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2.2.1《双曲线及其标准方程》课件


2.2.1《双曲线及其标准方程》

教学目标
知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线 的定义解决实际问题;理解双曲线标准方程的推导 过程及化简无理方程的常用的方法;了解借助信息 技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方 法

问题1:椭圆的定义是什么?
平面内与两个定点 椭圆。
F1 , F2

的距离的和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做

问题2:椭圆的标准方程是怎样的?
x2 y2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b

, , 关系如何? a b c

a ?b ?c
2 2

2

问题3:如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那 么点 的轨迹会发生怎样的变化?

1.双曲线的定义:
平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨 迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

M

MF1 ? MF 2 ? 常数
F1

F2

2.标准方程的推导
① 建系

y

y轴为线段 使 轴经过两焦点 F1 , F2 , 的垂直平分线。
② 设点

x

F1 , F2

M
F1
O

F2 x

设 M ( x, y )是双曲线上任一点, 焦距为 2c(c ? 0) ,那么 焦点 的差的绝对值等于常数 2 a 。 ③ 列式 即

F 1 (?c,0), F 2 (c,0)

又设点 M 与 F1 , F2

MF1 ? MF2 ? 2a

( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a

④化简



(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 )
2

两边同除以 a

(c 2 ? a 2 )



x2 y2 ? 2 ?1 2 2 a c ?a

? 2c ? 2a ? c ? a ? c 2 ? a 2 ? 0

?令c 2 ? a 2 ? b 2 (b ? 0)

代入得

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在
2 2 2 F ( ? c , 0 ), F ( c , 0 ) c ? a ? b . 1 2

x轴上

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是什么?

y

F2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

O

x
F1

3.两种标准方程的比较

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a ③
2

2

2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

, b2 , a ? 0, b ? 0 但 a , b


大小不定。

c 2 ? a 2 ? b2
2

④如果 x 的系数是正的,则焦点在 焦点在 y轴上。

x

轴上;如果

y 2的系数是正的,则

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出

a, b, c及焦点坐标。

x2 y2 ?1? ? ? 1 4 2 x2 y2 ?3? ? ? ?1 4 2
答案:

x2 y2 ?2? ? ? 1 2 2 x2 y2 ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n

?1?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (? 6,0).( 6,0) ?2?a ? 2, b ? 2, c ? 2 (?2,0).(2,0) ?3?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (0, 6 ).(0,? 6 ) ?4?a ? m, b ? n, c ? m ? n ( m ? n ,0).(? m ? n ,0)

(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。

x2 y 2 ? ? 1(m n ? 0) 是否表示双曲线? (2) m n

?m ? 0 ? ?n ? 0 ?m ? 0 ? ?n ? 0

表示焦点在

x 轴上的双曲线;

表示焦点在 y轴上的双曲线。

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m的范围。 2 ? m m ?1
答案:m

? ?1或m ? ?2 。

1.已知双曲线两个焦点分别为 F 到F 1 (?5,0), F 2 (5,0) ,双曲线上一点 P 1 , F2 距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。 解:因为双曲线的焦点在轴

x上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
因为
2 2 2 2a ? 6,2c ? 10 ,所以 a ? 3, c ? 5 ,所以 b ? 5 ? 3 ? 16.

因此,双曲线的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 16

小结:求标准方程要做到先定型,后定量。

求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在X轴上,

x y ? ?1 答案: ① 16 9

15 , 2) ②焦点在在X轴上,经过点 ( ? 2 ,? 3 ), ( . 3 2 2

; a ? 4, b ? 3

x2 y2 ② 设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b

15 , 2) 得 代入点 (? 2 ,? 3 ), ( 3
3 ? 2 ? ?1 ? a2 b2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 3a

2m ? 3n ? 1 ? 1 1 ? 令 m ? 2 ,n ? 2 则 5 ? m ? 2n ? 1 a b ? ?3

m ?1 ? ? 1 解得 ? n ? ? 3 ?

2 y 故所求双曲线的标准方程为 x 2 ? ? 1. 3

2.已知A,B 两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒,且声速为340m/s,

求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析: 假设爆炸点为P,爆炸点距A地比B地远; P

PA ? PB ? 2 ? 340
爆炸点P的轨迹是靠近B处 的双曲线的一支。 A B

解:建立如图所示的直角坐标系 点O 与线段 AB 的中点重合。 设爆炸点 即

xOy,使 A, B 两点在 x 轴上,并且坐标原
, PA ? PB ? 340? 2 ? 680

P的坐标为 ( x, y )

,则

2a ? 680 , a ? 340.
2c ? 800, c ? 400, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 .

又 AB ? 800 ,

y

所以

P
A O B

因为 所以

PA ? PB ? 340? 2 ? 680 ? 0,

x ? 0.

x

因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的 方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0). 115600 44400

双曲线的定义

双曲线的标准方程

应用

60页练习1、2;

66页习题2.3 A组1、2题。


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