果已知点到直线的距离及直线的 有关特征,怎样求直线的方程。
思考题: 直线l在两坐标轴上的截距相等,点P(4,3) 到l的距离为3 2 ,求直线l 的方程。

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点到直线的距离公式

B 2 。 这就推导得到点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离公式。 如果 A=0 或 B=0,上式的距离公式仍然成立。 下面再介绍一种直接用两点间距离...

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