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2.4


从新方案调研一线传来的消息, 证实了专家们的猜测, 目前江苏省高考改革主要围绕 3 个方 案进行讨论调研,每个方案都增加了计分科目,只是增加的科目数量不同。 方案一是“3+小综合”,即语数外三门,加理科小综合(物理、化学、生物)或语数外 三门加文科小综合(历史、地理、生物),小综合 3 门合卷考试; 方案二是“3+2”,即语数外三门,加历史、政治(文科)或者物理、化学(理科);

方案三是“4+1”,即文科语数外历史必考,另在政治、地理中任选一门;理科语数外 物理必考,另在化学、生物中任选一门。 有关人士透露,最终出台的新方案很可能就是在 3 个方案中选一个,究竟选那个,目前 意见尚不统一。“有的认为语数外以外,再考物理化学或历史政治 2 门就够了,有的认为生

物、地理也很重要,还有的认为如果历史、物理单独考试,分量太重。”这位人士透露,目 前来看支持“3+小综合”的比较多,实施可能性较大,因为该方案能兼顾各科。 “高考就是指挥棒,如果哪一门不考,这一门很可能就被学校淡化了。以化学为例,因 为 2008 年高考方案中,考生选择化学得 A 几率较小,曾出现过一所学校没有一个考生选化 学的情况。

幂函数 2 教案
教材分析: 幂函数作为一类重要的函数模型, 是学生在系统地学习了指数函数、
对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。 本课的教学重点是掌握常见幂函数 的概念和性质,难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。 幂函数模型在生活中是比较常见的, 学习时结合生活中的具体实例来引出常见的 幂函数 。组织学生画出他们的图象,根据图象观察、总结这几个常见幂函数的 性质。对于幂函数,只需重点掌握 这五个函数的图象和性质。 学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历, 这为学习幂函数做好了方法上 的准备。因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行 合作探究学习。

教学目标:
㈠知识和技能 1.了解幂函数的概念,会画幂函数 , , 的图象,并能结合这几个幂函数的图 象,了解幂函数图象的变化情况和性质。 2.了解几个常见的幂函数的性质。 ㈡过程与方法 1.通过观察、总结幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力。

2.使学生进一步体会数形结合的思想。 ㈢情感、态度与价值观 1.通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到生活中处处有数学,激发学 生的学习兴趣。 2.利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到 现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望。

教学重点
常见幂函数的概念和性质

教学难点
幂函数的单调性与幂指数的关系

教学过程
突破思路 本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型.通过研究 y=x、y =x 、y=x 、y=x 、y= x 等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零 两种情形下,幂函数的共性:当幂指数 a>0 时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) , 且在第一象限内函数单调递增;当幂指数 a<0 时,幂函数的图象都经过点(1,1) ,且在 第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线. 在方法上, 我们应注意从特殊到一般地去 进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 合作讨论 问题 1:我们知道,分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式, 再指出它的定义域和奇偶性.利用计算机画出它们的图象,观察它们的图象,看有什么共同 点?
2 3
-1

1 2

(1)y= x ; (2)y= x ; (3)y= x ; (4)y= x . 思路:先将各式化为根式形式,函数的定义域就是使这些根式有意义的实数 x 的集合; 奇偶性直接利用定义进行判断. (1)定义域为[0,+ ? ) , (2 ) (3) (4)定义域都是 R; 其中(1)既不是奇函数也不是偶函数, (2)是奇函数, (3) (4)是偶函数.它们的图象都 经过点(0,0)和(1,1) ,且在第一象限内函数单调递增. 问题 2: 仿照问题 1 研究下列函数的定义域和奇偶性, 观察它们的图象看有什么共同点? (1)y=x ; (2)y=x ; (3)y= x
-1 -2

1 2

1 3

2 3

4 3

1 - 2

; (4)y= x



1 3



思路:先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式,函数的定义域就是使这 些分式和根式有意义的实数 x 的集合; (1) (2) (4)的定义域都是{x|x≠0}, (3)的定义域 是(0,+ ? ) ; (1) (4)是奇函数, (2)是偶函数, (3)既不是奇函数也不是偶函数.它们的图象都经过点(1,1) ,且在第一象限内函数 单调递减,并且以两坐标轴为渐近线. 思维过程 研究幂函数时,通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是 负整数时化为分式) ;根据得到的分式或根式研究幂函数的性质.函数的定义域就是使这些 分式和根式有意义的实数 x 的集合; 奇偶性和单调性直接利用定义进行判断. 问题 1 和问题 2 中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势,有利于我们进行类比.
2

【例题】讨论函数 y= x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.
2

思路:函数 y= x 5 是幂函数. (1)要使 y= x = x 有意义,x 可以取任意实数,故函数定义域为 R. (2)∵x ? R,∴x2≥0.∴y≥0.
2 (3)f(-x)= 5 (-x ) = x =f(x) ,

2 5

5

2

5

2

2

∴函数 y= x 5 是偶函数; (4)∵n=

2 >0, 5
2 5

∴幂函数 y= x 在[0,+ ? ]上单调递增. 由于幂函数 y= x 是偶函数,
2 5

∴幂函数 y= x 在(- ? ,0)上单调递减. (5)其图象如下图所示.

2 5

新题解答 【例 1】比较下列各组中两个数的大小:
3 3

(1) 1.5 5 , 1.7 5 ; (2)0.71.5,0.61.5; (3) (- 1.2)
3



2 3

, (- 1.25)



2 3



解析: (1)考查幂函数 y= x 5 的单调性,在第一象限内函数单调递增,
3 3

∵1.5<1.7,∴ 1.5 5 < 1.7 5 ,
3

(2)考查幂函数 y= x 2 的单调性,同理 0.71.5>0.61.5. (3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数, ∵ (- 1.2) ∴ (- 1.2)
- 2 3 2 3

= 1.2



2 3

, (- 1.25) .



2 3

= 1.25

2 - 3

,又 1.2



2 3

> 1.25

2 - 3





> 1.25

2 - 3

点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比 较大小. 【例 2】设函数 f(x)=x3, (1)求它的反函数; (2)分别求出 f 1(x)=f(x) ,f 1(x)>f(x) ,f 1(x)<f(x)的实数 x 的范围.
- - -

解析: (1)由 y=x 两边同时开三次方得 x
3
-1

3

=3

y ,∴f (x)=x .

-1

1 3

(2)∵函数 f(x)=x 和 f (x)=x 的图象都经过点(0,0)和(1,1) . ∴f 1(x)=f(x)时,x=±1 及 0;


1 3

在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知

f-1(x)>f(x)时,x<-1 或 0<x<1; f-1(x)<f(x)时,x>1 或-1<x<0.
点评:本题在确定 x 的范围时,采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较 为麻烦.
2
1

【例 3】求函数 y= x 5 +2x 5 +4(x≥-32)值域.
1

解析:设 t=x 5 ,∵x≥-32,∴t≥-2,则 y=t2+2t+4=(t+1)2+3. 当 t=-1 时,ymin=3. ∴函数 y= x +2x +4(x≥-32)的值域为[3,+ ? ) . 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法. 变式练习 1.函数 y=(x2-2x)
- 1 2

2 5

1 5

的定义域是(

) B. (-∞,0) ? (2,+∞) D. (0,2)

A.{x|x≠0 或 x≠2} C. (-∞,0) ] ? [2,+∞]

解析:函数可化为根式形式,即可得定义域. 答案:B
1

2.函数 y=(1-x2) 2 的值域是( A. [0,+∞] C. (0,1)

) B. (0,1) D. [0,1]

解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令 t=1-x2,则 y= t . ∵-1≤x≤1,∴0≤t≤1,∴0≤y≤1. 答案:D
2

3.函数 y= x 5 的单调递减区间为( A. (-∞,1) C. [0,+∞]
2

) B. (-∞,0) D. (-∞,+∞)

解析:函数 y= x 5 是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,由对称性可知选 B. 答案:B

4.若 a <a A.a≥1

1 2



1 2

,则 a 的取值范围是(

) B.a>0 D.1≥a≥0

C.1>a>0 解析:运用指数函数的性质,选 C. 答案:C

2 3 5.函数 y= (15+2 x-x ) 的定义域是(



A.5≥x≥-3 C.x≥5 或 x≤-3 解析:由(15+2x-x2)3≥0. ∴15+2x-x<20.∴-3≤x≤5. 答案:A 6.函数 y=

B.5>x>-3 D.R

1 x 2-m-m
2

在第二象限内单调递增,则 m 的最大负整数是________.

解析:m 的取值应该使函数为偶函数.故 m=-1. 答案:m=-1

4 7.已知函数 y= 15-2 x-x .

2

(1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间. 解析:这是复合函数问题,利用换元法令 t=15-2x-x2,则 y= 4 t , (1)由 15-2x-x2≥0 得函数的定义域为[-5,3] , ∴t=16-(x-1)2 ? [0,16] .∴函数的值域为[0,2] . (2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶 函数. (3)∵函数的定义域为[-5,3] ,对称轴为 x=1, ∴x ? [-5,1]时,t 随 x 的增大而增大;x ? (1,3)时,t 随 x 的增大而减小. 又∵函数 y= 4 t 在 t ? [0,16]时,y 随 t 的增大而增大,

4 ∴函数 y= 15-2 x-x 的单调增区间为[-5,1] ,单调减区间为(1,3] .

2

答案: (1)定义域为[-5,3] ,值域为[0,2] ; (2)函数即不是奇函数,也不是偶函数; (3) (1,3] . 规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形 式再去进行讨论; 2.对于幂函数 y= x ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图 象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即 ? <0,0< ? <1 和 ? >1 三种情况下曲 线的基本形状,还要注意 ? =0,±1 三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大 致情况可以用口诀来记忆: “正抛负双,大竖小横” ,即 ? >0( ? ≠1)时图象是抛物线型; 0< ? <1 时图象是横卧抛物线型. ? <0 时图象是双曲线型; ? >1 时图象是竖直抛物线型;
?


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