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微积分基本定理例题


牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

如果 f ( x )是区间[a,b]上的连续函数,并且
F ?( x ) ? f ( x ) ,则

?

b

a

f ( x )dx ? F ( x ) | ? F (b) ? F (a )
b a



其中F(x)叫f(x)的原函数, f(x)叫F(x)的导函数。

1 (1) ? (3x - 2 )dx 1 x
3 2

(2) ? 2? (sin x ? cos x)dx
? 2

?

(3)? (2 x ? 3x )dx ? 0, 求k
2 0

k

(4)? x ? x dx
2 ?1

2

?

?

0

sin xdx ? _______
sin xdx ? ________

y

o

?

x

??

2?

?

2?

0

sin xdx ? ________

定积分的几何意义:
当 f(x)?0 时,积分 ? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y?f ( x)
b

?a f (x)dx ??a
O a

b

c

f (x)dx? ?

b

c

f (x)dx。

b x

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲

边梯形位于 x 轴的下方,
积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a b

y

y??f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S ? ? [? f ( x)]dx
a b

S ? ? [? f ( x)]dx
a

??
b

?a

b

f ( x) dx . ,
c b

O a
b c

b x
?? S f (x)dx? ?a f (x)dx ?? ?c a
b

f (x

?? S f (x)dx? ?a f (x)dx ?? ?c a

f (x)dx。

y?f ( x)

定积分的几何意义:

?

b

a

f(x) dx 在几何上表示由y?f (x)、x?a、x?b 与
x 轴所围成的曲边图形面积的代数和(即x轴上

方的面积减去x轴下方的面积).

? 3? ? (1) y ? cos x, x ? ?0, ?, 求该曲线 ? 2? 与x轴围成的面积。

(2)求由直线 y ? x ? 4,曲线 y ? 2 x以 及x轴围成图形的面积。

海练12


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