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26.1.3(第五课时)二次函数y=a(x-h)^2+ k的图象与性质


二次函数的 图象和性质

复习导入

?在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象.

观察图象,回答问题
y ? 3x
2

y ? 3?x ?1?

2

(1) 函 数 y=3(x-1)2 的图象与y=3x2 的图 象有什么关系?它是 轴对称图形吗?它的 对称轴和顶点坐标 分别是什么?

?

(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值 随x值的增大而增大?x取哪些值时,函 数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少?

我思考,我进步
y=3(x-1)2 +2

把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得 函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢?

?

我思考,我进步
探讨1、 二次函数y=3x? ,y=3(x1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看.

?

在同一坐标系中作出二次函数y=3x? ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数 y=3x? ,y=3(x1)2和y=3(x1)2+2的图象 有什么关系? 它们的开口方 向,对称轴和 顶点坐标分别 是什么?

他们 的形 状是 不是 相同 呢?

y=3x2

向右

y=3(x-1)2

向上

y=3(x-1)2+2

?二次函数y=3(x-1)2+2的

y ? 3x 2

图象和抛物线 y=3x? ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.

y ? 3?x ?1? ? 2
2

y ? 3?x ?1?

2

?二次函数y=3(x-1)2+2的

y ? 3x 2

图象和抛物线 y=3x? ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.

y ? 3?x ?1? ? 2
2

y ? 3?x ?1?

2

X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.

?二次函数y=3(x-1)2+2的

y ? 3x 2

图象和抛物线 y=3x? ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.

y ? 3?x ?1? ? 2
2

y ? 3?x ?1?

2

X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.

顶点是(1,2).

?二次函数y=3(x-1)2+2的

y ? 3x 2

图象和抛物线 y=3x? ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.

y ? 3?x ?1? ? 2
2

y ? 3?x ?1?

2

X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.

开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.

顶点是(1,2).

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

y=3x2

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象

y ? 3( x ? 1) ? 2
2

探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.

y ? 3x 2
y ? 3?x ?1?
2

y ? 3?x ?1? ? 2
2

X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.

探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.

y ? 3x 2
y ? 3?x ?1?
2

y ? 3?x ?1? ? 2
2

顶点是(1,-2).

X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.

探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.

y ? 3x 2
y ? 3?x ?1?
2

y ? 3?x ?1? ? 2
2

顶点是(1,-2).

X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.

?想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x? ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看.

y=3x2 y=3x2

向右
向右

y=3(x-1)2 y=3(x-1)2

向上
向下

y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2

我思考,我进步
探讨3、 在同一坐标系中作出二次函
数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x? 和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x? ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴 对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大 而减小?

?二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 ?线y=-3x? ,y=-3(x-1)2有什 ?么关系? 它的开口方向,对 ?称轴和顶点坐标分别是什 ?么? 2
二次函数y=-3(x-1) +2与 y=-3(x-1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

y

y ? ?3?x ?1? ? 2
2

y ? ?3x 2
y ? ?3?x ?1? ? 2
2

y ? ?3?x ?1?

2

X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.

?二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 ?线y=-3x? ,y=-3(x-1)2有什 ?么关系? 它的开口方向,对 ?称轴和顶点坐标分别是什 ?么? 2
二次函数y=-3(x-1) +2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

顶点分别是 (1,2)和(1,-2).

y

y ? ?3?x ?1? ? 2
2

y ? ?3x 2
y ? ?3?x ?1? ? 2
2

y ? ?3?x ?1?

2

开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值=-2).

X=1

y=3x2 y=3x2

向右
向右

y=3(x-1)2 y=3(x-1)2

向上
向下

y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2

2 向右 y=-3x 2 向右 y=-3x

y=-3(x-1)2
y=-3(x-1)2

向上
向下

y=-3(x-1)2+2
y=-3(x-1)2-2

我思考,我进步
探讨4、二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=3x? ,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?

y ? ?3?x ?1? ? 2
2

y ? ?3?x ? 1?
2

2

y ? ?3x
x=1

2

二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

y ? ?3?x ?1? ? 2

对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.

?先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.

y ? ?3?x ?1? ? 2
2

顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..

y ? ?3?x ? 1?
2

2

y ? ?3x
x=1

2

二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

y ? ?3?x ?1? ? 2

对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.

?先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.

y ? ?3?x ?1? ? 2
2

顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..

y ? ?3?x ? 1?
2

2

y ? ?3x
x=1

2

二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

y ? ?3?x ?1? ? 2

开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).

对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.

?先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.

y ? ?3?x ?1? ? 2
2

顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..

y ? ?3?x ? 1?
2

2

y ? ?3x
x=1

2

二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.

y ? ?3?x ?1? ? 2

开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).

对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.

?先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.

y=3x2 y=3x2

向右
向右

y=3(x-1)2 y=3(x-1)2

向上
向下

y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2

2 向右 y=-3x 2 向右 y=-3x 2 向左 y=-3x 2 向左 y=-3x

y=-3(x-1)2
y=-3(x-1)2 y=-3(x+1)2

向上
向下

y=-3(x-1)2+2
y=-3(x-1)2-2 y=-3(x+1)2+2

向上
向下

y=-3(x+1)2

y=-3(x+1)2-2

(1)二次函数y=3(x+1)2的图象可以把二次函 数y=3x2的图象向左平移1个单位得到,它的对 称轴是x=-1 (即x+1=0),顶点坐标是(-1,0)
?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象可以把二次 函数y=-3x2的图象先向右平移2个单位,再向 向上平移4个单位得到,它的对称轴是x=2(即 x-2=0),顶点坐标是(2, 4)
?

y=a(x-h)? +k与y=ax? 的关系
?

?

一般地, y=a(x-h)? +k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax? 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体 上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移) 得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)? +k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值 有关.

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=a(x-h)2+k(a>0)
(h,k)
直线x=h
由h和k的符号确定

y=a(x-h)2+k(a<0)
(h,k)

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

直线x=h
由h和k的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

?

?

1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标 及最值: 1 1 2 2 ?1? .y = 2 ? x + 3 ? - , ? 2 ? .y = - ? x + 1? - 5. 2 3

?

2.对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?

y=a(x-h)? +k与y=ax? 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时, 开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: (1) 只是位置不同、顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)? +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax? 的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移; 当k<0时,向下平移)得到的.

1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验 证.
?
3 2 ?1?. y ? 2?x ? 3? ? 5; ?2?. y ? ?0.5?x ?1? ; ?3?. y ? ? 4 x ? 1; 3 2 2 2 ?4?. y ? 2?x ? 2? ? 5; ?5?. y ? 0.5?x ? 4? ? 2; ?6?. y ? ? 4 ?x ? 3? .
2 2

?

2.填写下表:
y=a(x-h)? +k

开口方向

对称轴

顶点坐标

a>0 a<0

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中考语录
中考是人生的第 一个十字路口,车 辆很多,但要勇敢 地穿过去。


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