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高中数学函数知识点总结


高中数学函数知识点总结
.8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y =

x(4 ? x) lg( x ? 3)
2

的定义域是

(答:(0, 2) ∪(2 , 3) ∪(3, 4))
函数定义域求法: 分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 正切函数 y = tan x 余切函数 y = cot x 反三角函数的定义域

π ? ? ? x ∈ R,且x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?

(x ∈ R,且x ≠ kπ , k ∈ Ζ )

函数 y=arcsinx 的定义域是 [-1, 1]

,值域是

,函数 y=arccosx 的定义

域是 [-1, 1] , 值域是 [0, π] , 函数 y=arctgx 的定义域是 R , 值域是

.,

函数 y=arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时, 先分别求出满足每一个条件的自变量的 范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f ( x)的定义域是 a,b ,b > ? a > 0,则函数F(x) = f ( x) + f (? x)的定
义域是_____________。

[

]

(答: a, ? a )

[

]

复合函数定义域的求法:已知 y = f (x ) 的定义域为 [m, n ] ,求 y = f [g (x)] 的定义域, 可由 m ≤ g ( x ) ≤ n 解出 x 的范围,即为 y = f [g (x)] 的定义域。 11、函数值域的求法

1

1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=

1 的值域 x

2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x -2x+5,x ∈ [-1,2]的值域。
2

3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他 方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y = 2 型,先化简,再用均值不等式 x + mx + n 1 x 1 例:y = = ≤ 2 1 2 1+x x+ x 2 x + m ′x + n ′ c.. y = 2 型 通常用判别式 x + mx + n x2 + mx + n d. y = 型 x+n 法一:用判别式 a. y = 法二:用换元法,把分母替换掉
2 x2 + x + 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 例:y = = = (x+1) + ?1 ≥ 2 ?1 = 1 x +1 x +1 x +1

6、函数单调性法 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+ x ? 1 的值域。 8 数形结合法

例求函数 y=

( x ? 2)

2

+

( x +8)

2

的值域。

2

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) ,B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不 要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂

如:f

(

x + 1 = e x + x,求f (x). 令t = x + 1,则t ≥ 0

)

∴x = t 2 ? 1
∴f ( t ) = e t
2

?1

+ t2 ?1
+ x 2 ? 1 ( x ≥ 0)

∴f ( x) = e x

2

?1

15

. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得 x1,x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) 的正负号或者 与 1 的关系 x1 ? x2 f ( x2 )

(2)参照图象: ①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间具 有相同的单调性; (特例:奇函数) ②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称,则函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间 里具有相反的单调性。 (特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质:

3

①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向变化的;当 c<0 时,它 们是反向变化的。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变化; (函数 相加) ④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化;如 果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化; (函数相 乘) ⑤函数 f(x)与
1 f ( x)

在 f(x)的同号区间里反向变化。

⑥ 若 函 数 u = φ(x) , x[α , β] 与 函 数 y = F(u) , u∈[φ(α) , φ(β)] 或 u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数 y=F[φ(x)]是递增的; 若函数 u=φ(x),x[α,β]与函数 y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或 u∈[φ(β), φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数 y=F[φ(x)]是递减的。 (同增异减) -1 ⑦若函数 y=f(x)是严格单调的,则其反函数 x=f (y)也是严格单调的,而且,它 们的增减性相同。

f(g) 增 增 减 减

g(x) 增 减 增 减

f[g(x)] 增 减 减 增

f(x)+g(x) 增 / / 减

f(x)*g(x) 都是正数 增 / / 减

如:求y = log 1 ? x 2 + 2 x 的单调区间
2

(

)

(设u = ? x 2 + 2 x,由u > 0则 0 < x < 2
且 log 1 u ↓ ,u = ?( x ? 1) + 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ∈ (0,1]时,u ↑ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↓
2

当x ∈[1, 2) 时,u ↓ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↑
2

∴……)

16. 如何利用导数判断函数的单调性?
4

在区间(a,b)内,若总有f '( x) ≥ 0则f ( x) 为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ≤ 0呢? 如:已知a > 0,函数f ( x) = x 3 ? ax在[1, + ∞)上是单调增函数,则a的最大
值是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

? a ?? a? (令f ' ( x) = 3x 2 ? a = 3? x + ??x ? ? ≥0 3?? 3? ?

则x ≤ ?

a 或x ≥ 3

a 3 a ≤ 1,即a ≤ 3 3

由已知f ( x) 在[1, + ∞) 上为增函数,则
∴a 的最大值为 3)

17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f ( ? x) = ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) = f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

( 2 )若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) = 0。

判断函数奇偶性的方法 一、定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.

.
二、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 f ( ? x) ,然后根据函数的奇偶性的定义 判断其奇偶性.

5

这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) =1 f(-x) f(x) = ?1 f(-x)
三、复合函数奇偶性

奇函数 偶函数 偶函数 奇函数

f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶

f[g(x)] 奇 偶 偶 偶

f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶

f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

18. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ≠ 0),在定义域内总有f (x + T) = f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。 )

如:若f ( x + a ) = ? f ( x) ,则

(答:f ( x) 是周期函数,T = 2a为f ( x) 的一个周期)
我们在做题的时候, 经常会遇到这样的情况: 告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,

f (x) + f (x + t) = 0 ? 这时说这个函数周期 2t. 推导: f ( x + t ) + f ( x + 2 t ) = 0 ? = > f ( x ) = f ( x + 2 t ) , ?
同时可能也会遇到这种样子: f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意 思:函数 f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如, f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。

又如:若f ( x)图象有两条对称轴x = a,x = b 即f (a + x) = f (a ? x),f (b + x) = f (b ? x) ? f ( x) = f (2a ? x) ? => ? ? => f (2a ? x) = f (2b ? x) ? f ( x) = f (2b ? x) ? 令t = 2a ? x, 则2b ? x = t + 2b ? 2a, f (t ) = f (t + 2b ? 2a ) 即f ( x) = f ( x + 2b ? 2a ) 所以,函数f ( x)以2 | b ? a | 为周期(因不知道a, b的大小关系, 为保守起见,我加了一个绝对值
如:

6

19. 你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x) 与f ( ? x) 的图象关于 y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y) f ( x) 与 ? f ( x) 的图象关于 x轴 对称
联想点(x,y),(x,-y) 联想点(x,y),(-x,-y) 联想点(x,y),(y,x)

f ( x) 与 ? f ( ? x) 的图象关于 原点 对称

f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y = x 对称

f ( x) 与f (2a ? x) 的图象关于 直线x = a 对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图象关于 点 (a, 0) 对称
联想点(x,y),(2a-x,0)

左移a (a>0) 个单位 y = f ( x + a ) 将y = f ( x) 图象 ? ??????? → ? 右移a (a>0) 个单位 y = f ( x ? a ) 上移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) + b ? ??????? → ? 下移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) ? b
(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧。对于 这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x)得到,可以直接 令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹 了。 ) 注意如下“翻折”变换:

f ( x) ?? | f ( x ) | 把x轴下方的图像翻到上面 → f ( x) ?? f (| x |)把y轴右方的图像翻到上面 →

如:f ( x) = log 2 ( x + 1)

作出y = log 2 (x + 1) 及y = log 2 x + 1 的图象

7

y y=log2x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗? (k<0) y (k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y = kx + b ( k ≠ 0)
( 2 )反比例函数:y =
的双曲线。

(k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点)

k k (k ≠ 0)推广为y = b + (k ≠ 0)是中心O' (a,b) x x?a
2

b? 4ac ? b 2 ? ( 3)二次函数y = ax + bx + c (a ≠ 0) = a? x + ? + 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x = ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a > 0,向上,函数y min = 4ac ? b 2 4a

a < 0,向下,y max = 根的关系:x = ?b ± △ 2a

4ac ? b 2 4a

b c △ x1 + x2 = ? , x1 × x2 = ,| x1 ? x2 |= a a |a|

8

二次函数的几种表达形式: f ( x) = ax 2 + bx + c(一般式) f ( x) = a ( x ? m) 2 + n(顶点式,(m,n)为顶点 f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )( x1 , x2是方程的2个根) f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) + h(函数经过点(x1 , h)( x2 , h)
应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 + bx + c = 0,? > 0时,两根x 1 、x 2 为二次函数y = ax 2 + bx + c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 + bx + c > 0 ( < 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。

b ) f max = f (m), f min = f (n) 2a b 区间在对称轴右边(m > ? ) f max = f (n), f min = f (m) 2a b 区间在对称轴2边 (n < ? < m) 2a 4 ac ? b 2 f min = , f max = max( f (m), f (n)) 4a 也可以比较m, n和对称轴的关系, 距离越远,值越大 区间在对称轴左边(n < ? (只讨论a > 0的情况)
③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?? ≥ 0 ? b ? 如:二次方程ax 2 + bx + c = 0的两根都大于k ? ?? >k 2a ? ?f ( k ) > 0 ?
y

(a>0)

O

k

x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k ) < 0

9

?? ≥ 0 ? ?m < ? b < n ? 在区间(m,n)内有2根 ? ? 2a ? f ( m) > 0 ? ? f ( n) > 0 ? 在区间(m,n)内有1根 ? f (m) f (n) < 0

( 4 )指数函数:y = a x (a > 0,a ≠ 1) (5)对数函数y = log a x(a > 0,a ≠ 1)
由图象记性质! (注意底数的限定! ) y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=logax(a>1)

(0<a<1)

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a 0 = 1 (a ≠ 0) ,a ? p =

1 (a ≠ 0) ap

a

m n

= a
n

m

(a ≥ 0) ,a

?

m n

=

1
n

am

(a > 0)

对数运算: a ( M × N ) = log a M + log a N ( M > 0,N > 0 ) log
log a M 1 = log a M ? log a N, log a n M = log a M N n

对数恒等式:a loga x = x
对数换底公式: a b = log log a x = 1 log x a log c b n ? log a m b n = log a b log c a m

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

如:(1)x ∈ R,f ( x) 满足f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。
10

(先令x = y = 0 ? f (0) = 0再令y = ? x,……) ( 2 )x ∈ R,f ( x) 满足f ( xy) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x = y = ? t ? f [( ? t )( ? t )] = f ( t·t )

∴f ( ? t ) + f ( ? t ) = f ( t ) + f ( t ) ∴f ( ? t ) = f ( t ) ……)
( 3)证明单调性:f ( x 2 ) = f ( x 2 ? x 1 ) + x 2 = ……
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了 1、 代 y=x, 2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 3、 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1 ( 对任意实数 x、 均有 f x+y) (x) (y) 且当 x>0 时, y ( =f +f , f(x)>0, 例 1 已知函数 f x) f(-1)= -2 求 f(x)在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(注意到 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2 -x1)+f(x1);再根据区间求其值域. ) ,且当 x>0 时, 例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y) 2 f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a -2a-2)<3 的解. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(仿例 1) ;再求出 f(1)=3;最后脱去函数 符号. ,且 f(-1)=1,f(27) 例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y) =9,当 0≤x<1 时,f(x)∈[0,1]. (1) 判断 f(x)的奇偶性; (2) 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; (3) 若 a≥0 且 f(a+1)≤ 3 9 ,求 a 的取值范围. 分析: (1)令 y=-1; (2)利用 f(x1)=f( (3)0≤a≤2. ,满足条件:存在 x1≠x2,使得 f(x1) 例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞) ≠f(x2) ;对任何 x 和 y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求: (1) f(0) ; (2) 对任意值 x,判断 f(x)值的符号. 分析: (1)令 x= y=0; (2)令 y=x≠0

[

]

x1 x ·x2)=f( 1 )f(x2) ; x2 x2

11

, 例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x·y)=f(x)+f(y) f(3)=1,求: (1) f(1) ; (2) 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围. 分析: (1)利用 3=1×3; (2)利用函数的单调性和已知关系式. 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有 些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要 进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) , 例 9 已知函数 f(x) (1) 求证:f(1)=f(-1)=0; (2) 求证:f(x)为偶函数; (3) 若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x- 分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0) (1) 先令 x=y=1,再令 x=y= -1; (2) 令 y= -1; (3) 由 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|). ·f(y) ,且当 例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y)=f(x) x<0 时,f(x)>1,求证: (1) 当 x>0 时,0<f(x)<1; (2) f(x)在 x∈R 上是减函数. 分析: (1)先令 x=y=0 得 f(0)=1,再令 y=-x; (3) 受指数函数单调性的启发: 由 f(x+y)=f(x)f(y)可得 f(x-y)=

1 )≤0. 2

f ( x) , f ( y)

进而由 x1<x2,有

f ( x1 ) =f(x1-x2)>1. f ( x2 )

练习题: 1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数 x、y 都成立,则( ) (A)f(0)=0 (B)f(0)=1 (C)f(0)=0 或 1 (D)以上都不对 2. 若对任意实数 x、y 总有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则下列各式中错误的是( (A)f(1)=0 (B)f(



1 )= f(x) x

(C)f(

x )= f(x)-f(y) y

(D)f(xn)=nf(x) (n∈N)

3.已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y) ,且当 x

12

<0 时,f(x)>1,则当 x>0 时,f(x)的取值范围是( ) (A) (1,+∞) (B) (-∞,1) (C) (0,1) (D) (-1,+∞) 4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 f(x)为( 1 + f ( x1 ) f ( x 2 )



(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x、y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f (y)],则函数 f(x)是( ) (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数

参考答案: 参考答案: 1.A . 2.B . 3.C . 4.A . 5.B .

13


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