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2016年4月北京市房山区高三一模高三数学文科试卷带答案


房山区 2016 年高考一模试卷 高三数学(文科)
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A ? ?x | 0 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ? 0? ,则集合 A

? B ?

(A) {x | 0 < x < 2} (C) {x | x > 2}

(B) {x | 2 < x < 3} (D) {x | x > 0}

(2)在复平面内,复数 z 对应的点的坐标为 (2, - 1) ,则 z =

(A) 5

(B) 5

(C) 3

(D) 1

(3)在△ABC 中,若 b ? 2 , a ? 3 , cos C ? ?

1 ,则 c ? 4
(D)4

(A) 3

(B)2

(C)3

?0 ? x ? 1, (4)在平面区域 ? 内任取一点 P( x, y ) ,则 ( x, y ) 满足 2 x + y ? 1 的概率为 ?0 ? y ? 1

1 8 1 (C) 2
(A)

1 4 3 (D) 4
(B)

(5)执行如图所示的程序框图,若输入 x = 1 ,则输出 y 的值是 (A)1 (B)3 (C)7 (D)15

(6)设 a ? R ,则 “ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0

平行”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(7)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x = - 5 ,且当 x ? 5 时, f ( x) ? 2x ? 3 . 若函数 f ( x ) 在区间 (k , k +1) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 (A) 2 或 - 11 (B) 2 或 - 12 (C) 1 或 - 12 (D) 1 或 - 11

(8)某市 2015 年前 n 个月空气质量优良的总天数 Sn 与 n 之间的关系如图所示.若前 m 月 的月平均空气质量优良天数最大,则 m 值为
sn

o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n

(A)7

(B)9

(C)10

(D)12

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是___. 4
4

(10)圆 x2 + y 2 - 4 x + 2 y + 2 = 0 的圆心坐标为___,半径为__. (11)若 tanq = ,则 tan(q + ) = ___. (12)已知向量 a ? (1,1) , b = (- 3,1) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? ___. (13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于___.
2

1 3

p 4

2

?

?

? ?

?

正(主)视图

侧(左)视图

2 俯视图

ì 2an , (0 # an 1), ? (14)数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an +1 = í 那么 a2016 ? ___,数列 {an } 的前 n 项 ? ? an - 1, (an >1).
和 Sn ? ___.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分)

已知函数 f ( x) = sin x cos x + sin 2 x (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)若 a ? (0, ) ,且 f (a ) =

1 . 2

p 2

2 ,求 a 的值. 2

(16) (本小题 13 分) 在等比数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 a2 ? 1 是 a1 , a3 的等差中项. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)已知 {bn } 是等差数列, Tn 为其前 n 项和,且 b2 ? a1 , b8 ? a2 ? a4 , 求 Tn .

(17) (本小题 13 分) 北京某高中校为了解学生的身体状况,随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重(单位:千克) 全部介于 45 至 70 之间.将数据分成以下 5 组:第 1 组[45,50),第 2 组[50,55),第 3 组[55,60),第 4 组[60, 65),第 5 组[65,70],得到如图所示的频率分布直方图.

现采用分层抽样的方法,从第 3,4,5 组中随机抽取 6 名学生进行某项体能测试. (Ⅰ)求每组抽取的学生人数; (Ⅱ)若从所抽取的 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生做调查问卷,求这 2 名学生不在同一组的概率.

(18) (本小题 14 分) 在三棱锥 P - ABC 中,平面 PAC ^ 平面 ABC , PA ^ PC , 点, N 在棱 BC 上.

AC ^ BC , D 为 AB 的中点, M 为 PD 的中

(Ⅰ)当 N 为 BC 的中点时,证明: DN ∥平面 PAC ; (Ⅱ)求证: PA ^ 平面 PBC ; (Ⅲ)是否存在点 N 使得 MN ∥平面 PAC ?若存在,求出

CN 的值,若不存在,说明理由. CB
P M C D N B

A

(19) (本小题 13 分)

x2 x2 , g ( x) ? ? x . 2 2 (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 h( x) ? af ( x) ? (a ? 1) g ( x) ,其中 0 ? a ? 1 ,证明:函数 h( x) 仅有一个零点.
已知函数 f ( x) ? ln x ?

(20) (本小题 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 F (3, 0) . N 为直线 x ? 4 上任意一点,过 2 2 a b

点 F 做直线 FN 的垂线 l ,直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, M 为线段 AB 的中点, O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)证明: O, M , N 三点共线; (Ⅲ)若 2 OM ? MN ,求 l 的方程.


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