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2016高考数学二轮复习 专题4 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明课件 文


随堂讲义
专题四 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式 的证明

栏 目 链 接

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突破点1 不等式正、误的辨别与大小比较问题
(1) 设 a, b∈R, 若 a-|b|>0, 则下列不等式中正确的是 ( A.b-a>0 B.a3+b3<0 )

C.

b+a>0 D.a2-b2<0 2 (2)已知 a>b>0,且 ab=1,设 c= ,p=logca,m=logc a+b (ab) ,n=logcb,则 m,n,p 的大小关系是 W.

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思路点拨: (1)可以根据 a-|b|>0 去掉绝对值号得到 a 与 b 的 大小关系,从而作出判断,亦可以在 a,b∈R 的前提下取满足 a-|b| >0 的特殊实数 a,b 验证. (2)可以由已知先得到 a,b,ab 三者的大小关系,再判定 c 与 1 的大小关系,最后利用对数函数的单调性比较大小.亦可以用特 殊值法比较.

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解析: (1)解法一 由 a-|b|>0,得 a>|b|,

∴-a<b<a,∴a+b>0 且 a-b>0, ∴b-a<0,A 错. a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2)
?? b?2 3 2? ? =(a+b) ?a- ? + b ?>0,∴B 错. 2? 4 ? ??

而 a2-b2=(a-b) (a+b)>0,∴D 错.故选 C.

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解法二(特殊值法) ∴取 a=2,b=-1.

∵a,b∈R 且 a-|b|>0,

则 b-a=-1-2=-3<0,∴A 错. a3+b3=8-1=7>0,∴B 错. a2-b2=22-(-1)2=3>0,∴D 错.故选 C. (2)解法一 ∵a>b>0 且 ab=1,

∴a>1,0<b<1. ∴a>ab>b>0, 2 2 又 0<c= = < 1 a+b a+ a 2 2 =1, 1 a· a

∴y=logcx 在(0,+∞)为减函数,∴p<m<n.

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解法二(特殊值法) ∵a>b>0 且 ab=1,

1 2 4 ∴取 a=2,b= .∴c= = <1, 2 a+b 5 1 p=log42<0,m=log41=0,n=log4 >0, 2 5 5 5 ∴p<m<n. 答案: (1)C (2)p<m<n

主干考 点梳理

(1)判断不等式的正误,常利用不等式的性质、基本不等式、 函数的单调性和特殊值法、作差法等. (2)比较大小常利用:①函数的单调性法;②图象法;③不等 式的性质或基本不等式法;④作差法;⑤特殊值法.

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?跟踪训练 c c 1.设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:① > ;②ac<bc; a b ③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是(D) A.① B.①② C.②③ D.①②③

c c 解析:由 a>b>1,c<0 得 > ,故①正确;由幂函数的单调 a b 性知:ac<bc,故②正确;由对数函数的单调性知:logb(a-c)>loga (b-c) ,故③正确.故选 D.

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突破点2 线性规划问题

某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每 天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A

类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,
设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品 50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 元.

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解析:设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生产y天, 该公

司所需租赁费为z元,则z=200x+300y,甲、乙两种设备生产A,
B两类产品的情况如下表所示:

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5x+6y≥50, ? ? ? ? 则满足的关系为?10x+20y≥140,即?x+2y≥14, ? ?x≥0,y≥0, ? ?x≥0,y≥0. 6 x+ y≥10, 5 作出不等式表示的平面区域, 当 z=200x+300y 对应的直线过两 6 直线 x+ y=10,x+2y=14 的交点(4,5)时,目标函数 z=200x 5 +300y 取得最小值,为 2 300 元. 答案:2 300

误区警示:本题易由于画图不准,而将顶点确定错.

高考热 点突破 (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区 域面积;三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范围.

(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数
所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域

的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问
题要验证解决.

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?跟踪训练 2.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克,B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中, 要求每天消耗 A, B 原料都不超 过 12 千克.通过合理安排生产计划, 从每天生产的甲、 乙两种产品中, 公司共可获得的最大利润是(C)

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A.1 800 元 C.2 800 元

B.2 400 元 D.3 100 元

解析:设公司每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,公司共可 获得利润为 z 元,则由已知,得 z=300x+400y,

? ?2x+y≤12, 且? x≥0, ? ?y≥0,
x+2y≤12,

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画可行域(如图所示) , 目标函数 z=300x+400y 可变形为 y= 3 z - x+ ,这是随 z 变化的一组平行直线. 4 400
? ?2x+y=12, ? ?x=4, 解方程组? 得? 即 A(4,4). ? ? x + 2y = 12 , y = 4 , ? ?

∴zmax=300×4+400×4=2 800.

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突破点3 利用基本不等式求最值问题
某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单
位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形,要求框架围成 的总面积为8平方米.

(1)求y与x的解析式,并求x的取值范围;
(2)x,y分别为多少时用料最省? 思路点拨:先根据题意找出数量关系,再由基本不等式求最值.

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1 x 解析: (1)由题意,得 x· y+ x· =8, 2 2 8 x ∴y= - .由 x>0,y>0,得 0<x<4 2. x 4 (2)设框架用料长度为 l(单位:米) ,则 l=2x+2y+ 2x=
?3 ? 16 ? + 2?x+ ≥4 6+4 2=8+4 2. x ?2 ? ?3 ? 16 当且仅当?2+ 2?x= , 即 x=8-4 2, y=2 2时, 等号成立.0<x x ? ?

=8-4 2<4 2,满足题意. 即:当 x=(8-4 2)米,y=2 2米时,用料最少.

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本题考查利用基本不等式解决实际问题,是面积固定求周 长最省料的模型,解题时,列出一个面积的等式,代入周 长所表示的代数式中,消去一个末知数,这是常用的解题

方法.

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?跟踪训练 3.为了保护环境,实现城市绿化.某房地产公司要在拆迁地长 方形ABCD上规划出一块长方形地面建造公园,公园一边落 在CD上,但不得越过文物保护区△AEF的EF,问如何设计

才能使公园占地面积最大?并求这个最大面积(其中AB=
200 m,BC=160 m,AE=60 m,AF=40 m).

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解析:设 CG=x,矩形 CGPH 面积为 y.作 EN⊥PH 于点 N,则 2x-280 EN x-140 = ?EN= . 40 60 3 2x-280 760-2x ∴HC=160- = . 3 3 760-2x 1 1?760?2 72 200 y=x· = ·2x(760-2x)≤ ? 2 ? = . 3 6 6? ? 3 当 2x=760-2x?x=190,即 CG 长为 190 m 时,最大面积为 72 200 2 m. 3

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1.应用均值不等式解题常用到“和定积最大,积定和最小”,其 解题步骤是“一正、二定、三相等”, “二定”指含变数的两项的和 (积)为常数,合理拆添项或拼凑因式是常用的技巧,而拆和凑的前 提是要求等号能够成立. a 2.当用均值不等式求最值取不到等号时, 常利用函数 y=x+ (a x >0)的单调性求解.

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1 3.注意函数 y=x+ (x<0)的单调性及推导方法. x 4.线性规划问题应特别注意目标函数最值的几何意义是与直线 的截距符号相同还是相反. 5.作差法的依据是 a>b?a-b>0,证明中常用到配方法、分解 a 因式、均值不等式等方法;作商法的依据是 a,b∈R+,a>b? >1, b 适用于指数、幂的形式.


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