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2011高一数学下学期期末试卷答案


2011学年度下学期期末考试高一数学参考答案
一、选择题: (本大题共12个小题;每小题5分,共60分。 ) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 D 6 A 7 B 8 D 9 B 10 A 11 A 12 C

二、填空题: (本大题共4小题,每小题4分,共16分。 ) 2 3n + 9n 13.1 14. 15.②、③、④ 16. v = 100 2 三、解答题: (本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )
17. (本题满分12分) 解:当 a=0时,不等式的解集为 { x x > 1} ; ..................................................... 2分
1 1 )(x-1)<0;当 a<0时,原不等式等价于(x- )(x-1)>0 a a 1? ? 不等式的解集为 ? x x > 1或x < ? ; ............................................................ 6分 a? ? 1 1? ? 当0<a<1时,1< ,不等式的解集为 ? x 1 < x < ? ; .......................... 8分 a? a ?

当 a≠0时,a(x-

当 a>1时,

1 ? 1 ? <1,不等式的解集为 ? x < x < 1? ; ............................... 10分 a ? a ?

当 a=1时,不等式的解为 φ...................................................................... 12分
18. (本题满分12分)

解:⑴它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥
P(Q,R,S) C .................................................................................. 6分 B

D A

1 ⑵由题意,PD⊥平面 ABCD,则 VP ? ABCD = × 6 × 6 × 6 = 72 , 3 V ABCD ? A1B1C1D1 = 6 × 6 × 6 = 216 ,

∴需要3个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体 ABCD—A1B1C1D1
..................................................................................................................... 12分 C 19. (本题满分12分)
D

证明:⑴由多面体 AEDBFC 的三视图知, 三棱柱 AED—BFC 中 底面 DAE 是等腰直角三角形,
DA=AE=2,DA⊥平面 ABEF,
高一数学参考答案第1页(共3页) A

H E M B N F

侧面 ABFE,ABCD 都是边长为2的正方形. ..................................... 1分 连结 EB,则 M 是 EB 的中点,在△EBC 中,MN∥EC, 且 EC ? 平面 CDEF,MN ? 平面 CDEF, ∴MN∥平面 CDEF. ........................................................................... 4分 ⑵因为 DA⊥平面 ABEF,EF ? 平面 ABEF, ∴EF⊥AD,又 EF⊥AE,所以,EF⊥平面 ADE, ∴四边形 CDEF 是矩形,且侧面 CDEF⊥平面 DAE 取 DE 的中点 H,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴ AH = 2 , 且 AH⊥平面 CDEF.所以多面体 A—CDEF 的体积 1 1 8 V = SCDEF ? AH = DE ? EF ? AH = .............................................. 8分 3 3 3 ⑶∵DA⊥平面 ABEF,DA∥BC, ∴BC⊥平面 ABEF,∴BC⊥AF, ∵面 ABFE 是正方形,∴EB⊥AF, ∴AF⊥面 BCE,∴CE⊥AF. ............................................................. 12分
20. (本题满分12分) 1 1 解:⑴ f (1) = a = ,∴ f ( x) = ( ) x .................................................................... 1分 3 3 1 2 a1 = f (1) ? c = ? c , a2 = [ f (2) ? c] ? [ f (1) ? c] = ? , 9 3 2 a3 = [ f (3) ? c] ? [ f (2) ? c] = ? . 27 4 2 a2 81 = ? 2 = 1 ? c ,所以 c=1; 又数列{an}成等比数列, a1 = = a3 ? 2 3 3 27 a 1 2 1 1 又公比 q = 2 = ,所以 an = ? ( ) n ?1 = ?2( ) n n ∈ N * .................. 4分 a1 3 3 3 3

S n ? S n ?1 = ( S n ? S n ?1 )( S n + S n?1 ) = S n + S n?1 (n ≥ 2)
又 bn>0, S n >0,∴ S n ? S n ?1 = 1 ; 数列 { S n } 构成一个首相为1公差为1的等差数列, S n = 1 + (n ? 1) × 1 = n ,
Sn=n2,当 n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;

∴bn=2n-1(n∈N*) .................................................................................. 8分

(2)Tn
=

=

1 1 1 1 + + +?+ b1b2 b2 b3 b3b4 bn bn+1

1 1 1 1 + + +?+ 1× 3 3 × 5 5 × 7 (2n ? 1) × (2n + 1)

高一数学参考答案第2页(共3页)



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 n ? 1 2n + 1

1 1 n = (1 ? )= 2 2n + 1 2n + 1 n 1000 由 Tn = > 得 n>90 2n + 1 2011 1000 满足 Tn > 的最小正整数为91 ........................................................... 12分 2011 21. (本题满分12分) | DN | | DC | 3x ............. 2分 解:⑴设 AN 的长为 x 米(x>2),∵ = ,∴|AM|= | AN | | AM | x?2

∴ S AMPN =|AN|?|AM|=

3x 2 3x 2 ,由 S AMPN >32得 >32, x?2 x?2

∵x>2,∴3x2-32x+64>0,即(3x-8)(x-8)>0 8 8 ∴ 2 < x < 或 x>8,即 AN 长的取值范围是 (2, ) ∪ (8, + ∞) ............ 6分 3 3 2 2 3x 3( x ? 2) + 12( x ? 2) + 12 12 ⑵y= = = 3( x ? 2) + + 12 x?2 x?2 x?2
≥ 2 3( x ? 2) ? 12 + 12 = 24 ..................................................................... 10分 x?2

12 3x 2 ,即 x=4时,y= 取得最小值. x?2 x?2 即 S AMPN 取得最小值24(平方米) .............................................................. 12分

当且仅当 3( x ? 2) =

22. (本题满分14分)

解:⑴用直尺度量折后的 AB 长,若 AB=4cm,则二面角 A-CD-B 是直二面角 ∵△ABC 是等腰直角三角形,∴AD=DB= 2 2 又∵AD⊥DC,BD⊥DC,∴∠ADC 为二面角 A-CD-B 的平面角 ....... 4分 ⑵取△ABC 的中心 P,连 DP,则 DP 满足条件 ∵△ABC 此时为正三角形,且 AD=DB=DC ∵三棱锥 D-ABC 是正三棱锥,由 P 为△ABC 的中心知 DP⊥面 ABC ∴DP 与平面 ABC 内任意一条直线垂直 ................................................. 8分 (3)当小球半径最大时,此时小球与三棱锥的四个面都相切 设该小球的球心为 O,半径为 r,连结 OA,OB,OC,OD 三棱锥被分成了四个小三棱锥,且每个小三棱锥中有一个面上的高都为 r 故有 V A ? BCD = VO ? BCD + VO ? ADC + VO ? ABD + VO ? ABC 代入得即小球的半径最大 值为
3 2? 6 ........................................................................................... 14分 3

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