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复数复习课教案


莱西市公开课
课题:复数复习课 教学目的:
1.理解复数的有关概念;掌握复数的代数表示及向量表示. 2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数)对应的实参数值. 3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算. 4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义
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教学重点:复数

的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用. 教学难点:复数的知识结构的梳理 授课类型:复习课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体 教学过程: 一、要点回顾:
1.虚数单位 i : (1)它的平方等于-1,即 i 2 ? ?1 ; (2) i 与-1 的关系: 2 2 i 就是-1 的一个平方根,即方程 x =-1 的一个根,方程 x =-1 的另一个 根是- i 4n+1 i (3) i 的周期性: =i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1 2.复数的定义: 形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体复数 所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示. 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a、b∈R),把复数表示成 a+bi 的形式, 叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系: 对于复数 a+bi(a、b∈R),当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a; 当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且 仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即: 如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d
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一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都 是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: 点 Z 的横坐标是 a, 纵坐标是 b, 复数 z=a+bi(a、 b∈R)可用点 Z(a,b)表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做 虚轴 。实轴上的点都表示实数;虚轴上的点除了原点外,都表示纯虚数。 8.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足的运算律: 交换律: z1+z2=z2+z1. 结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 11.乘法运算规则: 设 z1=a+bi , z2=c+di(a 、 b 、 c 、 d ∈ R) 是任意两个复数,那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2 换 成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 12.乘法运算律:(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; 13 除法运算规则: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的商
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(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2

14.共轭复数: 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭 复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 15.复数的模: | z |?| a ? bi |?| OZ |? a2 ? b2
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二、双基自测 :
1. (安徽卷·文科·1) .复数 2 i D. A.2 B.-2 C.
i3 (1 ? i)2 ? ( ? 2i



a?i 2(浙江卷·文科·1)已知 a 是实数, 1 ? i 是纯虚数,则 a =(



A.1 B.-1 C. 2 D.- 2 3. (上海卷· 文理科· 3) 若复数 z 满足 z ? i(2 ? z)( i 是虚数单位) , 则 z ? _____ 4.已知 z ? ?
1? i , 则 1 ? z 50 ? z100 的值为 2

.

三、专题探究:

专题一:复数的概念与分类
设 z=a+bi(a,b∈R),则
1 2

?a ? 0 (1)z 是虚数?b≠0,(2)z 是纯虚数? ? ,(3)z 是实数?b=0 ?b ? 0
z 均为实数(i 为虚数单位),对于复数 w=(z 2-i +ai)2,当 a 为何值时,w 为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 【思路点拨】 求复数 z→化简 w→待定 a. 【解】 设 z=x+yi(x、y∈R), z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2, x-2i 1 z 1 1 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 2-i 2-i 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∵w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, (1)当 w 为实数时,令 a-2=0,∴a=2, 即 w=12+4×2-22=16. (2)w 为虚数,只要 a-2≠0,∴a≠2. (3)w 为纯虚数,只要 12+4a-a2=0 且 a-2≠0, ∴a=-2 或 a=6. 【思维总结】 正确求 z 及化简 w 是解本题的关键. 例题 1、已知 z 是复数,z+2i,

举一反三:
实数 m 取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? ( m ? 1)i 是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? ( 口答 )

专题二:复数的四则运算
复数的乘除法的运算是历年高考在复数部分考查的重点,熟练掌握复数乘 除法的运算法则,熟悉常见的结论和复数的有关概念是迅速求解的关键. 1+2i 例题 2、(2010 年高考辽宁卷)设 a,b 为实数,若复数 =1+i,则( ) a+bi 3 1 A.a= ,b= B.a=3,b=1 2 2 1 3 C.a= ,b= D.a=1,b=3 2 2 1+2i 1+2i ?1+2i??1-i? 3+i 3 【解析】 ∵ =1+i,∴a+bi= = = ,∴a= , a+ bi 1+ i ?1+i??1-i? 2 2 1 b= . 2 【答案】 A
1 3

1-i 1+i 1 2 ,求 z. 2+ 2=a+bi(a,b∈R),且 z = ?1+i? ?1-i? a+bi 【思路点拨】 首先求出 a、b,再设 z=x+yi,求 x、y. 1-i 1+i i?1+i? i?1-i? i i 【解】 + = - =-1. 2+ 2=- 2 2 ?1+i? ?1-i? 1+i 1-i 例题 3、若 ∴a+bi=-1,∴z2=-1. ∵i2=-1,(-i)2=-1,∴z=± i. 【思维总结】 本题实际是求 x2=-1 的方程的两根,设(x+yi)2=-1,也是求 方程根的通法.

举一反三:
(1 ? i ) 2 ?( 1、复数 ) . 1? i A. 2 ? 2i B. ?1 ? i

2、

i 2002 ?

?

? 2 ? 50 ? 2 ? 2i 8 ?? ?1? i ? ? ?

?

C. 1 ? i

D. 2i

3、已知

z ? 2 ? z ? 4i 求复数 z

专题三:复数的几何意义及应用
复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意 义以及复数的加减法的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重 要的数学思想方法. 例题 4 已知点集 D={z||z+1+ 3i|=1,z∈C},试求|z|的最小值和最大值. 【解】 点集 D 的图象为以点 C(-1,- 3) 为圆心,1 为半径的圆,圆上任一点 P 对应的 → |=|z|. 复数为 z,则|OP 由图知,当 OP 过圆心 C(-1,- 3)时,与圆 交于点 A、 B,则|z|的最小值是|OA|=|OC|-1 = ?-1?2+?- 3?2-1=2-1=1,即|z|min=1; |z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3, 即|z|max =3.
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举一反三:
1. (上海春季卷·16)已知 z ? C ,且 | z ? 2 ? 2i |? 1, i 为虚线单位,则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是 ( ) (A)2. (B)3. (C)4. (D)5. 2. | z ? 3 ? 4i |? 2 ,则 | z | 的最大值为( ) A 3 B 7 C 9 D 5

五、课堂小结 :通过系统复习复数的知识,及专题精讲,进一步体会数学转
化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用

四、课堂小测
1 、 以 2i ? 5 的虚部为实部,并以 5i ? 2 的实部为虚部构成的新 复数是( ) A、 2 ? 2i B、 2 ? i C、 ? 5 ? 5i D、 5 ? 5i 2、复数 A、-1

z ? i ?i 2 ?i 3 ?i 4
B、0

的值是(

) C、1

D、i )象限

i 2 3、在复平面内,复数 1 ? i ? (1 ? 3i) 对应的点在第(
A、一 B、二 C、三 D、四

4、计算: (1 ) 5、若

?3?i 1 ? 2i

1 ? 3i 2 ) (2) ( 1? i
是纯虚数,则实数 x = ___

( x 2 ?1) ? ( x 2 ?3x ? 2)i

六、作业
1、若复数 z 满足

1? z ?i 1? z

,则

z ? 1 的值为

.

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? 1 ? i ?n ?1 ? i ?n ? +? ? 则集合 2 设 f(n)= ? {x|x=f(n)} 中元素的个数是 ?1? i ? ?1? i ?

.

3、如果复数

2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数 )的实部和虚部互 1 ? 2i

为相反数,那么 b 等于 A. C.-2
2
3
1

B

2 3
5

D. 2

4、 当 2 <m<1 时, 复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点位于 3 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5、已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? , y)i ,求实数 6、若 n 是奇数,求

x与 y .

? 1 ? i ? 4n ? 1 ? i ? 4n ? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ?

七、板书设计(略)

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