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自主招生数学讲义


自主招生数学讲义分配
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 内容 数列递推公式,求数列通项 数列求和 数学归纳法 杂数列 三角恒等变换 三角不等式 抽象函数 函数与方程 函数图像 向量综合 直线与圆 圆锥曲线 参数方程、极坐标 立体几何 复数综合 组合杂题 负责人 邵宏宏 邵宏宏 孙雁 季风 孙雁 王敏杰 倪国红 张宇 张宇

倪国红 黄润育 周延军 周延军 季风 黄润育 王敏杰

说明: 1. 建议大家参考发给大家的自主招生试题集,主要是复旦、交大等的试题, 挑选相应内容的中等或中等偏上试题; 2. 讲义格式,试题数量参考发给大家的讲义范例; 3. 时间上要求在国庆后交初稿

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大学自主招生数学简明讲义
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 递推数列求通项................................................................................. 3 数列求和 ............................................................................................ 8 数学归纳法....................................................................................... 11 数列杂题 .......................................................................................... 16 三角恒等变换................................................................................... 19 三角不等式....................................................................................... 24 函数性质 .......................................................................................... 29 函数与方程....................................................................................... 32 函数性质 .......................................................................................... 35 向量综合 .......................................................................................... 45

第十一讲 直线与圆 ............................................................................................ 45 第十二讲 圆锥曲线 ............................................................................................ 57 第十三讲 参数方程、极坐标............................................................................. 57 第十四讲 立体几何 ............................................................................................ 57 第十五讲 复数综合 ............................................................................................ 63 第十六讲 组合杂题 ............................................................................................ 63

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第一讲
一、公式法

递推数列求通项

例 1、 已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求

?a n? 的通项公式?
反思:利用相关数列 ?a n ? 与 ?Sn ? 的关系: a1 ? S1 , an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 与 提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键. 二、归纳猜想法:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利 用数学归纳法证明其正确性,这种方法叫归纳法. 例 2、 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?a n ? 的通 项公式. 【 解 析 】: ? a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) , ? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 ,

a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 ????
猜测 an ? 2n ? 1 (n ? N ) ,再用数学归纳法证明.(略)
*

反思:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,再就是一定 要用数学归纳法证明其正确性. 三 、累加法:利用 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ????(an ? an?1 ) 求通项公式的方法称为 累加法。累加法是求型如 an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法 ( f ( n) 可求前 n 项和).

?1? 例 3 、已知无穷数列 ?a n ? 的的通项公式是 an ? ? ? ,若数列 ?bn ? 满足 ?2?

n

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?1? b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? ? ? (n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的通项公式. ?2?
反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? an ? f (n) 。 四 、累乘法:利用恒等式 an ? a1

n

a a2 a3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通项公式的方 a1 a2 an?1

法称为累乘法,累乘法是求型如: an?1 ? g (n)a n 的递推数列通项公式的基本方 法(数列 g (n) 可求前 n 项积)。

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? g (n)a n .

五、构造新数列(待定系数法): 将递推公式 an+1 ? qan ? d ( q, d 为常数,

q ? 0 , d ? 0 ) 通 过 (an?1 ? x )? q a 与原递推公式恒等变成 (n ? x )

an?1 ?

d d ? q(an ? ) 的方法叫构造新数列,也即是待定系数法。 q ?1 q ?1

例 5、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式. 反思:构造新数列的实质是通过 (an?1 ? x) ? q(an ? x) 来构造一个我们所熟知 的等差或等比数列.

六 、 倒 数 变 换 : 将 递 推 数 列 an ?1 ?

can (c ? 0, d ? 0) , 取 倒 数 变 成 an ? d

1 d 1 1 ? ? 的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况,此时 an ?1 c an c
将数列 ?

?1? ? 看成一个新的数列,即再利用“构造新数列”的方法求解。 ? an ?
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例 6、 已知数列 ?an ? (n ? N * ) 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

an ,求数列 ?an ? 的通项 2an ? 1

公式. 反思:倒数变换有两个要点需要注意 :一是取倒数.二是一定要注意新数列的首 项,公差或公比变化了。 七、特征根法:形如递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 对 于 由 递 推 公 式 an?2 ? pan?1 ? qan , 有 a1 ? ? , a2 ? ? 给 出 的 数 列

?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。
若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,
n?1 n?1 当 x1 ? x 2 时 , 数 列 ?an ? 的 通 项 为 an ? Ax1 ,其中 A,B 由 ? Bx2 n?1 n?1 (即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , 代入 an ? Ax1 , a1 ? ? , a2 ? ? 决定 ? Bx2

得到关于 A、B 的方程组) ;
n?1 当 x1 ? x 2 时 , 数 列 ?an ? 的 通 项 为 an ? ( A ? Bn) x1 ,其中 A,B 由

a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,
得到关于 A、B 的方程组) 。 例 7: 数列 ?an ? 满足 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b , 求 an 反思:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 A,B 的 用已知量 a,b 表示的值,从而可得数列 {a n } 的通项公式。 八、不动点法

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若 A,B ? I、若 ?

0 且 AD-BC ? 0 ,解 x ?
??
,数列 {

Ax ? D ,设 ? , ? 为其两根 Cx ? D

a a

?? n

n

??

} 是等比数列;

II、若 ?

??

,数列 {

1 } 是等差数列。 an ? ?

例 8 、 已 知 数 列 {a n } 满 足 a n ?1 ?

7a n ? 2 ,a 1 ? 2 , 求 数 列 2a n ? 3

{a n } 的通项公式。
反思:本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) ?

3x ? 1 的不动点,即方程 4x ? 7

1 1 2 7x ? 2 ? ? x? 的根 x ? 1 ,进而可推出 a n ?1 ? 1 a n ? 1 5 ,从 2x ? 3

{ 而可知数列

1 1 } 为等差数列,再求出数列 { } an ?1 a n ? 1 的通项公式,最

后求出数列 {a n } 的通项公式。 九、换元法 即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示,从而使递推数 列看起来更简单,更易找到解决的方法。



9











{a n }





a n ?1 ?

1 (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ),a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的 16

通项公式。 反思:本题解题的关键是通过将

1 ? 24a n

的换元为 b n ,使得所给递推

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关系式转化 b n ?1

?

1 3 b n ? 形式,从而可知数列 {b n ? 3} 为等比数 2 2

列,进而求出数列 {b n 公式。

? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {a n } 的通项

r 十、取对数法: 形如 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用构造新 数列(待定系数法)求解。 例 10 : 已 知 数 列 { an } 中 , a1 ? 1, a n ?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) , 求 数 列 a

?an ?的通项公式 .。
十一、周期型: 由已知递推式计算出前几项,寻找周期。此题型一般是在不 能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法,具有一定的探索性,虽然 比较简单,但也是一种很重要的数学思想,需要好好掌握。

例 11:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

为___________。 反思:此题的关键在于观察递推数列的形式,取一些特定的 n 的值,求出数 列的前几项的值,从而找到其周期,这样问题就迎刃而解了。

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第二讲 1. 公式法
等差数列前 n 项和:

数列求和

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

特别的,当前 n 项的个数为奇数时, S2k ?1 ? (2k ? 1)? ak ?1 ,即前 n 项和为中 间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前 n 项和: q=1 时, Sn ? na1

q ? 1,Sn ?
其他公式: 1、 S n ?

a1 1 ? q n 1? q

?

? ,特别要注意对公比的讨论。

n 1 1 2 、 k ? n ( n ? 1 ) S ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? ? n 2 6 k ?1 k ?1 n

n

3、 S n ?

?k
k ?1

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

[例 1] 已知 log3 x ?

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要 用于求数列{an· 数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n?1

bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比

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[例 4] 求数列 练习:

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

求:Sn=1+5x+9x2+· · · · · · +(4n-3)xn-1

3. 反序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来 排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

4. 分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆 开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 练习:求数列 1 1 , 2 1 ,3 1 ,?,(n ? 1n ),? 的前 n 项和。
2 4 8 2

5. 裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列 中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和 的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(3) a n ?

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(4) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(5) an ? (6)

an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

[例 9] 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

[例 10] 在数列{an}中, an ? 求数列{bn}的前 n 项的和. [例 11] 求证: 练习:求

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? , n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?

1 3, 1 1 5, 1 3 5, 1 63 之和。

6. 合并法求和
针对一些特殊的数列, 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质, 因此, 在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179° ∵ cosn ? ? cos( 180 ? n )
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°) +· · ·+(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0 [例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.
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在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 中 , 若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ??? ? log3 a10 的值. [ 例 14] 以上一个 6 种方法虽然各有其特点,但总的原则是要善于改变原 数列的形式结构,使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的 求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决,只要很好地把握这一规 律,就能使数列求和化难为易,迎刃而解。

第三讲
【基础知识】

数学归纳法

1. 数学归纳法可以证明与正整数 n 有关的命题, 可以是数列通项, 数列求和, 也可以是不等式证明,整除问题等.自主招生中不等式的证明较常见. 2. 数学归纳法证明的格式特别要注意,第一步对初始值的验证必须做,第二 步假设 n=k 时命题成立, 证明 n=k+1 时命题也成立. 第二步的证明需要用 到归纳假设,还需要从题设中利用递推关系从 n=k 得到 n=k+1 时的表达 式.两个步骤都非常重要. 3. 数学归纳法的关键在与如何得到一个普遍适用的递推关系, 如何从 n=k 证 明 n=k+1 时命题仍成立,有时候归纳的技巧比较高.

【典型例题】
例题 1: 设斐波那契数列 f1 ? f2 ? 1, fn?1 ? fn ? f n?1 (n ? 2, n ? N * ) , 求证:f 4 n 是 5 的倍数. 【分析】 :这是整除问题,关键是如何利用归纳假设. n ? k 到 n ? k ? 1 ,其 实质是将 f 4 k ? 4 表示成 f 4 k 和另外 5 的倍数的形式,利用递推公式可得.

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例题 2:设正数数列{ an }的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 出并证明数列{ an }的通项公式.

1 1 (a n ? ) ,试猜想 2 an

【分析】 :数学归纳法在数列中求通项、求和时是基本的方法之一.猜测、归 纳、证明,完整的解答需要这三个方面. 【解答】 :n=1 时, a1 ? S1 ?

1 1 (a1 ? ) ,所以 a1 ? 1 ; 2 a1

n=2 时, S 2 ? a1 ? a 2 ? (负值已舍) ;

1 1 2 (a 2 ? ) ,所以 a2 ? 2a2 ? 1 ? 0 , a2 ? 2 ? 1 2 a2

n=3 时 , S 3 ? a1 ? a 2 ? a3 ?

1 1 2 (a3 ? ) , 所 以 a3 ? 2 2a3 ? 1 ? 0 , 2 a3

a3 ? 3 ? 2 .
猜想 an ?

n ? n ? 1 ,下面用数学归纳法证明.

(1)当 n=1,2,3 时命题已证. (2)假设 n=k 时,有 ak ?

k ? k ? 1 成立.则当 n=k+1 时,

ak ?1 ? S k ?1 ? S k ,即
1 1 1 1 ak ?1 ? (ak ?1 ? ) ? (ak ? ) 2 ak ?1 2 ak
1 1 1 1 1 1 ? (ak ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) ? (ak ?1 ? )? k , 2 ak ?1 2 2 a k ? k ?1 k ?1
2 所以 ak ?1 ? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 ,所以 ak ?1 ?

k ? 1 ? k ,猜想也成立.

综上得,对一切 n ? N , an ?

n ? n ? 1 总成立.

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例题 3:证明: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? (n ? 2, n ? N * ) 2 2 3 n n

【分析】 :这是数学归纳法证明不等式,利用归纳假设和不等式证明的基本方 法是关键.不等式证明的常用方法有比较法,放缩法,公式法,分析法,综 合法,反证法等. 【证明】 :①当 n ? 2 时,左边 ?

5 1 ? 2 ? ? 右边,即不等式成立; 4 2 1 1 1 1 ②假设 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 3 k k
n ? k ?1
左 边

则 =1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ? 2? ? ? 2? ? ? 2? 2 2 2 2 3 k (k ? 1) k (k ? 1) k k (k ? 1) k ?1

故, n ? k ? 1 时不等式也成立. 由①、②知,原不等式成立.

例题 4:证明不等式 ( ) ?n!?( ) ,当自然数 n≥6 时成立. 【分析】 :由于是两个不等式,证明时要注意归纳假设也是两个不等式. 【证明】 :①当 n ? 6 时,不等式变形为 ( ) ? 729 ? 6! ? 120 ? ( ) ? 64 ,
6 6

nn 2

nn 3

6 2

6 3

显然成立;

k k k k 2 3 k ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 ) ? (k ? 1)! ? ( ) ; 则 n ? k ? 1 时要证 ( 2 3 k k 根据归纳假设, (k ? 1)! ? (k ? 1) ? k ! ? (k ? 1) ? ( ) ; 2 k k ? 1 k ?1 1 (k ? 1) ? ( ) k ? ( ) ? 2 ? (1 ? ) k , 2 2 k 1 k 而 f (k ) ? (1 ? ) 单 调 递 增 , 且 2 ? f (1) ? f (k ) ? e ? 3 , 故 k k ? 1 k ?1 ( ) ? k? ( 成立 1 ) ! 2
②假设 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 ( ) ? k ! ? ( )
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k k 3 k k ? 1 k ?1 1 (k ? 1) ? ( ) k ? ( ) ? 3 ? (1 ? ) k 也成立 3 3 k k ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 ) ? (k ? 1)! ? ( ) 也成立. 故 n ? k ? 1 时不等式 ( 2 3
同理, (k ? 1)! ? (k ? 1) ? k ! ? (k ? 1) ? ( ) , 由①、②知,原不等式成立.

例题 5:对于任意 n 均为非负实数,且 x ? N ,xx ,2 , ? x x ? ?x 1 n 1? 2? n? , 试用数学归纳法证明: ( 1 ? x ) ( 1 ? x ) ? ( 1 ? x ) ? 成立. 1 2 n 【分析】 :如何利用已知条件中的关于 n 的表达式,是归纳假设的关键.

1 2

1 2

1 1 1 ? 1 ? x1 ? ; 当 n ? 2 时,x1 ? x2 ? , 2 2 2 1 1 又 x1 , x2 为正数,故 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ? x1 x2 ? ,不等 2 2
证明: ①显然,n ? 1 时,x1 ? 式成立; ②假设当 n ? k 时,不等式成立,即正数 x1 , x2 , x3 ,? xk , 若 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk ?

1 1 ,则 (1 ? x1 )(1 ? x2 )(1 ? x3 ) ? (1 ? xk ) ? . 2 2

于是,当 n ? k ? 1 时,正数 x1 , x2 , x3 ,?, xk , xk ?1

1 ,根据归纳假设, 2 1 有 (1 ? x1 )(1 ? x2 )(1 ? x3 )? (1 ? xk ? xk ?1 ) ? 成立. 2
有 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk ? xk ?1 ? 故只需证明 (1 ? xk )(1 ? xk ?1 ) ? 1 ? xk ? xk ?1 成立即可. 显然, (1 ? xk )(1 ? xk ?1 ) ? (1 ? xk ? xk ?1 ) ? xk xk ?1 ? 0 成立,故 n ? k ? 1 时 不等式也成立. 综合①、②得,原命题成立.

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? n ? 例题 6:已知对任意 n ? N ,有 an ? 0 ,且 ? a ? ? ? ai ? ,求证: an ? n i ?1 ? i ?1 ?
*

n

2

3 i

【分析】 :本题归纳假设时稍有不同,需假设之前的都成立
3 【证明】 :①当 n ? 1 时, a1 ? a12 ,又 an ? 0 ,故 a1 ? 1 ;

②假设 n ? k (k ? 1) 时均有 ak ? k ,则 n ? k ? 1 时
k ? k ? ? k ?1 ? 3 3 3 3 a ? a ? a ? a ? a ? ? ? i i k ?1 k ?1 ?? i ? ? ? ai ? i ?1 i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? k ?1 k ? k ? ? k ? 2 ? ? ? ai ? ak ?1 ? ? ? ? ai ? ? 2ak ?1 ? ai ? ak ?1 i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ?
k

2

2

2

2

3 即 ak ?1 ? 2ak ?1

?a ? a
i ?1 i

2 ,又 k ?1

an ? 0 及归纳假设得 ? ai ?
i ?1

k

k (k ? 1) 2

2 得 ak , 即 n ? k ? 1 时也有 ak ?1 ? k ? 1成立. ?1 ? ak ?1 ? k (k ? 1) ? 0 ? ak ?1 ? k +1

由①、②知,原命题成立.

【巩固练习】
1.若其中 n 为非负整数,求证: 11
n?2

? 12n ?1 是 133 的倍数.
1 2

n ?1 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) ,猜测并证

明 ?an ? 的通项公式. 3.证明不等式: 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 n , ?n ? N* ?

4.已知数列{an}, an ?

n 1 1 (n∈ N*),求证: ? ak ? 2(1 ? ) (n ? 1) n n ?1 k ?1

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5.设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1)

?n ? N ? ,
*

证明不等式
6. 求证:

n(n+1) (n+1)2 对所有的正整数 n 都成立. < an < 2 2

3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? n ? 1 , ?n ? N* ? 2 4 6 2n x ? x2 ? ? ? xn n ? x1 x2 ? xn 7.已知正数 x1 , x2 , x3 ,? xn ,求证: 1 n

第四讲
【典型例题】
例题 1:在 ?an ? 中, a1 ? 4 , an ? ①求证: an ? 3 ?

数列杂题

an?1 ? 6 ,

1 an ?1 ? 3 ②求 lim an 。 n ?? 3

例题 2:口袋中有 4 个白球,2 个黄球,一次摸 2 个球,摸到的白球均退回口 袋,保留黄球,到第 n 次两个黄球都被摸出,即第 n ? 1 次时所摸出的只能是 白球,则令这种情况的发生概率是 P n ,求 P 2, P 3, P n。

例题 3: 数列 ?an ?满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , 则 ?an ?的前 60 项和为_______。

例题 4:设 (1 ? 2) ? xn ? yn 2 ,其中 xn,yn 为整数,求 n→∞时,
n

xn 的极 yn

限.

例题 5:数列 {an } 满足条件: a1 ? 1 , an ? 1 ?

1 (n ? 2) an ?1

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试证明:(1) 1 ? an ? 2 (n ? N );(2)
*

1 an?1 ? an 1 ? ? (n ? 2) 3 an ? an?1 2

【巩固练习】
1.下列正确的不等式是______。 A.16<

? ?

120 k ?1

1 k 1 k

<17;

B.18<

? ?

120 k ?1

1 k 1 k

<19;

120 k ?1

120 k ?1

C.20<

<21;

D.22<

<23.

? 2 . 设 函 数 f ( x)? 2 x

co, x s {an } 是 公 差 为
2

?
8

的等差数列, ) D、

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a3 ? (
A、 0 B、

1 2 ? 16

C、 ?

1 8

2

13 2 ? 16

3. 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n ! ? 4 . 在 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , a5 ?

.\

1 , a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足 2

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值为
5.已知函数 f1(x) ?

2x ?1 () x ? f ( f () x ) ,对于 n? ,定义 f ,若 1 ,2 ,? n ? 1 1 n x ?1


f ( x )? f ( x ),则 f28(x) ? 3 5 5

xn ? [
6.设 a 为正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [ 下列命题: ① 当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2;

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有

② 对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ;
第 17 页 共 68 页

③ 当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④ 对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 7. 数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos 8.设函数 f ( x) ?

n? ? 1, 前 n 项和为 Sn , 则 S 2012 ? ____。 2

x ,则 S ? 1 ? 2 f ( x) ? 3 f 2 ( x) ? ? ? nf n?1 ( x) ? x

9 .已知数列 ? a n ? 、 ?b n ? 满足 a ,且 b ,又 ? a 2 b 6 a 6 b n ? 1? n? n n ? 1? n? n

a1 ? 2 , b1 ? 4 ,求 (1) a n , b n ;

(2) lim

an . bn

10.设 M ? {3, 4} 为部分正整数组成的集合,数列 ? a n ? 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项 和 为 Sn , 已 知 对 任 意 整 数 k ? M , 当 整 数 n ? k 时 ,

Sn? k? S? n ?k2 ( S ?

n

都成立,求 S ) k an

11.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ? 3an?1 ,求证, an ? 4m ? 3 (m 是非负整 数) 12. 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N )
2 *

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。 13. A, B 两人轮流掷一个骰子,第一次由 A 先掷,若 A 掷到一点,下次仍由 A 掷:若 A 掷不到一点,下次换 B 掷,对 B 同样适用规则。如此依次投掷, 记第 n 次由 A 掷的概率为 An 。 (1) 求 An?1 与 An 的关系; (2)求 lim An 。
n ??

第 18 页 共 68 页

14.求证: (1 ? ) ? (1 ?
n

1 n

1 n ?1 ) (n ? N * ) n ?1

第五讲
【基础知识】

三角恒等变换

1. 三角问题主要包括三角化简求值,解三角形和三角恒等式证明.通常都要 用到三角公式,正余弦定理,三角形中相关的定理等.自主招生中对三角 变换要求较高. 2. 要熟练运用三角恒等式变换,需要熟悉半角公式、和差化积、积化和差等 公式.

tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? ; 1 ? cos ? sin ?

sin 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;
sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos ; 2 2 1 sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; 2 1 cos ? ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2

cos

? ??



3. 三角恒等变换是代数变换,选择公式前要注意观察,通常观察已知条件和 结论中代数式形的变化,观察角的变化,观察三角比名称的变化,观察代 数式次数的变化等,然后根据变化选择合适的公式.

【典型例题】
例题 1:已知 sin ? ? sin ? ?

3 4 , cos ? ? cos ? ? ,求 cos ? ? cos ? 的值. 5 5
第 19 页 共 68 页

【分析】 :已知条件平方和后可以得到 cos(? ? ? ) ,结论中用积化和差,还需 要 cos(? +? ) ,需要从条件中再用和差化积. 【解答】: sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2

3 ? , 5

cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2

cos

? ??
2

?

4 5

两式平方和得, 4 cos

2 ? ??

2 ? ?? 3 7 ? ? cos(? ? ? ) ? 两式相除得, tan 2 4 25 1 11 故 cos ? ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] ? ? . 2 100

? 2[1 ? cos(? ? ? )] ? 1 ? cos(? ? ? ) ? ?

1 , 2

例题 2:在 ?ABC 中,若 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C ,求 A 的大小. 【分析】 :解三角形通常利用正、余弦定理化为边或者角的运算. 【 解 答 】 : 利 用 正 弦 定 理 化 为 边 , 则

2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c ? a2 ? b2 ? c2 ? bc
再对照余弦定理,得 cos A ? ?

1 2? ? A? . 2 3

例题 3:试推导三角形面积公式—海伦秦九韶公式: S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,其 中p?1 2 (a ? b ? c) . 【解答】 :S ? 又 cos C ?

1 1 1 ab sin C ? ab 1 ? cos 2 C ? ab (1 ? cos C )(1 ? cos C ) 2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 (a ? b)2 ? c 2 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 1 ? cos C ? ? 2ab 2ab 2ab

c 2 ? (a ? b)2 (c ? a ? b)(c ? a ? b) 1 ? cos C ? ? 2ab 2ab
第 20 页 共 68 页

故S ? 即S ?

ab (c ? a ? b)(a ? b ? c) (c ? a ? b)(c ? a ? b) 2 2ab 2ab
p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

例题 4:化简: cos2 ? ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? cos(? ? ? ) 【分析】 : 三角比中 sin ? ,cos ? 可以看成对偶式, 利用这种关系构造对偶式求 解. 【解答】 :令 M ? cos
2

? ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? cos(? ? ? )

N ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos(? ? ? )
则 M ? N ? 2 ? 2cos (? ? ? ) ? 2sin (? ? ? )
2 2

M ? N ? cos 2? ? cos 2? ? 2cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 0
故 M ? N ? sin (? ? ? )
2

即 cos

2

? ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? cos(? ? ? ) = sin 2 (? ? ? )

实际上,也化简了

sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos(? ? ? ) = sin 2 (? ? ? )

例题 5: 设 ? , ? 为锐角, 且 sin

2

? ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ,求证:? ? ? ?

?
2

【分析】 :作为等式的证明,各种方法都要考虑,本题可以用反证法. 【解答】 :根据题意得 sin
2

? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

即 sin ? (sin ? ? cos ? ) ? sin ? (cos ? ? sin ? ) ????① 因为 ? , ? 为锐角,若 ? ? ? ?

?
2

?

?
2

?? ?

?
2

? ? ? 0 ,根据正余弦函数的

第 21 页 共 68 页

单调性,则 sin ? ? cos ? ? sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? 0

cos ? ? sin ? ? cos( ? ? ) ? sin ? ? 0 2
此时①式两边一正一负,不成立,与已知条件矛盾; 同理,若 ? ? ? ?

?

?
2

? 0?? ?

?
2

?? ?

?
2

则 sin ? ? cos ? ? sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? 0

cos ? ? sin ? ? cos( ? ? ) ? sin ? ? 0 2
此时①式两边仍然一正一负,不成立,与已知条件矛盾; 故只有 ? ? ? ?

?

?
2

例题 6:求证: sin 3? ? 4 sin ? sin(60 ? ? ) sin(60 ? ? )
0 0

【分析】 :注意观察两边的角的变化,式的变化,利用积化和差公式即可. 【证明】 : 右边= 2sin ? [cos 2? ? cos120?] ? sin 3? ? sin(?? ) ? sin ? ? sin 3? 故等式成立.

例题 7:在△ABC 中,求证:

r A B C ? 4 sin sin sin R 2 2 2

【分析】 :和差化积与积化和差公式在复杂的三角化简中很重要. 【解答】 : S=

1 1 ab sin C (a ? b ? c)r ? ab sin C ? r ? 2 2 ( a ? b ? c)

A B C A B C 8sin sin sin cos cos cos r ab sin C 2sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 ? ? ? A? B A? B C C R (a ? b ? c) sin A ? sin B ? sin C sin cos ? sin cos 2 2 2 2

第 22 页 共 68 页

A B C A B A B C A B sin sin cos cos 8sin sin sin cos cos 2 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 2 ? A? B C A? B A? B cos ? sin cos ? cos 2 2 2 2 r A B C 即等式 ? 4 sin sin sin 成立. R 2 2 2 8sin
【巩固练习】
1.△ABC 中,求证:

a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? sin C c2

2.在△ABC 中,设 a ? c ? 2b ,A-C=600,求 sinB 的值 3.化简: cos ? ? cos3? ? sin ? ? sin 3?
3 3

4.在△ABC 中,已知 tanA:tanB:tanC=1:2:3 ,求
0 0

AC AB

5.化简: cos3? ? 4 cos? cos(60 ? ? ) cos(60 ? ? ) 6.化简: tan 3? ? tan ? ? tan(60 ? ? ) ? tan(60 ? ? )
0 0

7.计算:

sin 10 ? sin 2 0 ? sin 30 ? ? ? sin 440 cos10 ? cos 2 0 ? cos30 ? ? ? cos 440

【提示解答】

第 23 页 共 68 页

第六讲
【基础知识】

三角不等式

1.三角形不等式包括三角形中的不等关系和三角函数的最值,这两个方 面在处理方法上在同小异,并互为所用,并且代数与几何的相关知识常常练 习在一起. 2.三角不等式首先是不等式,因此,不等式的有关性质和证明方法在这 里都用得上.其次它含三角函数,因此三角函数的单调性、有界性(或极值) , 正负区间,图像特征都是处理三角不等式的锐利武器. 3.三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式,无论在结构上还是在证 法上都有特别之处,需要加倍注意.熟记一些基本的不等关系.

A>B ? a >b ? sinA>sinB ;若 x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x 2

?

【典型例题】
例题 1:已知函数 f ( x) ? tan x, x ? (0, 证:

?

) ,若 x1,x2 ? (0, ) 且 x1 ? x2 ,求 2 2

?

x1 ? x2 ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ? ? ?. 2 ? 2 ?
【分析】 :这是求证正切函数的凸性,不能用图像说明,必须用代数证明.

x1 ? x2 ? 1 【证明】 : ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ? ? ?? 2 ? 2 ?

x ?x sin 1 2 1 ? sin x1 sin x2 ? 2 ? ? ?? 2 ? cos x1 cos x2 ? cos x1 ? x2 2

x1 ? x2 1 sin( x1 ? x2 ) 2 ? cos 2 x1 ? x2 ? cos x ? cos x ? ? 1 2 x ? 2 cos x1 cos x2 cos 1 x2 2 2 1 1 ? [1 ? cos( x1 ? x2 )] ? [cos( x1 ? x2 ) ? cos( x1 ? x2 )] ? 1 ? cos( x1 ? x2 ) 2 2 sin
第 24 页 共 68 页

故不等式成立

例题 2:在锐角△ ABC 中,求证:

sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C
【证明】 :因为△ ABC 是锐角三角形,故 A ? B ?

?
2

?

?
2

? A?

?
2

?B?0

所以, sin A ? sin(

?
2

? B) ? cos B ,同理有 sin B ? cos C,sin C ? cos A

于是, sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C

例题 3:若 ? ? (0,

?
2

) ,求证: sin ? ? ? ? tan ?

【分析】 :本题是经典的数形结合问题,如果利用导数,结合函数单调性也可 以解决. 【证明】 :方法一,利用单位圆 如图,单位圆与 x 轴交于点 A,角 ? 的终边与单位圆 交于点 B,OB 的延长线与过 A 的切线相交与 C,则比较 △ AOB ,扇形 AOB 及△ AOC 的面积,化简后即得到

y C B O A x

sin ? ? ? ? tan ?
方法二,利用导数,利用函数单调性 考虑 f ( x) ? tan x ? x, x ? [0,

?
2

) , f ?( x) ?

1 ?1 ? 0 , cos 2 x

即 f ( x ) 单调递增,于是 f ( x) ? f (0) ? 0 ? tan x ? x 考虑函数 g ( x) ? x ? sin x, x ? [0,

?
2

) , g ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,

即 f ( x ) 单调递增,于是 g ( x) ? g (0) ? 0 ? x ? sin x 综上得原不等式成立.
第 25 页 共 68 页

例题 4:求证: 2 sin x ? 3 sin x cos x ? 5 cos x ? 5
4 2 2 4

证明:设 A = 2 sin 4 x ? 3 sin 2 x cos2 x ? 5 cos4 x ,
B ? 2 cos4 x ? 3 cos2 x sin 2 x ? 5 sin 4 x 7 sin x ? cos x) ? 6 sin x cos x 则 A+B= (
4 4 2 2

7 sin x ? cos x) ? 8 sin x cos x =(
2 2 2 2 2

= 7 ? 2 sin 2 x ? 5 ? 2 cos 2 x
2 2

3 cos x ? sin x) ?( 3 cos x ? sin x) ? 3 cos2 x A-B= (
4 4 2 2

( [ cos 2 x ? ) ? 2A= 5 ? 2 cos 2 x ? 3 cos 2 x ? 5 ? 2
2 2

3 4

9 ] 16

3 2 9 ? 5?2 ( [ 1? ) ? ] ? 10 4 16
所以 A ? 5 ,原不等式成立.

例题 5:在△ ABC 中,求证: 1 ? cos A ? cos B ? cos C ? 【分析】 :三角化简,利用和差化积,三角函数有界性.

3 2

【证明】 : 1 ? cos A ? cos B ? cos C ? 1 ? cos A ? cos B ? cos C

? 2sin 2

? cos

B?C B ?C B C ? cos ? 0 ? sin sin 成立 2 2 2 2

A B?C B ?C B?C B?C B ?C ? 2 cos cos ? 2 cos 2 ? 2 cos cos 2 2 2 2 2 2

cos A ? cos B ? cos C ?
? 4sin 2

3 A B?C B ?C 3 ? 1 ? 2sin 2 ? 2 cos cos ? 2 2 2 2 2

A A B ?C A B ?C 2 B ?C ? 4sin cos ? 1 ? 0 ? (2sin 2 ? cos ) ? sin 2 ?0 2 2 2 2 2 2
第 26 页 共 68 页

不等式成立,并且得到等号成立时△ ABC 为等边三角形.

例题 6:设 x ? y ? z ? 大值和最小值.

?
12

,且 x ? y ? z ?

?
2

,求乘积 cos x sin y cos z 的最

【分析】 :多个变量首先设法减少变量,然后利用放缩,注意不等式等号成立 的条件. 【解答】 :根据题意, cos x sin y cos z ?

1 [sin( x ? y ) ? sin( x ? y )]cos z 2

1 1 1 ? 2? 3 ? [cos z ? sin( x ? y)]cos z ? cos 2 z ? cos 2 ? 2 2 2 12 8
等号成立时, x ? y ?

5? ? ,z ? ; 24 12

cos x sin y cos z ?

1 1 1 ? 1 cos x[sin( y ? z ) ? sin( y ? z )] ? cos 2 x ? cos 2 ? 2 2 2 3 8

等号成立时, x ?

?
3

,z ? y ?

?
12 1 2+ 3 ,最小值为 8 8

综上得, cos x sin y cos z 的最大值为

第 27 页 共 68 页

【巩固练习】
1. 求函数 y ?

1 ? sin x 的最值. 2 ? cos x
2 2 2
A C/ B/

2. 在△ ABC 中,求证: a ? b ? c ? 4 3S 3. ?ABC 的角 A、 B、 C 的角平分线, 分别与?ABC

的外接圆交于另一点 A/、B/、C/, 求证:S?ABC? S?A/B/C/
4.在△ ABC 中,求证: sin A sin B sin C ?
C A/ B

3 3 8
1 8

5.在△ ABC 中,求证: cos A cos B cos C ? 6.设 ? 为锐角,求证: (1 ? 7.对 x ? (0,

?
2

1 1 )(1 ? ) ? 3? 2 2 sin ? cos ?

) ,求证: 2 x ? sin x ? tan x

【提示解答】

第 28 页 共 68 页

第七讲
【基础知识】

函数性质

函数的性质在自主招生考试中占有相当的比例,函数的性质主要包括 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,本讲主要学习抽象函数的对称 性和周期性的知识。 一。函数的对称性(函数图像的自对称和函数图像的互对称) 1.函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) 时, 函数 y ? f ( x) 的图像关于直线

x?

a?b 对称,特别地, a ? b ? 0 时,该函数为偶函数。 2

2.函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? c 时,函数 y ? f ( x) 的图像关于

a?b c , ) 对称,特别地,当 a ? b ? 0 时,该函数为奇函数。 2 2 b?a 3.函数 y ? f (a ? x) 的图像与 y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ? 对称。 2
点( 二.函数的周期性 1.一般地,对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义 域内的每一个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 y ? f ( x) 就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 2. 对 于 非 零 常 数 A, 若 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( x? T) ? ? f ( x), 则 函 数

y ? f ( x) 必有一个周期为 2A.
3.对于非零常数 A, 函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? T ) ? ? 的一个周期为 2A. 三.函数对称性和周期性之间的联系 1.设 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数, 其图像关于直线 x ? a 和 x ? b(a ? b) 对 称,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 2(b ? a) 是它的一个周期。 2.设 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数,其图像关于点 M (a,0) 中心对称,且其
第 29 页 共 68 页

1 , 则函数 y ? f ( x) f ( x)

图像关于直 x ? b(b ? a) 对称,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 4(b ? a) 是它 的一个周期。设且 2(b ? a) 是它的一个周期。 3. 设 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 其 图 像 关 于 点 M (a, y0 ) 和

N (b, y0 )(a ? b) 对称,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 2(b ? a) 是它的一个
周期。

【典型例题】
例题 1:各结论的证明

例 题

2 : 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在

R

上 的 函 数 , 且

f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) , ( 1 )试证 f ( x ) 是周期函数; ( 2 )若

f (1) ? 2?

3,试求 f (1989)

例题 3:设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间 [0, 7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 。 (1)试判断函数 y ? f ( x) 的 奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005, 2005] 上根的个数,并 证明你的结论。

第 30 页 共 68 页

例题 4:已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (b ? 0) bx

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2) a ? 0, x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0, x1 ? x3 ? 0,| xi |?

1 (i ? 1, 2,3) ; a

(3) 如果 f ( x ) 有极小值 f min ? f (1) ? 2 , 试证明 | f n ( x) | ? | f ( xn ) |? 2n ? 2

【巩固练习】
1. 设 函 数 y ? f ( x) 对 一 切 实 数 x 均 满 足 f ( 2? x ) ? f ( 2? x ) ,且方程

f ( x ) ? 0恰有 7 个不同的实根,则这 7 个不同实根的和为__________
2. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, 2) ,则函数 g ( x) ? f ( x ? c) ? f ( x ? c) 在

0?c?

1 时的定义域为_____________ 2
B: (c, 2 ? c) C: (1 ? c, 2 ? c) D: (c, 2 ? c)

A: (1 ? c, 2 ? c)

3. 设 f ( x ) 是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数,已知当

x ? [2,3] 时, f ( x) ? ? x , 则当 x ? [?2, 0] 时, f ( x ) 的表达式为________
A: x ? 4 B: 2 ? x C: 3? | x ? 1| D: 2? | x ? 1|

4. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 并满足 f ( x ? 2) ? ? 时, f ( x) ? x ,则 f (5.5) ? __________ 5. 已知 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ?

1 , 当2 ? x ? 3 f ( x)

1 ? f ( x) ,则 f ( x ) 的最小正周期是________ 1 ? f ( x)
第 31 页 共 68 页

6. 已 知 f ( x ) 是 偶 函 数 , f ( x ? 2) 是 奇 函 数 , 且 f (0) ? 1998 , 则

f(2000 ?)

_________

第八讲
【基础知识】

函数与方程

有关函数方程的问题在数学中占有重要的地位,但函数方程没有统一的 分类和一般的解法,而且问题大都比较抽象,解决这类问题要对函数的本质 特征有较为深刻的理解,同时需要一些灵活多样的解题技巧。 1. 函 数 方 程 定 义 : 含 有 未 知 函 数 的 方 程 称 为 函 数 方 程 , 例 如

f ( x ? 2k? ) ? f ( x)(k ? Z ) f (2x ? 3) ? x2 ? x ? 1等等都是函数方程,其中 f ( x) 是未知函数。
如果一个函数 f ( x ) 对其定义域内自变量的一切值均满足所给的函数方程, 则 称 f ( x ) 为 这 个 函 数 方 程 的 解 , 例 如 f ( x) ?

1 2 19 x ? 2x ? 是 4 4
都 是

f (2x ? 3) ? x2 ? x ? 1 的 解 ,
f( ? x 2 ? k? )

f ( x) ? cos x, f ( x) ? sin x

f( ? x ) (k f Z (x ) ? 2k? ) ? f ( x) 除了这两个解外, 的解,但

还有无数个解,它们都是以 2? 为周期的周期函数,由此可见,函数方程的 解可以是一个函数,也可以是一类函数。寻求函数方程的解或证明函数方程 无解叫做解函数方程。 2. 函数方程的典型解法和技巧主要有: (1)变量代换; (2)赋值法; (3)递 归法;(4)待定系数法; (5)柯西法

【典型例题】
第 32 页 共 68 页

例 1:定义在 R 上的函数 f ( x)( x ? 1) 满足 f ( x) ? 2 f ( 则 f (2004) ? ____________(变量代换)

x ? 2002 ) ? 4015 ? x , x ?1

例 2: 已知 f (1,1) ? 1, f (m, n) ? N * (m, n ? N * ) ,且对任意 m, n ? N * 都有: ( 1)

f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ; f (m ? 1,1) ? 2 f (m,1) ,则 f (2010, 2008) 的值
为________(递归法) A: 2
2009

? 2007

B: 2

2009

? 4014

C: 2

2010

? 2007

D: 2

2010

? 4014

例 3:若函数 f ( x ) 满足对任意实数 x, y 都有 则 f (36) ? ___________(赋值法)

f ( x) f ( y ) ? f ( xy ) ? x? y ?2, 3

例 4 : 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) , 满 足 对 任 意 的 x, y ? R , 都 有

f ( x) f ( y ) ?

f ( 2 x? y 3 ?)

3f ? (x

y ?)

3f ( ? x ,则 ) 6 xf ( x) ? ________

例 5 : f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 增 , 且 对 任 意 x, y ??1, ??? , 都 有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 成立,求证:存在常数 k ,使 f ( x) ? kx 在 ?1, ?? ? 上
成立。 (柯西法)

第 33 页 共 68 页

例 6:已知 lim f ( x ) ? f (0) ? 1 , f (2 x) ? f ( x) ? x2 , 求 f ( x )
x ?0

【巩固练习】
1. 定 义 在 R 上 的 函 数

f ( x)







f ( ?x
A:2

)? y
B:3

( f?) x
C:6

( ?f

) y(1) ? 2? 2, 则 x ( f (y ?3),等于( x y )) R ,f
D:9

2. 设 f ( x ) 是 连 续 的 偶 函 数 , 且 当 x ? 0 时 f ( x ) 是 单 调 函 数 , 则 满 足

f ( x) ? f (
A: ?3 3. 已 知

x?3 ) 的所有 x 之和为___________ x?4 B: 3 C: ?8 D: 8
函 数

f ( x)











x, y





f( ? x)
A: ?49

f ( ? 2 x ? y)
B: ?1

? 5x
C: 0 6

f (10) y2 ? ,则 ( f 3? x 的值为 )? y ______ 2 x 1
D:25

4. 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 : f (1)?

1 ,4 f x ( ) f y ( ?) f ? x ( y? ) f ? ( x y )( x? ,y , R求 ) 4

f (2010)
5.设集合 M ? ?x | f ( x) ? x, x ? R? ,集合 N ? ?x | f ( f ( x)) ? x, x ? R? (1)求证: M ? N (2)当 f ( x ) 在 R 上单调递增时,是否成立 M ? N

6. 设 函 数 f ( x ) 定 义 于 闭 区 间 ?0,1? , 满 足 f (0) ? 0, f (1) ? 1 , 且 对 任 意
第 34 页 共 68 页

x, y ??0,1? ( x ? y) ,都有 f (
足 o ? a ? 1 ,求 a 的值

x? y ) ? (1 ? a 2 ) f ( x) ? a 2 f ( y ), 其中常数 a 满 2

第九讲
【基础知识】

抽象函数

【基础知识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征 的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函 数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函 数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法 (如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸 有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体 的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题 的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 正比例函数 f(x)=kx (k≠0) 幂函数 f(x)=x
n

抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或 f ( x ) ?
y f (x) f ( y)

]

指数函数 f(x)=a

x

(a>0 且 a≠1)

f(x+y)=f(x)f(y) [ 或f ( x ? y) ? f ( x )
f ( y)

对数函数 f(x)=logax

(a>0 且 a≠1)

f(xy)=f(x)+f(y) [ 或f ( x ) ? f ( x ) ? f ( y)]
y

正、余弦函数 f(x)=sinx 正切函数 f(x)=tanx 余切函数 f(x)=cotx

f(x)=cosx

f(x+T)=f(x)
f ( x ? y) ? f ( x ) ? f ( y) 1 ? f ( x )f ( y )

f ( x ? y) ?

1 ? f ( x )f ( y ) f ( x ) ? f ( y)

【典型例题】
一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

第 35 页 共 68 页

例 1、若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?? 2,2?,则函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x - 1) 的 定义域为 。 ?? 1,1?

解: f ( x) 的定义域是 ?? 2,2?,意思是凡被 f 作用的对象都在 ?? 2,2? 中。 评析: 已知 f(x)的定义域是 A, 求 f ?? ?x ?? 的定义域问题, 相当于解内函数 ? ?x ? 的不等式问题。
? 练习: 已知函数 f ( x) 的定义域是 ?? 1,2? , 求函数 f ? ? log1 ?3 ? x ?? 的定义域。 ? ? 2 ? ?

? 11? 1, ? ? 4? ?
例 2、 已知函数 f ?log3 x ? 的定义域为[3, 11], 求函数 f ( x) 的定义域



?1, log3 11?
评析: 已知函数 f ?? ?x ?? 的定义域是 A,求函数 f(x)的定义域。相当于求内 函数 ? ?x ? 的值域。
-1 练习:定义在 ?3,8? 上的函数 f ( x) 的值域为 ?? 2,2?,若它的反函数为 f ( x) ,

则y? f

?1

(2 ? 3x) 的定义域为

,值域为

。 ?0, 4 ?, ?3,8?
? ? 3? ?

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值 法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;
2 2 例 3、①对任意实数 x , y ,均满足 f ( x ? y ) ? f ( x) ? 2[ f ( y)] 且 f (1) ? 0 ,

) =_______. 则 f (2001
解析:这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手:

令x ? n, y ? 1, 得f (n ? 1) ? f (n) ? 2[ f (1)]2 ,
第 36 页 共 68 页

令x ? 0, y ? 1, 得f (0 ? 12 ) ? f (0) ? 2[ f (1)]2 ,令 x ? y ? 0 , 得: f (0) ? 0 , ∴
f (1) ? 1 1 n 2001 , 即 f(n ? 1) - f(n) ? , 故f (n) ? ,?f (2001) ? . 2 2 2 2

② R 上 的 奇 函 数 y ? f ( x) 有 反 函 数 y ? f -1 ( x) , 由 y ? f ( x ? 1) 与

)= y ? f -1 ( x ? 2) 互为反函数,则 f (2009

.

-1 ), 解析: 由于求的是 f (2009 可由 y ? f ( x ? 2) 求其反函数 y ? f ( x) - 2 ,

) ? ?4918. 所以 f ( x ? 1) ? f ( x) - 2 ,又 f (0) ? 0 ,通过递推可得 f (2009

练习: 1、 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,对任意正实数 x , y 都有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 且 f (4) ? 2 ,则 f ( 2) ?
2、



1 ) 2

如果f ( x ? y) ? f ( x) f ( y),且f (1) ? 2, 则
.2000

f (2) f (4) f (6) f (2000) ? ? ?? ? ? f (1) f (3) f (5) f (2001 )

f 2 (1) ? f (2) ? f (1)

f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? f (3) f (5) f (7)

.(

f (n) ? 2n ,原式=16)
3 、对任意整数 x , y 函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ? 1 ,若

f (1) ? 1 ,则 f (?8) ? (C)
A.-1 B.1 C. 19 D. 43

4、函数 f ( x) 为 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,若

f (1) ? 2 ,则 f (2005) =(
A . 2005

) (B) C.1
第 37 页 共 68 页

B. 2

D.0

5、定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f -1 ( x) ,又 y ? f ( x) 过点(2, 1) , y ? f (2 x) 的反函数为 y ? f -1 (2 x) ,则 y ? f -1 (16) 为( A. ) (A) D.16

1 8

B.

1 16

C.8

三、值域问题 例 4、 设函数 f ( x) 定义于实数集上, 对于任意实数 x , y ,f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成立,且存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f ( x) 的值域。 解:令 x ? y ? 0 ,有 f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。若 f (0) ? 0 ,则

f ( x) ? f (0 ? x) ? f ( x) f (0) ? 0 恒成立,这与存在实数 x1 ? x2 ,使得
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立矛盾,故 f (0) ? 0 ,必有 f (0) ? 1 。
由于 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 对任意实数 x , y 均成立,因此,
x ? ? f ( x) ? ? f ( ) ? ? 0 ,又因为若 ? 2 ?
2

f ( x ) ? 0 ,则

f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x) f (? x) ? 0 与 f (0) ? 0 矛盾,所以 f ( x) ? (0,??) .
五、单调性、奇偶性问题 (抽象函数的单调性多用定义法解决) 例 5、设函数 f ( x) 对任意实数 x , y ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,若 x ? 0 时

f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? -2 ,求 f ( x) 在[-3,3]上的最大值和最小值.
解 析 : 由 单 调 性 的 定 义 步 骤 设

x1 ? x2





f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ,所以 f ( x) 是 R 上的减函数,

故 f ( x) 在 [-3,3] 上 的 最 大 值 为 f (3) ? 3 f (1) ? ?6 , 最 小 值 为 f (-3) , 令

x ? y ? 0 ,有 f (0) ? 0 ,令 y ? ? x ,有 f (? x) ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 f ( x)
第 38 页 共 68 页

为奇函数.∴ f (-3) ? ? f (3) ? 6

练习:设 f ( x) 定义于实数集上,当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x , y , 有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,求证: f ( x) 在 R 上为增函数。

例 6、已知偶函数 f ( x) 的定义域是非零实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 ,
2 (1) f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2


f(


?x ) f? (


x2 x) x1 ?

1





x2 ? x1 ? 0





2

1

1

x2 x2 ?f f ( ( x1 ? )? x f 1( ) ) ? f (x f ( ? f (x ) ) 1) x1 x1

∵ x2 ? x1 ? 0 , ∴

x2 x ? 1 , ∴ f ( 2 ) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , ∴ x1 x1

f ( x2 ) ? f ( x1 )
∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2 ,∵ f ( x) 是偶函数∴不等式 (2)? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f(2) ?

f (2 x2 ?1) ? 2 可化为 f (| 2x2 ?1|) ? f (4) ,又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,∴0
2 ≠ | 2 x ?1|? 4 ,解得: {x | ? 10 ? x ? 10 且x ? ? 2 }

2

2

2

例 7、 (1)已知函数 f ( x) 对任意不等于零的实数 x , y ,都有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,试判断函数 f ( x) 的奇偶性。

第 39 页 共 68 页

解析:函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称,再考虑 f (? x) 与

f ( x) 的关系:

f (? x)=f ( x) , f ( x) 为偶函数。
(2) 已知 y ? f (2 x +1) 是偶函数, 则函数 y ? f (2 x) 的图象的对称轴是 直线( D ) A. x ? 1 B. x ? 2 C. x ? ?

1 2

D. x ?

1 2

解析: f (2 x +1) 关于直线 x ? 0 对称,则 f ( x) 关于直线 x ? 1 对称,故

f (2 x) 关于直线
2 x ? 1 对称.
注:若由奇偶性的定义看复合函数,一般用一个简单函数来表示复合函数, 化繁为简。f (2 x +1) 为偶函数, 则 f (?2 x+1)=f (2 x+1) → f ( x) 关于直线 x ? 1 对称。 例 8 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 (??,0) 上 是 增 函 数 , 又

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) 。求实数 a 的取值范围。
解析:又偶函数的性质知道: f ( x) 在 (0,??) 上减函数,而 2a ? a ? 1 ? 0 ,
2

3a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , 所 以 由

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1)



2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 2a ? 1 ,解得 0 ? a ? 3 。
(设计理由:此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题,所以本题弹性较 大,可以作一些条件变换如: f (a ? 1) ? f (1)或f (a ? 1) ? f (1 ? 2a) 等;也 可将定义域作一些调整) 练习:已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 a , b ∈[-
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1,1], a ? b ? 0 时,有

f ( a ) ? f (b ) >0. a?b

(1)判断函数 f ( x) 在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结 论; (2)解不等式: f ( x ? ) ? f (

1 2

1 ) x ?1

(3)若 f ( x) ? m2 ? 2 pm ? 1 对所有 x ∈[-1,1], p ∈[-1,1]( p 是常 数)恒成立,求实数 m 的取值范围. (函数 f ( x) 在[-1,1]上是增函数;-1< x ? 0 ; m ≤0 或 m ≥ 2 p )

六、周期性与对称性问题(由恒等式 简单判断:同号看周期,异号看对称) ... 例 9、 ①已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 则 f (6) 的值为( B ) A. –1

B. 0

C. 1

D. 2

解: 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,又 T=4,所以

f (6) = f (2) = ? f (0) ? 0 。
②函数 f ( x) 对于任意的实数 x 都有 f (1 ? 2 x) ? f (1 ? 2 x) ,则 f (2 x) 的 图像关于直线 对称。( x =1/2)















f ? x?







f ?1? ?

1 4



4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 f ? 2010? =_____________.
,y ? 0 得 f (0) ? 解析:取 x ? 1
1 1 ,周期 T=6,故 f ? 2010? ? f (0) ? 2 2

例 10、 已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求

f ?1 ?x? ? f ?1 ?2002? x? 的值。

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解:由已知式知函数的图象关于点(0,1001)对称。据原函数与其反函 数的关系,知函数 y ? f
?1

( x) 的图象关于点(1001,0)对称,所以

? ? f ?1?1001? x? ? 0 ,即 f ?1?x? ? f ?1?2002? x? =0 f ?1?x ? 1001
函数的性质在自主招生考试中占有相当的比例,函数的性质主要包括 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,本讲主要学习抽象函数的对称 性和周期性的知识。 【知识点精要】 一。函数的对称性(函数图像的自对称和函数图像的互对称) 1.函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) 时, 函数 y ? f ( x) 的图像关于直线

x?

a?b 对称,特别地, a ? b ? 0 时,该函数为偶函数。 2

2.函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? c 时,函数 y ? f ( x) 的图像关于

a?b c , ) 对称,特别地,当 a ? b ? 0 时,该函数为奇函数。 2 2 b?a 3.函数 y ? f (a ? x) 的图像与 y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ? 对称。 2
点( 二.函数的周期性 1.一般地,对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义 域内的每一个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 y ? f ( x) 就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 2. 对 于 非 零 常 数 A, 若 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( x? T) ? ? f ( x), 则 函 数

y ? f ( x) 必有一个周期为 2A.
3.对于非零常数 A, 函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? T ) ? ? 的一个周期为 2A. 三.函数对称性和周期性之间的联系 1.设 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数, 其图像关于直线 x ? a 和 x ? b(a ? b) 对 称,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 2(b ? a) 是它的一个周期。
第 42 页 共 68 页

1 , 则函数 y ? f ( x) f ( x)

2.设 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数,其图像关于点 M (a,0) 中心对称,且其 图像关于直 x ? b(b ? a) 对称,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 4(b ? a) 是它 的一个周期。设且 2(b ? a) 是它的一个周期。 3. 设 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 其 图 像 关 于 点 M (a, y0 ) 和

N (b, y0 )(a ? b) 对称,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 2(b ? a) 是它的一个
周期。

【典型例题】
例题 1:各结论的证明

例 题

2 : 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在

R

上 的 函 数 , 且

f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) , ( 1 )试证 f ( x ) 是周期函数; ( 2 )若

f (1) ? 2?

3,试求 f (1989)

例题 3:设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间 [0, 7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 。 (1)试判断函数 y ? f ( x) 的 奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005, 2005] 上根的个数,并 证明你的结论。

第 43 页 共 68 页

例 题 4 : 函 数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (b ? 0) ( 1 ) 求 f ( x) 的 单 调 区 间 ; (2) bx 1 (i ? 1, 2,3) ; (3)如果 a

a ? 0, x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0, x1 ? x3 ? 0,| xi |?

f ( x) 有极小值 fmin ? f (1) ? 2 ,试证明 | f n ( x) | ? | f ( xn ) |? 2n ? 2

【巩固练习】
1. 设 函 数 y ? f ( x) 对 一 切 实 数 x 均 满 足 f ( 2? x ) ? f ( 2? x ) ,且方程

f ( x ) ? 0恰有 7 个不同的实根,则这 7 个不同实根的和为________
2. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, 2) ,则函数 g ( x) ? f ( x ? c) ? f ( x ? c) 在

0?c?

1 时的定义域为_____________ 2
B: (c, 2 ? c) C: (1 ? c, 2 ? c) D: (c, 2 ? c)

A: (1 ? c, 2 ? c)

3. 设 f ( x ) 是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数,已知当

x ? [2,3] 时, f ( x) ? ? x ,则当 x ?[?2, 0] 时, f ( x) 的表达式为_______
A: x ? 4 B: 2 ? x C: 3? | x ? 1|
第 44 页 共 68 页

D: 2? | x ? 1|

4. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 并满足 f ( x ? 2) ? ? 时, f ( x) ? x ,则 f (5.5) ? __________ 5. 已知 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ?

1 , 当2 ? x ? 3 f ( x)

1 ? f ( x) ,则 f ( x ) 的最小正周期是_________ 1 ? f ( x)

6. 已知 f ( x ) 是偶函数, f ( x ? 2) 是奇函数,且 f (0) ? 1998 ,求 f (2000)

第十讲
【基础知识】

向量综合

【典型例题】

【巩固练习】

【提示解答】

第十一讲 直线与圆
【典型例题】
例 1、 设直线 ax ? by ? c ? 0的倾斜角为 则 a、 ?, 且sin ? ? cos? ? 0 , b 满足( ) 。 B. a – b =1 C. a +b= 0 D. a-b=0 A.a+b = 1

分析:由 tan ? ? ?1 ? ?

b 得a ? b ? 0 a


例 2、圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0, 在点P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 B、 x ? 3 y ? 4 ? 0
第 45 页 共 68 页

C. x ? 3 y ? 4 ? 0

D. x ? 3 y ? 2 ? 0 )

例 3 点(1,-1)到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是(

A、

1 2

B、

3 2

C、

2 2

D、

3 2 2

(二)正确理解解析几何的核心问题 解析几何着重于用代数方法研究几何问题,这样往往造成一种错觉,即 只用代数方法研究几何问题,而忽视几何手段的运用,对解析几何基本思想 也片面地理解为几何问题转化为代数问题,其实平面解析几何是建立在平面 几何与代数的知识体系上,解析几何的基本思想在于代数与几何的有机结合、 代数与几何间的相互转化。 例 4.在 Rt△ABC 中,AD 中斜边 BC 边上的高,DE⊥AB,DF⊥AC,E 和 F 是垂足,求证:

EB FC

?

AB AC

3 3

y C F D

分析:如图建立平面直角坐标系,设 B (b, o), C (0, c) 得 LBC : cx ? by ? bc LAD: bx ? cy ? 0 ① ②

(O) A

E

B

x

由①②求出点 D 坐标,进而求出 E、F 的坐标,再运用距离公式得证:

例 5 已知: 求不等式 x ? y ? m ? o 恒成立时实数 m x 2 ? y 2 ? 1, x, y ?R, 的取值范围。 分析:本题可转化为已知⊙O: x ? y ? 1 ,直线
2 2 2 2 L: x ? y ? m ? 0 ,因为满足 x ? y ? 1 的任一

y

实数对 ( x, y ) 使 x ? y ? m ? 0 恒成立,故圆上任一点 在直线 L 上或在直线 L 的上方,求此时 m 的取值范
第 46 页 共 68 页

x

l0

围,由图形即知。 (三)抓住问题的根本 对数学本质的深刻认识直接关系到解决问题所用方法、途径的简捷性和 灵活性,在数学学习中要注意对概念、原理从不同层面、不同方位进行认真 仔细地揣摩,构建较深层次的网络。 例 6、直线 L 被直线 L1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, L2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段 PQ 的中点恰好是坐标原点 O,求直线 L 的方程。 分析一:依题意设 L1 , L2 上的两点坐标分别为 P( x1 , y1 ) ,Q (? x1 ,? y1 ) , 各代入 l1 , l 2 方程相加得 x1 ?6 y1 ? 0 ,又原点 O(0,0)也满足上式,而两点确 定一条直线,故所求直线方程为 x ? 6 y ? 0 分析二:注意到方程 (4 x ? y ? 6)(3x ? 5 y ? 6) ? 0 表示直线 L1或L2 ,依 题 意 设 直 线 PQ : y ? kx , 与 上 面 方 程 联 立 , 消 去 y , 由 韦 达 定 理 得

1 x p ? xq ? 2x ? 0 ,解出 k ? ? ,所求直线即出。 6
点:根据曲线及曲线方程的定义可知,求曲线的方程就是分析曲线上的 点所应满足的条件,即要找的是点的横坐标 x 、纵坐标 y 之间的关系式,这 才是问题的根本所在。 例 7 、 求 圆 心 在 直 线 y ? 4x ? 0 上 , 且 与 直 线 x ? y ? 1 ? 0 切 于 点

p(3,?2) 的圆方程。
分析一:依已知可设圆为标准式,此时含三个元 a, b, R ,求圆方程即是 求 a, b, R ,因此需建立三个关系式。 分析二:结合平面几何知识,求出过圆心与垂足的直线,使其与直线

y ? 4 x ? 0 联立,由此求出圆心,后利用点到直线距离公式进一步求出半径。
点:不管是分析一,还是分析二,其关键都是确定 a, b, R ,一个采用的
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是代数法,一个利用的是几何特征,相比较而言,后者更接近问题的本质。 (四)掌握必要的方法和技巧 对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅 速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧。常用的有: ( 1)利用可再化 简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系; (2)善于根据图形的已知 条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程; (3)掌握直线和圆的基本定义、 基本概念、基本性质,有效运用它们来解题; (4)注意“平几”知识在简洁、 直观表达问题中的作用; (5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运 算量; (6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题; ( 7)根据背景的特点, 巧用字母的替换法则; (8)充分运用韦达定理进行转化与化归; ( 9)留心引 参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用。 例 8.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O: x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,
2 2

OB ? ________ 且|AB|= 3 ,则 OA· 。
分析:涉及弦长问题时常运用平几中的垂径定理求解较为简捷;若联立 直线与圆的方程求出交点,则比较麻烦。 例 9: 求经过直线 2x ? y ? 4 ? 0与圆x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交
2 2

点,并且具有最小面积的圆。 分 析 : 引 入 参





设 ,

所 整

求 理



为 为

: :

x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? ? (2x ? y ? 4) ? 0

x 2 ? y 2 ? 2(1 ? ? ) x ? (? ? 4) y ? (1 ? 4? ) ? 0 ,圆心 C 的坐标为( ? 1 ? ? ,
?

?
2

? 2) ,设已知直线和圆相交于 A、B 两点,由平几知识知:当所求圆的圆

心在 AB 上时, 圆具有最小面积, 由2 ( ?1? ? ) + (?

?
2

? 2) + 4 =0 得 ? ?

5 , 8

所求圆即出。 点:本例引入参数,使用曲线系方程,借助平面几何知识,方便快捷地 解题。
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例 10:已知圆 C: x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 和圆外一点 P(u,v) ,由 P 向圆 引切线 PT1 ,PT2 (T1,T2 是切点),如图,求直线 T1T2 的方程。 分析:设切点 T1( x1 , y1 ) ,T2( x2 , y2 ) , 则过 T1 T2 的切线方程分别为: T1( x1 , y 1 ) T1( x2 , y 2 )

P( u , v )

x1 x ? y1 y ? r 2 , x2 x ? y2 y ? r 2 ,
因为两切线均过点 P,故 x1u ? y1v ? r ①
2

x2 u ? y 2 v ? r 2 ②,现考虑方程 ux ? vy ? r 2 ,由①②知 T1,T2 的坐标适合此
方程,即 T1,T2 在此方程所代表直线上,又过 T1,T2 的直线只有一条,故直线 T1 T2 的方程为 ux ? vy ? r 。
2

点:本例是巧用字母的替换法则,灵活解题。 (五)关注实际,注重应用 直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块:一是直线 与圆的直接应用,它涉及到质量重心、气象预报、购物选址、光的折射、直 线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握 直线和圆的方程形式;二是线性规划,它是直线的间接应用,涉及到生产运 输、组织分配、合理下斜、规划布局、统筹计划等问题,线性规划是运筹学 中最基础的内容,高中阶段渗透补充简单的线性规划问题,可以使我们更好 地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养。 例 11、一束光线 y ? x ? 3, 穿过厚 1cm 的 玻璃(折射率为 1.5) ,设横轴位于这玻璃片 的表面上,而纵轴垂直于此片(坐标系的长 度单位为 cm) ,试求在此玻璃片内和出玻璃之 后的光线方程,以及光线在玻璃片内的行程 C
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y B

A

O

x

(折射率=

sin ? , ?为入射角 , ?为折射角) sin ?
0

D

分析: 入射角为 45 , 由

2 7 sin 450 得s , ∴c , n i ?? o s ?? ? 1.5 , 3 3 s n i ?

cot ? ?

14 14 , K AC ? cot ? ? ,∴在玻璃内的光线方程为 2 2

y?

14 ( x ? 3) 2
2 14 ? 3,
又∵ CD ∥ AB ,∴ K CD ? 1

∵ yC ? ?1 ,∴ xC ? ?

∴光线出玻璃后的方程为 y ? 1 ? x ? (?

2 14

? 3) ,即 y ? x ? (2 ?

14 ) 7

∴ AC ?

(?

2 14

? 3 ? 3) 2 ? (?1 ? 0) 2 ?

3 7 7

点:本题属光学折射问题,体现了直线方程等基础知识在物理上的应用。 y 例 12:某检验员用一个直径为 2cm 和 1 个直径 1cm 的标准圆柱,检测一个直经为 3cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个 合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱直径应 该是多少? 分析:考虑垂直于圆柱的截面,则新 插入的 两圆柱的截面应内切于直径为 3cm 的圆并且与 直径为 2cm 的圆及直径为 1cm 的圆相外切。 建立数学模型: 因 AP 是两圆半径之和,OP 是两圆的半径之差,PB 也是 两圆的半径之和,由此可将圆心 P 的位置确定下来。
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P

·· O A

· B

x

设所求圆 P 的半径为 r,则

PA ? 1 ? r, PO ? 1.5 ? r,? PA ? PO ? 2.5 ,点 P 在以 A、O 为焦点、长轴
16 1 4 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 1 ①同理点 P 在以 O、B 为 25 4 3 1 2 4 焦点,长轴长 2 的椭圆上,其方程是 ( x ? ) ? y ? 1 ,②联立①②,解得 2 3
长 2.5 的椭圆上,其方程是 交点 p(

9 12 9 12 3 9 12 3 , ), Q( ? ), r ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ,所求直径为 14 14 14, 14 2 14 14 7

6 cm 7
点:这是几何型的应用问题,其解法是解析法和交轨法。 例 13:设 z ? x ? y ,式中变量 x 和 y 满足条件 ? 小值为( ) A、1 B、-1 C、3 分析:由待定系数法,设

?x ? y ? 3 ? 0 则 z 的最 ?x ? 2 y ? 0

D、-3

x ? y ? m( x ? Y ) ? n( x ? 2 y) ? (m ? n) x ? (m ? 2n) y

1 ? m? ? m ? n ? 1 ? ? 3 解得? 则? ?m ? 2n ? ?1 ?n ? 2 ? 3 ?
于是 z ? x ? y ?

1 2 1 2 ( x ? y ) ? ( x ? 2 y ) ? ? 3 ? ? o ? 1 ,当且仅当 3 3 3 3

x ? y ? 3 ,且 x ? 2 y ? 0 时 z 取最小值,故选 A。
点:线性规划问题解法有三种:一是“平移法” ,即作出可行域,平移 目标函数线,运用直线方程的几何意义得解;二是“待定系数法” ,即是用约 束条件表示目标函数,运用待定方法直达目标,其特点是避开可能较繁杂的 图形,用代数的方式推理;三是“界点法” ,由线性规划的理论可知最优解必 在边界处,因此可直接考查边界(特别是“拐点处” ) ,比较即得。
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整点最优解问题可能是大家最头痛的问题,可采用“反向平移反代法” 寻找,即先让 z 达最大或最小(根据题意来选择) ,若此处非整点,则反向平 移,并让 z 增 1 或减 1,反解出 x、y 代入约束条件寻找适合题意的解,若还 没有就再让 z 增 2 或减 2,依次进行下去,直到找出为止。 (六)掌握数学思想方法,充分发挥其大数学观的导向作用。 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是将知识转 化为能力的桥梁,有着普遍的指导意义,是历年高考的重点。 在直线与圆部分,主要的数学思想方法有数形结合思想、方程思想、转 化与化归思想、分类讨论思想、对称思想;解析法、待定系数法、优选法、 数学建模等。 例 14:若曲线 y 2 ?| x | ?1与直线y ? kx ? b没有公共点 ,则 k,b 分别应 满足的条件是_____________。 分析:作出 y ? ?
2

? x ? 1, x ? 0 与y ? kx ? b 在同一坐标系中的图像,由此 ?1 ? x, x ? 0

可得 k = 0,-1< b <1 点:此例运用了数形结合思想。 例 15:若直线 2x-y +c=0 按向量 a =(1,-1) ,平移后与圆 x ? y ? 5
2 2

相切,则 c 的值为( A.8 或-2

) C、4 或-6 D、2 或-8

B、6 或-4

点:此例体现了方程的思想,事实上求直线方程,求圆方程、求参数值 在某种意义上就是解方程, 例 16、圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最
2 2

大距离与最小距离的差是: ( A.36 B、18

) C、 6 2 D、 5 2

分析:由于圆是一个对称图形,依其对称性,圆上的点到直线的最近、
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最远距离分别为圆心到直线的距离减去半径长和加上半径长。 点:本例体现了转化与化归思想,运动变化思想。

【巩固练习】
1 、 若 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上 至 少 有 三 个 不 同 的 点 到 直 线

l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (B)
A、 ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

B、 ?
2

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?
2

C、 ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D、 ?0,

? ?? ? 2? ?

2、过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?

1 x 3 1 C、 y ? ?3 x或y ? ? x 3
A、 y ? ?3 x或y ?

5 ? 0 相切的直线方程是 (A) 2 1 B、 y ? 3 x或y ? ? x 3 1 D、 y ? 3 x或y ? x 3

3、已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0平行, 则m 的值为 (B) A.0 B、-8 C、2 D、10 4、点 P 到点 A(1,0)和直线 x ? ?1 的距离相等,且点 P 到直线

l , y ? x 的距离等于
A、1 B、2

2 ,这样的点 P 的个数为 2
C、3 D、4

(C)

?x ? 0 ?y ? 0 ? 5、在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大 y ? x ? s ? ? ? y ? 2x ? 4
值的变化范围是 (A) A、 ?7,8? B、 ?7,15? C、 ?6,8? D、 ?6,15?

6、已知两定点 A(-2,0) ,B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 (B)

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A、 ?

B、 4?

C、 8?

D、 9?

7、 点 M、 N 在圆 x 2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? 4 ? 0 上, 且点 M、 N 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则该圆的半径等于 A、 2 2 B、 2 (D) C、1 D、3

8、一条线段 AB 长为 2,两个端点 A 和 B 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动,则线段 AB 的中点的轨迹是 (C) A、双曲线 B、双曲线的一分支 C、圆 D、半圆 9、从圆 x ? 2 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则
2 2

两条切线夹角的余弦值为 (B) A、

1 2

B、
4

3 5

C、

3 2

D、0

10 、若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 (A) A、 4x ? y ? 3 ? 0 B、 x ? 4 y ? 5 ? 0 C、 4x ? y ? 3 ? 0 D、

x ? 4y ? 3 ? 0
11、已各 A(-1,3) ,B(3,1) ,点 C 在坐标轴上,若∠ACB= 点 C 的个数为 (C) A、1 B、3 C、3
2

? ,则这样的 2

D、4

12、已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ,则满足条件 ? 所形成区域的面积为 A、 4? (D) C、

? f ( x) ? f ( y ) ? 0 的点( x , y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 0
D、 ?

B、 2?

3? 2

13、若三点 A(2,2) 、B(a、0) 、C(0、b) (ab≠0)共线,则

1 1 ? 的值等 a b



1 。 2

14、已知变量 x、y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4 , ? 2 ? x ? y ? 2 ,若目标函
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数 z ? ax ? y (其中 a >0)仅在点(3,1)处取得最大值,则 a 的取值范围为

a?0 。
15、已知 a=(6,2),b=(-4,

1 )直线 l 过点 A(3,-1) ,且与向量 a+2b 垂直,则 2

直线 l 的一般方程为 2 x ? 3 y ? 9 ? 0 。 16、过点(1, 2 )的直线 l 将圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣弧所 对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 K 为

2 。 2
AD ? 1 ( AB ? AC ) , 2

17、已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,点 C、D 满足 AC =2, 求点 D 的轨迹方程。

18、如图,某化工厂反应塔 MQ 上有温度计 AB,已知

Q A B M C

P

AM ? a , BM ? b ,在矩形 QMNP 的边 MN 上建立
观察点 C 较安全,观察温度计 AB 时视角越大越清晰, 问 C 在线段 MN 上何处时, 对温度计 AB 观察得最清晰?

N

19、制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的 亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能出的 最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人 计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问 投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元?才能使可能的盈利最大?

20、已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的
2

两个动点,O 是坐标原点,向量 OA,OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB ,设圆 C
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的方程为 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (1) 证:证明线段 AB 是圆 C 的直径 (2)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为

2 5 时,求 P 的值。 3

21、如图,一列载着危重病人 的火车从 O 地出发,沿射线 OA 方向行驶,其中

北 C

A

sin ? ?

10 ,在距离 O 地 5a(a 为正常数)千 10

?

N

米、北偏东 ? 角的 N 处住有一位医学专家,其 中 sin ? ?

3 ,现 120 指挥中心紧急征调离 O 地正 5

O

B



东 P 千米 B 处的救护车,先到 N 处载上医学专 家,再全速赶往乘有危重病人的火车,并在 C 处相遇,经测算,当两车行驶 的路线与 OB 所围成的三角形 OBC 面积最小时,抢救最及时, (1)在以 O 为原点,正北方向为 Y 轴的直角坐标系中,求射线 OA 所在 的直线方程。 (2)求 S 关于 P 的函数关系式 S ? f ( p) (3)当 P 为何值时,抢救最及时?

22、如图,已知圆 C: ( x ? 1) ? y ? r
2 2

2

(r ? 1)
y

设 M 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点,过 M 作圆 C 的弦 MN,并使它的中点 P 恰好落在 y 轴上。 (1)当 r=2 时,求满足条件的 P 点的坐标:
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N P

(2)当 r ? (1, ? )时,求点 N 的轨迹 G 的方程。 (3)过点 P(0,2)的直线 L 与(2)中轨迹 G 相交于两个不同的点 E、F,若 CE·CF >0 求 直线 L 的斜率的取值范围。 M O · C

x

第十二讲 圆锥曲线
【基础知识】

【典型例题】

【巩固练习】

【提示解答】

第十三讲 参数方程、极坐标
【基础知识】

【典型例题】

【巩固练习】

【提示解答】

第十四讲 立体几何
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【典型例题】
例题一: 过棱上三点的正方体截面问题

例题二: 在正方体的顶点中任意选择 4 个顶点,对于由这 4 个顶点构成的四面体的以 下判断中,所有正确的结论是 (写出所有正确结论的编号)

① 能构成每个面都是等边 三角形的四面体; ② 能构成每个面都是直角三角形的四面体; ③ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面 体; ④ 能构成三个面为不都全等的直角三角形,一个面为等边三角形的四面 体.

例题三:
2 2 在 xOy 平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧 ( x ?1) ? y ? 1( x ? 1) 和

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,
)(| |y 1 ? ) 如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? ,过 (0, y
作 ? 的水平截面,所得截面面积为 4? 1 ? y ? 8? ,试利用祖暅原理、一个
2

平放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________

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例题四: 正三棱锥 A-BCD 的侧棱是底边长的两倍,底边为 a ,过点 B 作与侧棱 AC、 AD 分别相交与 E、F 的截面 ? BEF,求此截面周长的最小值。

A F B
例题五:

D E C

设四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 PA⊥面 ABCD. (1) 求证:直线 PC⊥直线 BD; (2) 过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E,如果三棱锥 E—BCD 的体积取到最大值,求此时四棱锥 P—ABCD 的高

例题六:
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正三棱柱 ABC-A1B1C1,|AA1|?h,|BB1|?a,点 E 从 A1 出发沿棱 A1A 运动,后 沿 AD 运动, ∠ A1D1E??, 求过 EB1C1 的平面截三棱柱所得的截面面积 S 与? 的 函数关系式. A D B A1 D1 B1 C1 C

【巩固练习】
1.如图 1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装 饰块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒 置,水面也恰好过点 P (图 2) 。有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的 一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也 恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时, 水面都恰好经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容 器恰好能装满 其中真命题的代号是:_______________________. (写出所有真命题的代号)

P P

图 1

图 2

2.已知点 O 在二面角 ? ? AB ? ? 的棱上,点 P 在 ? 内,且 ?POB ? 45 ,
? ? 若 对 于 ? 内 异 于 O 的 任 意 一 点 Q , 都 有 ?POQ ? 45 , 则 二 面 角

? ? AB ? ? 的取值范围是 _________。
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3.已知平面 ? , ? 以及下面三个几何体 ①长宽高互不相同的长方体 ②底面是平行四边形但非菱形和矩形的四棱锥 ③正四面体

这三个几何体在平面 ? 上射影是正方形的是______________
4.已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为( ) (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

5.将 3 个 12cm× 12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分(如图 1) , 将这 6 部分接于一个边长为 6 2 的正六边形上(如图 2) ,若拼接后的图形是 一个多面体的表面展开图,该多面体的体积为_____________.

图1 图2
2 6.全面积为定值 ? a (其中 a ? 0 )的圆锥中,体积的最大值为(



A. ? a

2 3

3

B.

2 3 ?a 12

C. ? a

1 6

3

D.

3 3 ?a 6

7.设定点 A、B、C、D 是以点 O 为中心的正四面体的顶点,用 ? 表示空间 以直线 OA 为轴满足条件 ? ( B) ? C 的旋转,用 ? 表示空间关于 BCD 所在平 面的镜面反射,设 l 为过 AB 中点与 CD 中点的直线,用 ? 表示空间以 l 为轴 的 180°旋转.设 ? ?? 表示变换的复合,先作 ? ,再作 ? 。则 ? 可以表示为 ( ) (A)

? ?? ?? ?? ?? (B) ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ??
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(C) ? ?? ?? ?? ??

(D)

8.一只蚂蚁沿 1× 2× 3 立方体表面爬,从一对角线一端到另一端最短距离为

____. 9.如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,

BC ? 2 ,若 AD ? 2c ,且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,
其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值 是 。
2 2 2

10 . 在 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz 中 , 满 足 条 件 ? x ? ? ? y? ?? z? ?1 的 点

( x , y , z )构 成 的 空 间 区 域 ?2 的 体 积 为 V2 ( ? x? , ? y? , ? z ? 分 别 表 示 不 大 于
x, y, z 的最大整数) ,则 V2 =
___________

11.正六棱锥的高等于 h,相邻侧面的两面角等于 2 a r c s i n ( 3 2? 6 ), 求该棱锥的体积.( c o s

? ( 2? 6 ) 1 2 4

? 1

1 2

12. (1)正四棱锥的体积 V ?

2 ,求正四棱锥的表面积的最小值; 3

(2)一般地,设正 n 棱锥的体积 V 为定值,试给出不依赖于 n 的一个充分必 要条件,使得正 n 棱锥的表面积取得最小值. 13.如图,P-ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥,D、E、F 分别为棱长 PA、PB、 PC 上的点, 截面 DEF∥ 底面 ABC, 且棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长 和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1)证明:P-ABC 为正四面体; (2)设棱台 DEF-ABC 的体积为 V, 是否存在体 积为 V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它 与棱台 DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具 体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明; 若不存在,请说明理由.

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14. (1) 求依次与三棱锥 S ? ABC 四个顶点 S、A、B、C 的距离相等的平面 有几个? (2) 求依次与三棱锥 S ? ABC 四顶点 S、A、B、C 的距离之比为 1 : 1 : 2 : 3 的平面的个数 15.到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹(建系求解) 16. (Ⅰ)给出两块相同的正三角形纸片(如图 1,图 2) ,要求用其中一块剪 拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积 都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图 1、图 2 中,并作简要说明; (Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小; (Ⅲ) (本小题为附加题, 如果解答正确, 加 4 分, 但全卷总分不超过 150 分。 ) 如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图 3) ,要求剪拼成直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标 示在图 3 中,并作简要说明。

图1

图2

图3

第十五讲 复数综合
【基础知识】

【典型例题】

【巩固练习】

【提示解答】

第十六讲 组合杂题
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【基础知识】
1. 组合问题不仅仅指排列组合计数问题和二项式定理应用,高考没有要求, 没有系统出现在课本中的数论、图论、方程、几何等都可能出现在自主招 生试题中,除了要有宽泛的知识面,对数学基本思想要深刻理解. 2. 抽屉原理、递推思想、反证法、算两次、极端性原理、构造等是解决此类 问题的有效方法. 3. 了解一些组合问题的基本方法,阅读一些数学竞赛的基础知识很有益处.

【典型例题】
例题 1:设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过 1.问:半径至少 为多大的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论. 【分析】 :从问题要求看要证明两个方面,半径大于等于 r 的圆必定能盖住三 个点,半径小于 r 的圆就不一定能满足,需要构造证明. 【解答】 :边长为 1 的正三角形的外接圆半径为 这就是所求最小半径. 若r ?

3 , 3

P

3 , 则当三点构成边长为 1 的正三角形时, A 3

B

圆盘就无法覆盖. 不妨设三点为 A、B、C,其中 AB 两点距离最大, | AB |? 1 ,以 A、B 为圆心,|AB|长为半径在同侧做圆弧交于点 P,则根据题意,点 C 必定落在阴 影部分内,而三角形 PAB 的外接圆半径不超过 以覆盖 A、B、C 三个点. 综上得半径至少为

3 3 ,即半径为 的圆盘可 3 3

3 的圆盘可以覆盖这三个点. 3
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例题 2:求证: ( C )( ??? C )( C ) ? ? ( C ) ? C n n n n 2 n
0 2 1 2 2 2 n 2 n

【分析】 :组合恒等式证明,通常利用二项式定理,或者构造排列组合问题解 释,也可以利用组合数公式计算,根据具体情况分析,算两次的想法很重要. 【证明】 : 方法一: 构造二项式 f ( x) ? (1 ? x)2n ? (1 ? x)n ? ( x ? 1)n , 考虑含 x
n 的系数,直接算应该是 C2 n ,而分开算则应该是 0 n 1 n?1 2 n ?2 n 0 , Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? Cn k n ?k 根据组合数基本性质 Cn ,即有 ? Cn
0 2 1 2 2 2 n 2 n ( C )( ??? C )( C ) ? ? ( C ) ? C n n n n 2 n
n

方法二:考虑 n 个男生 n 个女生,从这 2n 个人中选 n 个参加某活动的组
n 合数,整体考虑为 C2 n ;而按照男生人数分类计算,则有 0 n 1 n?1 2 n ?2 n 0 ,两者显然相等. Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? Cn

例题 3:求 (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) ? (1 ? x) 中 x 的系数.
2 98 99

3

【分析】 :本题看起来与二项式有关,也与等比数列有关,因此相应的公式、 性质如果能合理利用,则求解就方便了. 【解答】 :方法一,利用二项式及组合数性质.
k k ?1 k ?1 3 3 3 3 显然 x 的系数为 C3 , 利用组合数性质 Cn ? Cn ? Cn ? C4 ? C5 ? ?? C99 ?1 ,
3

3 3 3 3 4 3 4 将 C3 写成 C4 ,反复利用上述性质,看得 C3 ? C4 ? C5 ? ?? C99 ? C100

方法二,利用等比数列 将原式看成首项和公比均为 1 ? x 的等比数列,利用求和公式表示为

(1 ? x)[1 ? (1 ? x)99 ] (1 ? x)100 ? (1 ? x) 3 ,于是要求 x 的系数转化为求 ? 1 ? (1 ? x) x
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4 . (1 ? x)100 中 x 4 的系数,显然为 C100

例题 4:求证:对于任意的正整数 n , (1 ? 2 ) n 必可表示成 s ? s ? 1 的形 式,其中 s ? N
*

【分析】 :本题看起来也与二项式有关,但如果表示成为关键,有与 n 有关, 与数列、数学归纳法等都可以联系. 【证明】 :根据二项式定理, (1 ? 2)n ? an ? 2bn ,其中 {an },{bn } 均为正整 数数列,而且可以得到递推关系. a1 ? b1 ? 1 ,

(1? 2)n?1 ? (an ? 2bn )(1? 2) ? (an ? 2bn ) ? 2(an ? bn ) ? an?1 ? 2bn?1
? a1 ? b1 ? 1 ? n ? an ?1 ? an ? 2bn ,我们还可以得到 (1 ? 2) ? an ? 2bn ,于是 ? b ? a ?b n n ? n ?1
2 2 2 2 (1 ? 2)n ? an ? 2bn ? an ? 2bn ,只需证明 | an ? 2bn |? 1

2 2 而 | (1 ? 2)n (1 ? 2)n |?| (an ? 2bn )(an ? 2bn ) |?| an ? 2bn |? 1

事实上,我们可以得到 an ?

(1 ? 2)n ? (1 ? 2)n (1 ? 2)n ? (1 ? 2)n . , bn ? 2 2 2

例题 5:已知 6 ,求 xyzabc的值. xyzabc ? 7 abcxyz 【分析】 :这是典型的数论、方程问题,关键是表述成我们熟悉的形式. 【解答】 :设 abc ? ? , xyz ? ? ,则 6(1000? ? ? ) ? 7(1000? ? ? ) 于是,

? 5993 461 ? ? ,显然 ? 是三位数,故只能是 ? ? 461, ? ? 538 ,即 ? 6994 538

xyzabc ? 538461 .
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例题 6:在 1,2,??,2012 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整 除,最对能取多少个数? 【分析】 :这是典型的数学竞赛要求的试题,要说明比它多的数肯定可以,而 又需要构造说明,恰当选择这么多数是能满足题意的. 【解答】 :将 1,2,??,2012 分成(1,2,3) , (4,5,6) ,??, (2008, 2009,2010) , (2011,2012)这 671 组.如果取至少 672 个数,则由抽屉原理 必然有 2 个数属于同一组,不妨设为 a ? b ,则 a ? b ? 1 或者 a ? b ? 2 . 当 a ? b ? 1 时,此时 a ? b 整除 a ? b ,不合要求; 当 a ? b ? 2 时,此时 a , b 同奇偶,所以 a ? b 为偶数,从而 a ? b 整除

a ? b ,不合要求.
因此最多取 671 个数.现在取 1,4,7,??,2011 这 671 个数,此时任 两数之和除以 3 的余数为 2,而两数之差为 3 的倍数,所以任意两数之和不能 被其差整除. 综上所述,最多能取 671 个数.

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【巩固练习】
0成立的最 1. n 是十进制的数, f ? n ? 是 n 的各个数字之和,求使 f ?n? ?2
小的 n .
3 3 2.证明方程 x 的任一组整数解 ?x ,y ? 2 y ? 1 ??y?0 ?都有
1 x 4 ? 23 ? 3 y y

3.已知 x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000,求 x50 的系数. 4.一个平面由红点和蓝点组成,而且既有红点也有蓝点,对于给定的任意长 度 a,证明:平面内存在两个同色点,也存在两个异色点,距离均为 a.
1 2 3 n 5.求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n2n?1

6.有两个两位数,它们的差是 56,两数分别平方后,末两位数相同,求这两 个两位数. 7.求证:对于任何实数 a 与 b,三个数: | a ? b |,| a ? b |,|1 ? a | 中至少有一 个不小于

1 . 2

【提示解答】

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