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高三第一次月考数学(文科含答案)试卷


一中 2018 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(文)
命题人:

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 9.已知函数 f ( x ) ? ? ,且 f (a) ? ?4 ,则 f (14 ? a) ? ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1
A. ?

7 4

B. ?

5 4

C. ?

3 4

D. ?

1 4

第Ⅰ卷
一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? x

(选择题

共 60 分)

10.已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

(A)2

(B)1

1 , a3 a5 ? 4(a4 ? 1) ,则 a 2 ? 4 1 (C) 2

(D)

1 8

? ? C. A ? B ? ?x - 2 ? x ? 0或x ? 0?
A. A ? B ? x x ? ?2 2. “x>1”是“
log 1 ( x ? 2) ? 0
2

? 1? x ? ? 0? , B ? x 3x ? 1 则 ? x?2 ?

?

?

11.已知函数 f ( x) ? A sin( ?x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是
A. f ( x ) ? B. f ( x ) ? C. f ( x ) ? 3 3 ? sin( x ? ) 4 2 6 4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 4 5 ? sin( x ? ) 5 6 6 4 2 1 sin( x ? ) 5 3 5

B. A ? B ? x x ? ?2

? ? D. A ? B ? ?x 0 ? x ? 1?
D.既不充分也不必要条件

”的

A.充要条件

B.充分不必要条件 C.必要不充分条件

3.函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的一个对称轴为 A.x=

D. f ( x ) ?

? 4
0.6 1.5

B.x=

π 2
0.6

C.x=

2π 3

D.x=

5? 6

12. 设函数 f ( x) ? e x (2x ?1) ? ax ? a 其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是

4.设 a ? 0.6 ,b ? 0.6 ,c ? 1.5 , 则 a,b,c 的大小关系是 A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a

? 3 ? A.?- ,1? ? 2e ?

? 3 3? B.?? , ? ? 2e 4 ?

? 3 3? C.? , ? ? 2e 4 ?

?3 ? D.? ,1? ? 2e ?

5.向量 a ? (1,?1) , b ? (?1,2) ,则 (2a ? b) ? a ?

第Ⅱ卷(非选择题 (D)2

共 90 分)

(A) ? 1

(B)0

(C)1

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13 已知函数

6.函数 f ? x ? ? cos2 x ? sin ? A. - 2
2

?? ? ? x ? 的最小值是 ?2 ?
9 8
C. -

f ( x) ? ax3 ? 2 x 的图象过点 (?1,4) ,则 a ? _______

B. -

7 8

D.0

14.如图,某工程中要将一长为 100 m,倾斜角为 75° 的斜坡 改造成倾斜角为 30° 的斜坡,并保持坡高不变,则坡底 需加长________m.

7.函数 f ( x) ? ln( x ? 2x ? 8) 的单调递减区间是 A. (??, ?2) B. (??, ?1) C. (1, ??) D. (4, ??) 8.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满 ?2a ? c ? cos B ? b cos C ,则 A 的取值范围

15.已知向量

a ? (m,4) , b ? (3,?2) ,且 a // b ,则 m ?

_____.

? 2? ? A.? 0, ? ? 3 ?

B.?0,? ?

? ? 2? ? C.? , ? ?3 3 ?

? 2? ? D.? ,? ? ? 3 ?
高三第一次月考数学(文科)试卷

16 . 设 函 数 f ( x)(x ? R) 满 足

f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x 当 0 ? x ? ? 时 , f ( x) ? 0 则

第 1 页(共 2 页)

f(

23? ) ? ________ . 6

22. 已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1,斜率为 1 的直线与 f ( x) 相切于 (1, 0) 点. (1)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间; (2)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 对称轴的距离为

3 ? 3 sin 2 ?x ? sin ?x cos?x(? ? 0) 且 y ? f ( x) 的图象的两个相邻 2
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? . 2
? 3? ? ? ?

(1)求 ω 的值; (2)求 f ( x ) 在区间 ??, ? 上的最大值和最小值. 2 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10。 (1)求 a , b 。

? x ? 2 ? 2 cos? ,M 是曲线 C1 上的 (?为参数) ? y ? 2 sin ?

动点,点 P 满足 OP ? 2OM (1)求点 P 的轨迹方程 C2 ; (2)以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 同于极点的 A、B 两点,求 AB .

?
6

与曲线 C1 、C2 交于不

? ? ? 上有两个零点,求 m 的范围。 (2)若方程 g ( x) ? f ( x) ? m 在 ? ,

?1 ?2

? ?

19.(本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知 cos B ? 3 , sin(A ? B) ? 6
3 9

(1)求 sin A .

B?

3 6 ( ,sin ( A ? B) ?2)若 , ac ? 2 3 ,求 c. 3 9
20.(本小题满分 12 分)等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 4 , a5 ? a7 ? 6 S 7 ? 28 .

(I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? [lg an ] ,求数列 {bn } 的前 10 项和,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整 数,如 [0.9] ? 0 , [2.6] ? 2 .
21.(本小题满分 12 分)
高三第一次月考数学(文科)试卷 第 2 页(共 2 页)

一中高三第一次月考数学(文科)答案
一.ABCCC 二.13.-2 17. (12 分) 解 1-cos 2ω x 1 3 3 (1)f(x)= 2 - 3sin2ω x-sin ω xcos ω x= 2 - 3· -2sin 2ω x 2 ??????????????3 分 BAAAC BD 14. 100 2 15.-6 16.

1 2

π? 3 1 ? = 2 cos 2ω x-2sin 2ω x=-sin?2ω x- 3 ?. 因为 y=f(x)的图象的两个相邻对称轴的距离为 2π 所以2ω =π ,因此ω =1.

? 2a ? b ? 3 ? 0, 2a a2? 3b??0, ?? ?ba?? 1 ? 10, ?? 2 a ? a ? b ? 1 ? 10, a ? ?3, ? ? a1 ? 4, ? 2 解得 或 ? a ? 4, a2 ? ?3, ? 1 ?? 解得 ??b1 ? ?11, 或 ??b2 ? 3. b1 ? ?11, ?b2 ? 3. ?? a2 ? ? 3 而当 ? ? a2 ? ? 3 时 , 而当 ??b2 ? 3 时, ?b2 ? 3
f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 3 ? x ? 1?
2

… ……………………………2 分

………………………………4 分

? ? , 故该函数的周期 T=2× =π .又ω >0, 2 2
??????????????6 分

易得此时, f ?( x ) 在 x=1 两侧附近符号相同,不合题意。

π? π ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- 3 ?.设 t=2x- 3 ,则函数 f(x)可转化为 y=-sin t.

?a ? 4 当? 1 时, f ?( x) ? (3x ? 11)( x ? 1) ,此时, f ?( x ) 在 x ? 1 两侧附近符号相异, ?b1 ? ?11
?a ? 4 符合题意。 所以 ? 。 ?b ? ?11
? ? ? 上有两个零点 (2)解? g ( x) ? f ( x) ? m 在 ? ,
? f ( x) ? m ? 0 有两个根
即 f ( x ) ? -m , ………………………………6 分

?1 ?2

? ?

3π 5π 8π π 当π ≤x≤ 2 时,3 ≤t=2x- 3 ≤ 3 , 8分

??????????????

? ? ? ? ? 有两个交点。????8 分 函数 y ? f ( x) 与 y ? -m 在 ? , 1 ?2 ?
由(1)知, f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ?11x ? 16

?5π 8π ? ?5π 8π ? 如图所示,作出函数 y=sin t 在? 3 , 3 ? 上的图象,由图象可知,当 t∈? 3 , 3 ?时,
π? 3 3 3 ? ? ? ? sin t∈? ?- 2 ,1?,故-1≤-sin t≤ 2 ,因此-1≤f(x)=-sin?2x- 3 ?≤ 2 . 3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , 2 ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1.
2

f ?( x) ? (3x ? 11)( x ? 1) 所以函数 y ? f ( x)

1? 单调递减,在 ?1, ? ? ? 单调递增 在? ,
1 93 ? f( )? 2 8
12 分
第 3 页(共 2 页)

?1 ? ?2 ?

???10 分 ???

?????????12 分

f (1) ? 10

18.(12 分) (1)解: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b , 根据题意可得 ?

? f ?(1) ? 0 ,即 ? f (1) ? 10
高三第一次月考数学(文科)试卷

? 93 ? ? m ? ?? ,-10? ? 8 ?

19.(12 分) 解: (1) 【解析】在 ?ABC 中,由 cos B ?

3 6 . ,得 sin B ? 3 3

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ?

6 , 9 5 3 , 9

???3 分 / 21.(本小题满分12分) Ⅰ)由题意知:

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ?

???5 分

因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C

?

6 5 3 3 6 2 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 3
a c ? , sin A sin C

???7 分

????????????2分

(2)由

2 2 c c sin A 3 ? ? 2 3c , 可得 a ? sin C 6 9
又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 20

解得: ???10 分 解得: ???12 分 所以 在



上单调递增,在

上单调递减??????6分

(2)由(Ⅰ)知: 当 时, ,即 当 时,





高三第一次月考数学(文科)试卷

第 4 页(共 2 页)

?????12分 所以

22. ( 10 分 ) 解 :(I) 设

,则由条件知

.因为 M 点在

上,所以

?x ? 2 ? 2 cos? ? ?2 (?为参数) ? y ? ? 2 sin ? ? ?2


????2 分

? x ? 4 ? 4 cos? (?为参数) ? ? y ? 4 sin ?
的轨迹方程为 ????5 分 的极坐标方程为 ? ? 8cos?

从而

?x ? 4?2 ? y 2 ? 16
(Ⅱ)曲线 射线 ? ? 射线 ? ? 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,曲线

?
6



的交点 A 的极径为 ?1 ? 4cos 的交点 B 的极径为. ?1 ? 8cos

?
6

?
6



?
6

??????7 分

所以

.

??????10 分

高三第一次月考数学(文科)试卷

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