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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:3-1-5 空间向量运算的坐标表示


成才之路· 数学
人教A版 · 选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
空间向量与立体几何

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
3.1 空间向量及其运算

第三章

空间向量与立体几何

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第三章
第 5 课时 空间向量运算的坐标表示

第三章

空间向量与立体几何

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第三章

3.1

第5课时

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课程目标解读

第三章

3.1

第5课时

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1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的 顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共 线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并 能运用这些知识解决一些相关问题.

第三章

3.1

第5课时

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课前自主预习

第三章

3.1

第5课时

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1.空间向量的加减和数乘的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) ; (2)a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) ; (3)λa= (λa1,λa2,λa3)(λ∈R)
?a1=λb1, ? ?a2=λb2, ?a =λb . ? 3 3



(4)a∥b(b≠0)?

第三章

3.1

第5课时

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(5)a· b=

a1b1+a2b2+a3b3 .
a2+a2+a3 ; 1 2 3

(6)|a|= a· a=

a1b1+a2b2+a3b3 a· b (7)cos〈a,b〉= = 2 2 2 2 2 2; |a||b| a1+a2+a3· b1+b2+b3 (8)若 a⊥b,则 a· 1b1+a2b2+a3b3=0. b=a

第三章

3.1

第5课时

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2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), 则 → (1)AB=

(a2-a1,b2-b1,c2-c1).
?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2 .

→ (2)dAB=|AB|=

第三章

3.1

第5课时

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重点难点展示

第三章

3.1

第5课时

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重点:空间向量的坐标运算,空间向量平行和垂直、夹角、 长度的坐标计算公式. 难点:空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹角、向 量长度的坐标计算公式.

第三章

3.1

第5课时

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学习要点点拨

第三章

3.1

第5课时

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1.设{i,j,k}为单位正交基底,即 i=(1,0,0),j=(0,1,0), k=(0,0,1),在此基底下,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 即 a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,根据向量线性运数与数 量积运算的定义及运算律,可得出 a± b,λa,a· b,a⊥b,a∥b, |a|及 cos〈a,b〉的坐标表示.

第三章

3.1

第5课时

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将 i,j,k 的起点移到同一点 O,以 i,j,k 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz,则对空间 → 任一点 P,相对于原点确定了一个向量OP,设 → OP=xi+yj+zk,则(x,y,z)也就是点 P 的坐标,即以原 点为起点的向量的坐标等于向量终点的坐标.

第三章

3.1

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设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 → → → AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量 的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 注意:向量的坐标与点的坐标表示方法不同,a=(x,y, z),A(x,y,z).

第三章

3.1

第5课时

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2.空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,牢 记运算公式是应用的关键.这些公式为我们用向量的知识解决 立体几何问题提供了有力的工具.

第三章

3.1

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3.运用空间向量解决立体几何问题,先要考察原图形是否 方便建立直角坐标系,将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量 的线性组合)用坐标表示,如果容易表示则先建系,将点用坐标 表示出来,然后,利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算 推证有关结论,利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段 长度及角,最后将计算的结果转化为几何结论;当图形中的点 不方便用坐标表示时,可直接设出向量的基底,将各条件、结 论中涉及的向量表示为基底的线性组合,再运用向量线性运算 及内积运算的规则进行推理、计算最后转化为相应几何结论.

第三章

3.1

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课堂典例讲练

第三章

3.1

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思路方法技巧

命题方向

向量运算的坐标表示

[例 1]

已知 a=(2,-1,3),b=(0,-1,2),求:

(1)a+b; (2)2a-3b; (3)a· b; (4)(a+b)· (a-b).

第三章

3.1

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[解析](1)a+b=(2,-1,3)+(0,-1,2) =(2+0,-1-1,3+2) =(2,-2,5). (2)2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0). (3)a· b=(2,-1,3)· (0,-1,2) =2×0+(-1)×(-1)+3×2=7. (4)(a+b)· (a-b)=a2-b2 =4+1+9-0-1-4=9.

第三章

3.1

第5课时

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已知向量 a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则: (1)a· (b+c)=________; (2)(a+2b)· (a-2b)=________.
[答案] 9 -38

第三章

3.1

第5课时

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[解析]

(1)b+c=(2,0,5),a· (b+c)

=(2,-3,1)· (2,0,5)=9. (2)|a|= 14,|b|= 13,(a+2b)· (a-2b) =|a|2-4|b|2=-38.

第三章

3.1

第5课时

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建模应用引路

命题方向

向量平行与垂直的坐标表示

[例 2]

设向量 a=(3,5, -4), b=(2,1,8), 计算 2a+3b,3a

-2b,a· b,并确定 λ,μ 的关系,使 a+μb 与 z 轴垂直. [分析] 前三者只需按向量坐标运算公式计算即可, 而确

定 λ, 的关系, λa+μb 与 z 轴垂直, μ 使 只要将(λa+μb)· (0,0,1) =0 转化为 λ,μ 的关系即可.

第三章

3.1

第5课时

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[解析]

2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16).

3a-2b=3(3,5,-4)-2( 2,1,8)=(5,13,-28). a· b=(3,5,-4) · (2,1,8)=-21. 由(λa+μb)· (0,0,1)=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)· (0,0,1)= -4λ+8μ=0 知 λ=2μ,只要 λ,μ 满足 λ=2μ 即可使 λa+μb 与 z 轴垂直.

第三章

3.1

第5课时

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[点评]

由本例的求解可知,要使一向量 a=(x1,x2,x3)

与 z 轴垂直,只要 x3=0 即可,事实上,要使向量 a 与哪一个 坐标轴垂直,只要向量 a 的相应坐标为零即可,且反之亦真.

第三章

3.1

第5课时

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设 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),若(ka+b)∥(a-3b),求 k. [分析] 由向量线性运算的坐标表示可求出 ka+b,a-

3b,再由向量共线的坐标表示可求出 k.
1 -3

[答案]

第三章

3.1

第5课时

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[解析] -16).

ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(7,-4,

因为(ka+b)∥(a-3b), k-2 5k+3 -k+5 1 所以 7 = = ,解得 k=-3. -4 -16

第三章

3.1

第5课时

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探索延拓创新

命题方向

向量的夹角与长度

[例 3]

在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F

1 分别是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG=4CD,H 为 C1G 的中点,应用空间向量方法求解下列问题. (1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦值.

第三章

3.1

第5课时

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[分析]

根据正方体的特殊性,可考虑建立空间直角坐标

系,写出相关点及向量的坐标,应用数量积、夹角公式即可.

第三章

3.1

第5课时

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[解析]

如上图所示,建立空间直角坐标系 D-xyz,则有

1 1 1 E(0,0, )、F( , ,0)、C(0,1,0)、C1(0,1,1)、B1(1,1,1,)、G(0, 2 2 2 3 4,0). 1 1 1 1 → 1 1 (1)EF=( , ,0)-(0,0, )=( , ,- ), 2 2 2 2 2 2 → B1C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1).

第三章

3.1

第5课时

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1 1 → → 1 → → ∴EF· 1C=2×(-1)+2×0+(-2)×(-1)=0, B ∴EF⊥B1C 即 EF⊥B1C. 3 1 → (2)∵C1G=(0,4,0)-(0,1,1)=(0,-4,-1). 17 → ∴|C1G|= 4 . 1 1 1 3 → 3 → → 1 又EF· 1G= ×0+ ×(- )+(- )×(-1)= ,|EF|= , C 2 2 4 2 8 2

第三章

3.1

第5课时

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→ → EF· 1G C 51 → → ∴cos<EF,C1G>= = . → → 17 |EF|· 1G| |C 51 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 . 17

第三章

3.1

第5课时

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[点评]

应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题,使

复杂的线面关系的论证、角、距离的计算得以简化.

第三章

3.1

第5课时

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在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 A1D1、BB1 的中点,则∠EAF=________,EF=________.

[答案]

2 arccos5

6 2

第三章

3.1

第5课时

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[解析]

以 A 为原点 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z

轴建立直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 E
? ? 1 ?0, ,1? 2 ? ?

,F

? 1? ?1,0, ? 2? ?

? ? 1 → → , ∴ AE = ?0,2,1? , AF = ? ?

? 1? → ? 1 1? ?1,0, ?,EF=?1,- ,- ?, 2? 2 2? ? ?

1 → → 2 AE· AF 2 → → ∴cos〈AE,AF〉= → → = = , 5 5 5 |AE||AF| · 2 2 2 6 → ∴∠EAF=arccos5,EF=|EF|= 2 .
第三章 3.1 第5课时

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名师辨误作答
[例 4] 已知四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面

ABCD 为菱形,∠ABC=60° ,AB=2PA,E 是线段 BC 中点. (1)判断 PE 与 AD 关系; (2)在线段 PD 上是否存在一点 F,使得 CF∥平面 PAE, , 并给出证明.

第三章

3.1

第5课时

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[错解]

(1)取 A 为坐标原点,AB,AC,AP 所在直线分别

为 x、 z 轴建立空间直角坐标系, PA=1, P(0,0,1), y、 设 则 B(2,0,0), O(0,2,0),C(2,2,0),E(2,1,0), → → ∴PE=(2,1,-1),AD=(0,2,0), → → ∴PE· =2≠0, AD ∴PE 与 AD 不垂直.

第三章

3.1

第5课时

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→ → (2)设PF=λPC=(0,2λ,-λ) → → → 则CF=PF-PC=(-2,2λ-2,1-λ). → → 又AP=(0,0,1),AE=(2,1,0). → → → 设CF=mAP+nAE则 ?2n=-2 ? ?n=2λ-2 ?m=1-λ ? 1 ? ?m=2 ? ∴?n=-1 ? 1 ?λ= ? 2

.

第三章

3.1

第5课时

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→ 1→ → → → → 即CF=2AP-AE,∴CF,AP,AE共面, ∴CF∥平面 PAE,∴存在点 F 为 PD 中点,使 CF∥平面 PAE. [辨析] 首先应建立适当的空间直角坐标系,其次用向量

表示形式验证求解.

第三章

3.1

第5课时

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[正解] 的中点,

∵四边形 ABCD 是∠ABC=60° 的菱形, 为边 BC E

∴AE⊥BC,∴AE⊥AD,又 PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥AE,PA⊥AD,以 AE、AD、AP 分别为 x、y、z 轴 建立坐标系如图,设 AB=2,

第三章

3.1

第5课时

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由 B( 3, -1,0), 3, E( 0,0), 3, C( 1,0), D(0,2,0), P(0,0,1). → → (1)PE=( 3,0,-1),AD=(0,2,0), → → PE· =0,∴PE⊥AD. AD → (2)假设线段 PD 存在一点 F, 使直线 CF∥平面 PAE, 则CF ⊥面 PAD, → → ∴CF⊥AD,

第三章

3.1

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→ → → → → 设PF=λPD=(0,2λ,-λ)(0≤λ≤1),则CF=PF-PC=(- 3,2λ-1,-λ+1), → → 则CF· =(- 3,2λ-1,-λ+1)· AD (0,2,0)=4λ-2=0, 1 解得 λ= ,所以当 F 为线段 PD 的中点时, 2 直线 CF∥平面 PAE.

第三章

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方法规律总结

第三章

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1.用坐标表示的向量的加减、数乘、数量积运算,只需 按相应的运算法则进行即可,与平面向量基本一致. 2.向量平行与垂直的坐标表示是重要知识点,应熟练掌 握.含参数的向量平行,应用比例式求参数值时,要注意其前 提条件. → 3.向量AB的坐标等于终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标.

第三章

3.1

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4.用坐标运算解决几何问题时,先建系,确定相关点的 坐标,找出题设条件与结论对应的向量,再依据相关关系进行 运算,最后翻译为几何关系得出结论. 5.已知两向量夹角为锐角或钝角,求参数取值范围时, 要注意共线的情形.

第三章

3.1

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课堂巩固训练

第三章

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一、选择题 → → 1.设 M(5,-1,2),A(4,2,-1),若OM=AB,则点 B 应 为( ) A.(-1,3,-3) C.(1,-3,3) B.(9,1,1) D.(-9,-1,-1)

[答案] B

第三章

3.1

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[解析]

→ → → → ∵OM=AB=OB-OA,

→ → → ∴OB=OM+OA=(9,1,1).故选 B.

第三章

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二、填空题 2.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n -3,9)三点共线,则 m+n=________.
[答案] 0

第三章

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[解析]

→ → 因为AB=(m-1,1,m-2n-3),AC=(2,-2,6),

m-1 m-2n-3 1 → → 由题意得AB∥AC,则 = = ,所以 m=0,n 2 6 -2 =0,m+n=0.

第三章

3.1

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3.已知 a=(2,-3,0),b=(k,0,3),<a,b>=120° ,则 k =________.

[答案]

- 39

第三章

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[解析]

∵a· b=2k,|a|= 13,|b|= k2+9,

2k ∴cos120° = , 2 13× k +9 ∴k=- 39.

第三章

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三、解答题 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 D1D 的中点,P、 Q 分别为线段 B1D1、BD 上的点,且 3B1P=D1P,BD=4DQ, 求证:PQ⊥AE.

第三章

3.1

第5课时

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[证明]

→ → → 如上图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1的方向

分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方 1 1 1 3 3 体棱长为 1,则 A(1,0,0)、E(0,0, ),Q( , ,0)、P( , ,1), 2 4 4 4 4 1 → 1 1 → ∴AE=(-1,0,2),QP=(2,2,1). 1 1 1 → → ∵AE· =(-1,0,2)·2,2,1)=0, QP ( → → ∴AE⊥QP,即 AE⊥PQ.

第三章

3.1

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课后强化作业(点此链接)

第三章

3.1

第5课时


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