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浙江省金华一中2013届高三10月考数学(理)试题


金华一中高三年级 10 月月考数学(理)
命题:王 晖 校对:金建军 测试日期:2012 年 10 月 31 日 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知函数 f ( x) ?

1 1? x2

的定义域为 M, g ( x) ? ln(1

? x) 的定义域为 N,则 M ? (C R N ) = ( D. x | ?1 ? x ? 1 } ( ( )

A. { x | x ? 1 } 2. “

B. { x | x ? ?1 }

C. ?

1 1 ? x ? 2" 是“不等式 | x ? 1 |? ”成立的 2 2
B.必要不充分条件 C.充要条件

)

A.充分不必要条件 3. 设 tan ? ? A. ?

D.既不充分也不必要条件 ( )

3 3? ,? ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的值 3 2
B. ?

1 3 ? 2 2

1 3 ? 2 2

C.

1 3 ? 2 2

D.

1 3 ? 2 2
( )

4. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 11, S12 ? 186, 则a8 = A.18 B.20 C.21 D.22

5. 已 知 ? ? 0 , 函 数 f ( x) ? sin( x? ?

?
4

在( )

?
2

,? ) 上 单 调 递 减 , 则 ? 的 取 值 范 围 是
( )

A. [ , ]

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

C. (0, ]

1 2

D. (0, 2]

? x ? 2y ? 2 ? 6. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , 则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ( ? 4 x ? y ? ?1 ?
A. [ ?



3 , 6] 2

B. [?

3 , ?1] 2

C. [?1,6]

D. [?6, ]

3 2

?3x , ( x ? 1), ? 7. 已知函数 f ( x) ? ?log x, ( x ? 1), ,则函数 y ? f (1 ? x) 的大致图象是 ? 1 ? 3 y y y y
O A
2





x

O B

x C

O

x

O D

x

8. 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为(-2,1) ,则不等式 ax ? (a ? b) x ? c ? a ? 0 的解集
2







A. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??)

B. (?3,1)

C. (?1,3)

D. (??,?3) ? (1,??)

9. 已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 2) ,当 x ? 1时, f (x) 单调递减, 如果 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值 A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 ( D.可正可负 )

10. 已知 O 是锐角三角形 ABC 的外接圆的圆心,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A=
?? cos C ? ?? ? ?? cos B ? ? AB ? ? AC ? 2m AO ,则 m,的值为 sin C sin B

? , 4






A.

2 2

B. 1

C.

2 4

D.

1 2

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. )
? 11. 已知数列{ a n } 满足 a m?n ? a m ? a n (m,n ? N ),且 a 2 ? 3 ,则 a 8 =_____________.

12. 若 tan ? +
?

1 =4,则 sin2 ? =_____________. tan ?
? ? ? ? ?

13. 已知 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 ( a ? c ) // b ,则 k = 14. 已知 x ? 0, y ? 0, 且 是 。



2 1 ? ? 1, 若x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

? ? ? ? ? ? 15. 若平面向量 a, b 满足: | a ? 2 b |? 3 ,则 a ? b 的最大值是________________.

16. 已知在函数 y ? ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 5 x 曲线上存在唯一点 P ( x0 , y 0 ) ,过点 P 作曲线的切线 3 l 与曲线有且只有一个公共点 P,则切线 l 的斜率 k = ______________.

17. 在平面直角坐标系中,若点 A , B 同时满足:①点 A , B 都在函数 y ? f ( x) 图象上; ②点 A , B 关于原点对称,则称点对( A , B )是函数 y ? f ( x) 的一个“兄弟点对” (规 定点对( A , B )与点对( B , A )是同一个“兄弟点对”. ) 那么函数 f ( x) ? ?

? x ? 4, x ? 0, 的“兄弟点对”的个数为 2 ? x ? 2 x, x ? 0,

;当函数

g ( x) ? a x ? x ? a 有“兄弟点对”时, a 的取值范围是______________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. 已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边 a, b, c ,且 a cosC ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求△ABC 的周长 L 的取值范围。

1 c ? b。 2

19. 已知等差数列 {a n } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a 5 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ?

2

n2 ? n ?1 ,求数列 {bn } 的前 99 项和。 a n ? a n ?1

20. 已知 ?ABC 的周长为 6,角 A, B, C 所对的边 a, b, c 成等比数列。 (1)求角 B 的最大值以及边 b 的最大值; (2)设 ?ABC 的面积为 S ,求 S ?

1
? ?? ? ??

的最大值。

BA ? BC

21. 设函数 f ?x ? ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 2 1 a (2)令 F ?x ? ? f ?x ? ? ax2 ? bx ? ?0 < x ≤ 3 ? ,其图像上任意一点 P ?x0 , y0 ? 处切线 2 x 1 的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(3)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ?x ? ? mx 在区间 1, e 内有唯一实数解,求实数 m 的
2

? ?

取值范围。

1 x . ? ln 2 1? x (1)求证:存在定点 M ,使得函数 f ( x) 图象上任意一点 P 关于 M 点对称的点 Q 也在函 数 f ( x) 的图象上,并求出点 M 的坐标;
22. 已知函数 f ( x) ? (2) (1) 根据 的对称性质, 定义 Sn ? 且 n≥ 2 ,求 S2011 ; (3)对于(2)中的 S n ,求证:对于任意 n ? N 都有 ln Sn ? 2 ? ln Sn ?1 ?
*

? f ( n) ? f ( n) ? f ( n) ?? ? f (
i ?1

n ?1

i

1

2

n ?1 其中 n ? N * ), n

1 1 ? . n 2 n3

18.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a cosC ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求△ABC 的周长 L 的取值范围。

1 c ? b。 2

1 【解】(1)由 acosC+ c=b 和正弦定理得, 2 1 sinAcosC+ sinC=sinB, 2 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 1 ∴ sinC=cosAsinC, 2 1 ∵sinC≠0,∴cosA= , 2 π ∵0<A<π ,∴A= . 3 (2)由正弦定理得,b= 则 l=a+b+c=1+ =1+ 2 3 2

asinB 2 asinC 2 = sinB,c= = sinC, sinA sinA 3 3

(sinB+sinC) 3

[sinB+sin(A+B)] 3 1 π sinB+ cosB)=1+2sin(B+ ). 2 2 6

=1+2(

π 2π π π 5π ∵A= ,∴B∈(0, ),∴B+ ∈( , ), 3 3 6 6 6 π 1 ∴sin(B+ )∈( ,1], 6 2 ∴△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]

19. (本题满分 14 分)已知等差数列 {a n } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等 比数列, S 5 ? a 5
2

(1)求数列 {a n } 的通项公式;

n2 ? n ?1 (2)若数列 {bn } 满足 bn ? ,求数列 {bn } 的前 99 项和。 a n ? a n ?1
解:(1)设数列{an}的公差为 d(d>0), ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴a3=a1a9,
2

∴(a1+2d) =a1(a1+8d),∴d =a1d, ∵d>0,∴a1=d,① 5×4 2 2 ∵S5=a5,∴5a1+ ·d=(a1+4d) ② 2 3 3 3 3 3 * 由①②得 a1= ,d= ,∴an= +(n-1)× = n(n∈N ). 5 5 5 5 5
2 1 ? n2+n+1 25 n +n+1 25? 1 (2)bn= = · = ?1+ - ?, 3 3 9 n(n+1) 9 ? n n+1? n· (n+1) 5 5

2

2

∴b1+b2+b3+?+b99 1 ?1+1-2+1+1-1+1+1-1+?? 25 2 3 3 4 25 ? ?= ×?99+1- 1 ? = × ? ? 100? 9 ? 1 1 ? 9 ? +1+ - ? 99 100 ? =275+2.75=277.75.

20.已知 ?ABC 的周长为 6,角 A, B, C 所对的边 a, b, c 成等比数列。 (1)求角 B 及边 b 的最大值; (2)设 ?ABC 的面积为 S ,求 S ?

1
? ?? ? ??

的最大值。

BA ? BC

21.设函数 f ?x ? ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 2 1 2 a (2)令 F ?x ? ? f ?x ? ? ax ? bx ? ?0 < x ≤ 3 ? ,其图像上任意一点 P ?x0 , y0 ? 处切线 2 x 1 的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2

(3)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ?x ? ? mx 在区间 1, e 内有唯一实数解,求实数 m 的
2

? ?

取值范围。

22.已知函数 f ( x) ?

1 x . ? ln 2 1? x (1)求证:存在定点 M ,使得函数 f ( x) 图象上任意一点 P 关于 M 点对称的点 Q 也在函

数 f ( x) 的图象上,并求出点 M 的坐标; (2) Sn ? 其中 n ? N * 且 n≥ 2 ,求 S2011 ;

? f ( n) ? f ( n) ? f ( n) ?? ? f (
i ?1

n ?1

i

1

2

n ?1 ), n

(3)求证:对于任意 n ? N 都有 ln Sn ? 2 ? ln Sn ?1 ?
*

1 1 ? . n 2 n3

解: (Ⅰ)显然函数定义域为(0,1). 设点 M 的坐标为(a, b) ,则

由 f ( x) ? f (2a ? x) ? ? ln

x 1 2a ? x ? x 2 ? 2ax ? ? ln ? 1 ? ln 2 ? 2b 1? x 2 1 ? 2a ? x ? x ? 2ax ? 1 ? 2a ?1 ? 2a ? 0, 1 对于 x ? (0,1) 恒成立,于是 ? 解得 a ? b ? . 2 ?1 ? 2b. 1 2

1 1 所以存在定点 M ( , ) , 使得函数 f(x)的图象上任意一点 P 关于 M 点对称的点 Q 也 2 2 在函数 f(x)的图象上. (Ⅱ)由(Ⅰ)得
1 2 n?2 n ?1 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, ∵ Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f ( ) n n n n

……① …②

∴ Sn ? f (1 ? ) ? f (1 ? ) ? ? ? f ( ) ? f ( )
n ?1 (n ≥ 2, n ? N* ) ,故 S2011 ? 1005. 2 S 1 (Ⅲ)当 n ? N* 时,由(Ⅱ)知 ln Sn ? 2 ? ln Sn ?1 ? ln n ? 2 ? ln(1 ? ) , Sn ?1 n

1 n

2 n

2 n

1 n

①+②,得 2Sn ? n ? 1 ,∴ Sn ?

于是 ln Sn ? 2 ? ln Sn ?1 ?

1 1 1 1 1 ? 3 等价于 ln(1 ? ) ? 2 ? 3 . 2 n n n n n

3x3 ? ( x ? 1)2 , x ?1 ∴当 x ? [0, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,即函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,又 g(0)=0.

令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? ln(1 ? x) ,则 g ?( x) ?

于是,当 x ? (0, ?? ) 时,恒有 g ( x) ? g (0)? 0,即 x3 ? x2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立.
x ? (0, ?? )时,有 ln(1 ? x) ? x 2 ? x3 成立,取 x ?

故当

1 ? (0, ??) , n

则有 ln( ? 1) ?

1 n

1 1 ? 成立. n 2 n3


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