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【热点重点难点专题透析】2015届高考数学(理科·湖北)二轮专题复习课件:第7专题 高考数学选择题解题策略


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第二篇 题 型 专 题

【引言】 数学选择题在高考试卷中, 不但题目数量多, 而且占总 分值的比例高.

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高考数学试题中, 选择题基础性强, 知识覆盖面广, 小巧 灵活, 有一定的综合性和深度, 渗透了各种数学

思想和方法, 主要考查对基础知识的理解、基本技能的掌握、基本方法 的运用及基本计算的准确性、考虑问题的严谨性、解题速 度的快捷性等.

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考生迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分 的关键, 对高考数学成绩影响很大. 高考中的数学选择题一 般是容易题或中等难度题, 个别题属于较难题, 当中的大多 数题可用特殊的方法快速选择 . 解答选择题的基本策略: 要 充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断 . 一般说来, 能定性判断的, 就不再使用复杂的定量计算; 能使用特殊值 判断的, 就不必采用常规解法; 能使用间接法解的, 就不必采

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用直接法解; 对于明显可以否定的选项应及早排除, 以 缩小选择的范围; 对于具有多种解题思路的, 宜选最简解法; 等等. 解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏, 初选后认真检验, 确保准确.

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解数学选择题的常用方法, 主要分直接法和间接法两大 类. 直接法是解答选择题最基本、最常用的方法; 但高考的题 量较大, 如果所有选择题都用直接法解答, 不但时间不允许, 而且有些题目根本无法解答. 因此 , 我们还要掌握一些特殊 的解答选择题的方法, 如筛选法 ( 也叫排除法、 淘汰法 ) 、 特例 法、图解法 ( 数形结合) 等. 【题型示例】 方法一: 直接法

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所谓直接法, 就是直接从题设条件出发, 运用有关概念、 性质、定理、法则和公式等知识, 通过严密的推理和准确的 运算, 从而得出正确的结论, 然后对照题目所给出的选项“对 号入座”, 作出相应的选择 . 涉及概念、性质的辨析或较简单 题目的运算常用直接法 .

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若复数 z 满足( 1+ i ) z= 2- i , 则 + 等于( A.


) .

B.





C. 2

D .

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【解析】由( 1+i )z=2- i , 可得 z=

- ( -)(-) - +

=



=



, 所以

z+ i = -i , 则 + = .
【答案】B





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- + ≥ , 已知实数 x, y 满足: < 2, z=| 2x-2y-1| , 则 + - ≥ ,

z 的取值范围是(
A. [, 5]


) .


B. [ 0, 5] C . [ 0, 5) D . [, 5)

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【解析】画出线性区域如图所示, 令 u=2x-2y-1, 则

y=x-

+

,

先画出直线 y=x, 再平移直线 y=x, 当经过点

A (2, -1) , B( ,) 时, 代入 u, 可知 - ≤u<5, ∴z=| u| ∈[ 0, 5) , 故选 C .
【答案】 C





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阅读下边的程序框图, 如果输出的 i的结果是 4, 那么空白的判断框中应填入的条件是( A. S ≤10 B . S ≤12 C. S ≤14 D . S ≤16 ) .

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【解析】i =2→S =2; i = 3→S = 2+6=8; i =4→S =8+ 4= 12, 故选 A. 【答案】 A

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6 4 ( 2014 浙江卷 ) 在( 1+x) ( 1+y) 的展开式中, 记 xm yn

项的系数为 f ( m, n) , 则f ( 3, 0) +f( 2, 1) +f( 1, 2) +f( 0, 3) =( A. 45 B . 60 C . 120 D . 210

) .

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【解析】∵
f(3,0)= = 20; f(2, 1)= = 60; f(1, 2)= = 36; f(0,3)=

= 4. ∴ f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= 120.
【答案】 C

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( 2014 浙江卷 ) 某几何体的三视图( 单位: cm ) 如图所 示, 则此几何体的表面积是 ( A. 90 cm 2 B. 129 cm 2 C. 132 cm 2 D. 138 cm 2 ) .

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【解析】由三视图可以看出该几何体是由一个三棱柱 和一个长方体构成, 故该几何体的表面积为 S=5?3+ 2? ?


4?3+ 4?3+ 2?4?6+ 2?4?3+ 6?3+ 3? 3= 138 cm 2. 【答案】D

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一款智能手机预装了 3 个阅读软件和 3 个资讯软 件, 这 6 个软件图标排成一排, 要求阅读软件 A 的图标不在两 端, 3 个资讯软件的图标有且只有 2 个相邻, 则软件图标的不 同排法是 ( ) .

A. 96 B . 216 C . 288 D . 360

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【解析】由题意可得 - 2 = 288.

【答案】C

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如图, 已知双曲线 - = 1( a>0, b>0) 的左、右焦点




分别为 F 1、 F 2, | F 1F 2| = 2, P 是双曲线右支上的一点, PF 1⊥

P F 2, F 2P 与 y 轴交于点 A , △ A P F 1 的内切圆半径为 , 则双曲
线的离心率是( A.




) .

B . C . D . 2

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【解析】因为 P F 1⊥P F 2, F 2P 与 y 轴交于点 A , △A P F 1 的内切圆半径为 , 所以 2r=| A P| +| P F 1| -| A F 1| , 因为


| A F 1| =| A F 2| =| A P| +| P F 2| , | P F 1| =| P F 2| +2a, 所以 a=r= , 所以双
曲线的离心率 e= = .




【答案】 B

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定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f( x) +f' ( x )>1, f( 0) =4, 则 不等式 exf ( x) > ex+ 3( 其中 e 为自然对数的底数) 的解集为 ( ) . A. ( 0, +∞) B . ( -∞, 0) ∪( 3, +∞) C. ( -∞, 0) ∪( 0, +∞) D . ( 3, +∞)

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【解析】设 F (x)= exf(x)- ex, 则F' (x ) = exf(x )+ exf' (x)- ex= ex[f(x)+f' (x )-1]> 0, 所以 F (x) 在

R 上为增函数, 而不等式 exf (x)> ex+ 3 可化为 F ( x)>F ( 0) , 所以 x> 0.
【答案】 A

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【点评】直接法是解答选择题最常用的基本方法, 直接 法适用的范围很广, 只要运算正确必能得出正确的答案 . 提 高直接法解选择题的能力, 准确地把握题目的“个性”, 用简 便方法巧解选择题, 是建立在扎实掌握“三基”的基础上, 否则一味求快则会快中出错.

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方法二: 特例法 用特殊值 ( 特殊图形、 特殊位置) 代替题设中的普遍条件, 得出特殊结论, 对各个选项进行检验, 从而作出正确的判断 . 常用的特例有特殊数值、特殊角、特殊数列、特殊函数、 特殊图形、 特殊位置等 . 这种方法实际上是一种 “小题小做” 的解题策略, 对解答某些选择题时往往十分奏效.

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( 1) 特殊值 函数 y=


的图象大致是(

) .

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【解析】 令 x= , 则 y=-1, 所以 C 、 D 不对; 令 x=- , 则 y=1,






所以 A 不对, 故选 B . 【答案】 B

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( 2) 特殊函数 定义在区间( -∞,+∞) 上的奇函数 f ( x) 是增函数, 偶函数 g( x) 在区间 [ 0, +∞) 上的图象与 f ( x) 的图象重合, 设

a>b>0, 给出下列不等式: ①f( b) -f(-a)>g(a)-g(-b) ; ②f( b) -f(-a)<g(a)-g(-b) ; ③f(a) -f(-b)>g( b)-g( -a) ;

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④f ( a) -f( -b) <g( b) -g( -a) .
其中成立的是( A. ①与④ B . ②与③ C. ①与③ D . ②与④ ) .

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【解析】 ( 法一 ) 因为函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数且为 单调递增函数, 偶函数 g( x) 在区间 [ 0, +∞)上的图象与 f(x)的图象 重合 , 已知 a>b>0, 则f (a)>f (b)>0, 得

①因为 f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)?f(b)+f(a)g(a)+g(b)=2f(b)>0( 因为 a>0, f(a)=g(a)), 所以 ①正确 ; ②因为 f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)?f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=2f(b)<0,
这与 f ( b)>0 矛盾 , 所以②错 ;

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③因为 f ( a) -f (-b)>g( b)-g(-a) ?f (a) +f( b)-g(b)+g(a)=2f(a)> 0,
这与 f ( a)>0 符合 , 所以 ③正确;

④因为 f ( a) -f (-b)<g( b)-g(-a) ?f (a) +f( b)-g(b)+g(a)=2f(a)< 0,
这与 f ( a)>0 矛盾 , 所以 ④错误 . 故选 C . ( 法二 ) 设f (x)=x, g(x)=| x| , a=2, b= 1, 则f (1)-f (-2)<g(2)-g(-1) 不成立, 所以 ②错误, f( 2)-f (-1)<g( 1)-g(- 2) 不正确, 所以 ④错误, 故选 C . 【答案】 C

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( 3) 特殊数列 已知等比数列{an}的公比为 q, 则 “0<q<1” 是 “{an} 为递减数列”的( ) .

A. 充分不必要条件B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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【解析】如数列-8, -4, -2 是公比为 的递增数列; 数列




- 8,-16,- 32 是公比为 2 的递减数列, 故选 D .
【答案】 D

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( 4) 特殊位置

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如图, P 为椭圆 + = 1 上第一象限内的任意一点,




过椭圆的右顶点 A 、上顶点 B 分别作 y 轴、 x 轴的平行线, 它们相交于点 C , 过 P 引 B C 、 A C 的平行线交 A C 于 N , 交

BC 于 M , 交 AB 于 D、 E, 记矩形 P M C N 的面积为 S 1, 三角形 P D E 的面积为 S 2, 则 S 1∶ S 2= (
A. 1B . 2 C. D.


) .

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【解析】不妨取点 P 的坐标为( 4, ), 则可计算 S 1=(3- )






?(5- 4)=, S 2=?(4-2) ?( - )= , 所以 S 1∶S 2=1.
【答案】 A









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( 5) 特殊方程 抛物线 y2=2px ( p>0) 的焦点为 F , 其准线经过双曲 线 - = 1( a> 0, b>0) 的左顶点, 点 M 为这两条曲线的一个交


点, 且| M F| =2p, 则双曲线的离心率为( A.


) .

B. 2 C . D .





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【解析】不妨设 y2=2px= 4x, 则根据条件可得

a= 1, | M F| =4, 所以 M (3, ±2 ), 代入 - = 1, 可得 b = , 所以
2





c=



+

= , 所以双曲线的离心率为 .

【答案】A

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【点评】正确选择对象, 在题设条件都成立的情况下, 用特殊方法( 取得越简单越好) 进行探求, 从而清晰、 快捷地得 到正确的答案, 即通过对特殊情况的研究来判断一般规律, 这是解答本类选择题的最佳策略.

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方法三: 图解法 ( 数形结合) 图解法就是利用函数图象或数学结果的几何意义, 将数 的问题 ( 如解方程、解不等式, 求最值, 求取值范围等) 与某些 图形结合起来, 利用几何直观性, 再辅以简单计算, 确定正确 答案的方法 . 这种解法贯穿数形结合思想, 每年高考均有很 多选择题 ( 也有填空题、 解答题) 都可以用数形结合思想解决, 既简捷又迅速.

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已知函数 f ( x )= l g( ax2+ 2bx+a) , 且 a, b∈R , 若f ( x) 的 值域为 R , 则( a+2)2+( b- 1)2 的取值范围是 ( A. ( 2, +∞) B . [ 2, +∞ ) C. [ 4, +∞ ) D . ( 4, +∞) ) .

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【解析】∵f (x ) =l g(ax 2+ 2bx+a) 的值域为 R , = , > , = , ∴ 或 ? 或 ≠ = - ≥ ≠ > , (-)( + ) ≥ . 画出可行域如图所示, 由( a+ 2)2+(b-1)2 的几何意义可知 (a+ 2)2+ ( b-1)2≥4, 故选 C . 【答案】 C

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设平面点集 A ={( x, y)| ( y-x)(y- )≥

2 0}, B = {(x,y)| ( x- 1)2+(y-1) ≤ 1}, 则 A ∩ B 所表示的平面图形的



面积为 (


) .


A .π B.π

C.π D .






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【解析】 A ∩B 所表示的平面图形是如图所示的阴影部 分, 根据图形的对称性, 阴影部分可拼接成一个半圆, 所以平 面图形的面积为 .


【答案】D

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2 ( 2014 福建卷) 设 P, Q 分别为 x2+ (y- 6) =2 和椭圆 2 +y =1 上的点, 则 P, Q 两点间的最大距离是(



) .

A. 5 B . + C . 7+ D . 6

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【解析】根据图象可知 P , Q 两点间的最大距离可转化 为圆心 C ( 0, 6) 到椭圆的最大距离加上半径 , 设 Q ( cos θ, si n θ) , 则

| CQ | = + ( -)= + -=
--=
-( + ) , 所以当

si n θ=-



时, | CQ | 取得最大值 5 , 此时 P , Q 两点间的最大距离是 6 .
【答案】D

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已知平面向量 a, b, c 不共线, 且两两之间的夹 角都为 120°, 若| a| = 2, | b| =2, | c| = 1, 则 a+b+c 与 a 的夹角是 ( ) . A. 60° B . 90° C . 120° D . 150°

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【解析】 ( 法一 ) 因为平面向量 a, b, c 不共线, 且两两之间 的夹角都为 120°,

∴a?b= 2?2?cos 120°=-2, a?c=2?1?cos 120° =- 1, b?c=2?1? cos 120°=- 1, | a+b+c| = + + + ? + ? + ?= 1.
设 a+b+c 与 a 的夹角是 θ, 则 0°≤θ≤180°,

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且 cos θ=

( ++) ? +?+? | ++|?||

=

×

= ,

∴θ= 60°.
( 法二 ) 建立直角坐标系, 设 a=( 2, 0) , b= (-1, ), 则

c=(-,- ), 所以 a+b+c=( , ) , 设 a+b+c 与 a 的夹角是 θ, 则 cos
θ= , 所以 θ=60°.








【答案】 A

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【点评】图解法并非属于选择题解题思路范畴, 但它在 解有关选择题时非常简便有效 . 不过运用图解法解题一定要 对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉 . 图解法实际 上是一种数形结合的解题策略 . 方法四: 代入检验法( 验证法 ) 将选项中给出的答案或其特殊值, 代入题干逐一去验证 是否满足题设条件, 然后选择符合题设条件的选项.

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若复数 z 满足: z+1= (z-1) i , 则复数 z 的共轭复数
?

= (

) . A. -i B . i C. 1- i D . 1+ i

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【解析】若=- i , 则 z=i , 不满足 z+1=(z-1)i , 所以 A 不对; 若 z=i , 则=- i , 满足 z+1=(z- 1)i , 所以 B 正确. 【答案】 B
?

?

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已知 l , m 是两条不同的直线, α 是一个平面, 且l ∥α, 则下列命题正确的是( A. 若l ∥m , 则 m ∥α B. 若 m ∥α, 则l ∥m C. 若l ⊥m , 则 m ⊥α D. 若 m ⊥α, 则l ⊥m ) .

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【解析】 由l ∥α, l∥ m , 可得 m ?α 或 m ∥α, 则 A 不正确 ; 由l ∥ α, m ∥ α, 可得 l ∥m 或 l , m 相交或 l,m 互为异面直 线, 则 B 不正确 ; 由l ∥ α, l⊥m , 可能推出 m ∥ α, 则 C 不正确 ; 由l ∥ α, m ⊥ α, 可得 l ⊥m , 则 D 正确 . 【答案】 D

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阅读下边的程序框图, 若输出的 S 的结果是

- 14, 则判断框内可填写(

) .

A. i < 6B . i <8 C. i <5 D . i <7

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【解析】若 i < 6, 则 S =2-1- 3- 5=- 7; 若i <8, 则

S = 2-1- 3- 5- 7=-14, 符合题意, 所以选 B .
【答案】 B

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已知等比数列{an}的前 n 项和为 S n, 则下列一定 成立的是 ( ) .

A. 若 a3> 0, 则 a2013< 0 B. 若 a4>0, 则 a2014< 0 C. 若 a3>0, 则 S 2013>0 D. 若 a4> 0, 则 S 2014>0

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【解析】 在选项 A 中, 若 a3>0, 根据等比数列的性质可知

a2013>0, 所以 A 不对 ; 在选项 B 中 , 若 a4>0, 根据等比数列的性
质可知 a2014>0, 所以 B 不对; 在选项 D 中 , 设 an=(- 1)n, 则 S 2014= 0, 所以 D 不对; 故选 C . 【答案】 C

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【点评】代入法适合题设复杂、结论简单的选择题. 若 能据题意确定代入顺序, 则能较大地提高解题速度. 方法五: 筛选法 ( 也叫排除法、淘汰法) 筛选法就是充分运用选择题中单选题的特征, 即有且只 有一个正确选项的特点, 从选项入手, 根据题设条件与各选

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项的关系, 通过分析、推理、计算、判断, 对选项进行筛 选, 将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除, 从而获得正确 结论的方法 . 使用筛选法的前提是“答案唯一”, 即四个选项 中有且只有一个答案正确. ( 2014 山东卷 ) 函数 f ( x)= ( ) . A. ( 0, ) B . ( 2, +∞ ) C. ( 0, ) ∪( 2, +∞) D . ( 0, ] ∪[ 2, +∞)


的定义域为

( )-

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【解析】当 x=2 时, 分母为 0, 不合题意, 排除 D ; 当 x= 4 时满足题意, 排除 A ; 当 x= 时满足题意, 排除 B ; 故选 C .


【答案】 C

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等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和为 S n, 若

S n+1, S n, S n+2 成等差数列, 则公比 q 为( A. -2 或 1 B . 1 C. -2 D . 2 或 -1

) .

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【解析】当 q=1 时, 等比数列{an}为常数列, 不满足条件

S n+1, S n, S n+2 成等差数列, 排除 A 、B ; 当 q=-1 时, 不满足条件 S n+1, S n, S n+2 成等差数列, 排除 D ; 故选 C .
【答案】C

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函数 f ( x) 的图象如图所示, 则f ( x) 的解析式可能是 ( ) . A. f(x )= cos 2x B. f(x )=-si n( x+ ) C. f(x )=cos( x- ) D. f(x)= si n ( x- )


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【解析】 当 x= π时, f(x)= 0, 排除 C ; 当 x=0 时, -1<f(x) < 0, 排除 A ; 由图象可知 < π , 则 T< π , 得 ω> , 排除 B ; 故选 D .




【答案】 D

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已知 x, y∈R , 若 x+y> cos x- cos y, 则下面式子 一定成立的是( ) . A. x+y<0 B . x+y>0 C. x-y> 0 D . x-y<0

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【解析】令 x=0, y=π , 则满足 x+y> cos x-cos y, 故排除 A, C; 令 x= π , y=0, 则满足 x+y>cos x- cos y, 则排除 D . 【答案】 B

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【点评】筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择 题. 当题目中的条件多于一个时, 先根据某些条件在选项中 找出明显与之矛盾的, 予以否定, 再根据另外一些条件在缩 小的选项范围内找出矛盾, 这样逐步筛选, 直到得出正确的 选项 . 它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方 法.

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方法六: 推理分析法 推理分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的 理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择 的方法 . ( 1) 特征分析法 ——根据题目所提供的信息, 如数值特征、 结构特征、 位置特征等, 进行快速推理, 迅速作出判断的方法, 称为特征分析法.

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函数 f ( x) =ax 2+bx+c(a≠0) 的图象关于直线

x=- 对称. 据此可推测, 对任意的非零实数 a, b, c,m , n, p 关于
2 x 的方程 m [ f(x ) ] +nf( x) +p=0 的解集都不可能是(



) .

A. {1, 2} B . {1, 4} C. {1, 2, 3, 4} D . {1, 4, 16, 64}

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【解析】若解集不可能是 A , 则解集也不可能是 C , 所以 不选 A , 同理也不选 B , 答案只能在 C 、 D 中产生; 若方程有四 个解 , 根据题意可知其中两组解必是关于某条直线对称 , 在 C 选项中: 1、 4 关于 x=2. 5 对称 , 2、 3 也关于 x=2. 5 对称 , 所 以是可能的解, 而 D 选项没有这样的对称轴. 【答案】 D

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( 2) 逻辑分析法——通过对四个选项之间的逻辑关系的 分析, 达到否定谬误项, 选出正确项的方法, 称为逻辑分析法.

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( 2014 湖南卷) 已知命题 p: 若 x>y, 则-x<-y. 命题

q: 若 x>y, 则 x 2>y2. 在命题①p∧q; ②p∨q; ③p∧( ┐q) ; ④( ┐p)
∨q 中, 真命题是( ) .

A. ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④

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【解析】 ( 法一 ) 当 x>y 时 , 两边乘以 -1 可得 -x<-y, 所以 命题 p 为真命题, 当 x=1, y=-2 时, 因为 x2<y2, 所以命题 q 为假 命题 , 故②③为真命题, 选 C. ( 法二) 若 ①为真命题, 则②必为真命题, 所以 A 、B 不对 , 根据选项可以判断①是假命题, ②是真命题, 可判断命题 p 为 真命题, q 为假命题, 所以 ③为真命题, ④是假命题. 【答案】 C

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【点评】通过观察题目的特征, 结合题意, 巧妙运用逻辑 推理方法得出正确答案. 推理分析法可以有效地缩短解题时 间, 对难度中上的问题形成有效的突破, 达到快速求解的目 的.

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方法七: 估算法 估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题, 求出答案 的近似值, 或把有关数值扩大或缩小, 从而对运算结果确定 出一个范围或作出一个估计, 进而作出判断的方法.

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设 P =l og23, Q =l og32, R =l og2( l og32) , 则( A. P <R <Q B . R <Q <P C. Q <R <P D . R <P <Q

) .

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【解析】

P =l og23> l og22=1, 0= l og31<Q = l og32< l og33= 1, R =l og2(l og32)< l og
2

1=0, 所以 R <Q <P . 【答案】 B

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棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球 面上, 若过该球球心的一个截面如图所示, 则图中三角形( 正 四面体的截面) 的面积是( A.


) .

B . C . D .




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【解析】棱长为 2 的正四面体的一个侧面积为 , 显然 图中三角形( 正四面体的截面) 的面积介于 与 两者之间,


故选 C . 【答案】C

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已知 si n θ= 值是 ( A. ) .
- -

- +

, cos θ=

- +

( < θ< π ) , 则 tan 的




B.

-

| -|

C. D. 5

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【解析】 由于受 si n 2θ+ cos2θ=1 的制约, 可知 m 为一个确 定的值, 所以 tan 也为一个确定的值. 因为 < θ< π , 所以 t an > 1,


故选 D . 【答案】D

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【点评】估算法省去了很多推导过程和比较复杂的计 算, 节省了时间, 从而显得快捷. 它是人们发现问题、 研究问题、 解决问题的一种重要方法.

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方法八: 极限法 从有限到无限, 从近似到精确, 从量变到质变, 应用极限 思想解决某些问题, 可以避开抽象、复杂的运算, 降低解题难 度, 优化解题过程 . 在一些选择题中, 有一些任意选取或者变 化的元素, 我们对这些元素的变化趋势进行研究, 分析它们 的极限情况或者极端位置, 并进行估算, 以此来判断选择的 结果 . 这种通过动态变化, 或对极端取值来解选择题的方法 称为极限法 .

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( 2014 湖南卷) 已知函数 f ( x) =x + e - ( x< 0) 与
2

x



g( x) =x 2+ l n( x+a) 的图象上存在关于 y 轴对称的点, 则 a 的取值
范围是 ( ) .


A. ( -∞, )B . ( -∞, ) C. ( - , ) D . ( - , )


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- = ( 【解析】由题可得存在 x0∈(-∞, 0) 满足 +

x 0) + l n(-x 0+a) ? - l n (-x 0+a) -= 0, 当 x 0 趋近于负无穷小时 ,
2





函数 f (x0) = - l n (-x 0+a)- 趋近于负无穷 , 因为函数 f (x)=ex





l n (-x+a)- 在定义域内是单调递增函数, 所以 l n a< l n




?a< , 故选 B . 【答案】 B

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已知正四棱锥 S-A B C D 的侧面与底面所成角为 β, 相邻两侧面所成角为 α, 则 cos α+cos2 β 的值为( A. 0B . 1 C. -1 D .


) .

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【解析】 让 S 沿 S O 向下移动 , 当 S →O 时, 有 β→0, cos β →1, α→ π , cos α→ -1, 从而有 cos α+cos2 β=0; 让 S 沿 S O 向上 移动 , 当 S →∞时, 有 β→ , cos β→0, α→ , cos α→0, 从而有 cos


α+ cos2β= 0, 故选 A . 【答案】 A

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【点评】极限法是解选择题的一种有效方法. 它根 据题干及选项的特征, 考虑极端情形, 有助于缩小选择面, 迅 速找到答案 . 【总结】 从考试的角度来看, 解选择题只要选对就行, 至于用什 么 “策略”“手段”都是无关紧要的. 所以解题可以 “不择 手段”. 但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与

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错误的原因, 另外, 在解答一道选择题时, 往往需要同时 采用几种方法进行分析、推理, 只有这样, 才会在高考时充分 利用题目自身提供的信息, 化常规为特殊, 避免小题大做, 真 正做到准确和快速 . 总之, 解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则来 指导选择题的解答, 但更应该充分挖掘题目的“个性 ”, 寻求 简便解法, 充分利用选择支的暗示作用, 迅速地作出正确

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的选择 . 这样不但可以迅速、准确地获取正确答案, 还可 以提高解题速度, 为后续解题节省时间 .

1. 已知集合 A ={x| | x-1| <2}, B = {x| y= l g( x 2+x ) }, 设 U =R , 则 A ∩(
U

B) 等于 (

) .

A. [ 3, + ∞) B . ( - 1, 0] C. ( 3, +∞ ) D . [ -1, 0]

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【解析】排除法: 因为 4?A , 所以 A 、C 不对 ; 因为-1? A , 所以 D 不对, 故选 B . 【答案】 B

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2. 设复数 z= , 则复数 z2 的实部与虚部的和为( -+ A. 0B . 2 C. -2 D . 4



) .

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【解析】直接法: z=

= - +



(--)

2 = 1-i , z2=(1-i ) =-2i , 所以实

部为 0, 虚部为-2, 实部与虚部的和为 -2. 【答案】C

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3. 某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是 ,




则正( 主) 视图中的 x 的值是 (

) .

A. 2B . C . D . 3






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【解析】直接法: 由三视图可知, 该几何体是底面上底为 1, 下底为 2, 高为 2 的直角梯形的四棱锥, 且棱锥的高为 x, 底 面积为 S= ?( 1+ 2) ?2= 3,V = , 由 V = S h, 得
× x=h= = = ,


故选 C . 【答案】 C

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4. 已知双曲线 C : - = 1( a>0, b>0) 的焦距为 2 , 抛物线



y= x 2+1 与双曲线 C 的渐近线相切, 则双曲线 C 的方程为
( ) . A . - =1 B . - =1
2



C. x 2- = 1 D . -y = 1

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【解析】 排除法: 因为双曲线 C : - = 1(a>0, b> 0) 的焦距




为 2 , 所以排除 A , B; 选项 C 中, 双曲线的渐近线方程为 y=

±2x, 代入 y= x 2+ 1, 可知相交, 所以排除 C . 故选 D .
【答案】D



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+ ≤ , 5. 已知变量 x, y 满足约束条件 - ≤ , 若 x+ 2y≥ -5 恒成 ≥ , 立, 则实数 a 的取值范围为 ( A. ( - ∞, -1] B. [ - 1, +∞ ) ) .

C. [ - 1, 1] D . [ -1, 1)

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【解析】图解法: + ≤ , 满足约束条件 - ≤ , 的可行域是图中△A B C 的内 ≥ 部( 含边界) , 由此可见, 必有 a≤1, 作出直线 x+2y=- 5, 由题设 △ A B C 必定在直线 x+ 2y=- 5 的上面, 当点 A 在直线 x+ 2y=-5 上时 , a=- 1, 所以 -1≤a≤ 1, 选 C. 【答案】 C

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6. 已知 a, b 是两个互相垂直的单位向量, 且 c?a=c?b= 1, 则对任意的正实数 t , | c+t a+ b| 的最小值是 (


) .

A. 2B . 2 C . 4 D. 4

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【解析】特例法: 设 a=( 1, 0) , b=(0, 1) , 则 c=( 1, 1) , 代入得

c+t a+ b= (1+t , 1+ ),
所以






| c+t a+ b| = ( + ) + ( + ) = + + + + ≥
2 . 【答案】 B

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7. 三棱锥 S -A B C 的所有顶点都在球 O 的表面上, SA ⊥ 平面 A B C , A B ⊥B C , 又 S A =A B =B C = 1, 则球 O 的表面积为 ( ) . A . πB . π C . 3π D . 12π


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【解析】直接法: 因为 A B ⊥ B C , 所以 A C 是 △A B C 所在截面圆的直径 , 又因为 S A ⊥平面 A B C , 所以△S A C 所在的截面圆是球 的大圆, 所以 SC 是球的一条直径 . 由题设 SA =A B =B C =1, 用勾股定理可求得

A C = ,S C = ,
所以球的半径 R = , 球的表面积为 S=4π ?( )2= 3π , 故


选 C.
【答案】C

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8. 现有 12 件商品摆放在货架上, 摆成上层 4 件下层 8 件, 现要从下层 8 件中取 2 件调整到上层, 若其他商品的相对顺 序不变, 则不同调整方法的种数是( A. 420 B . 560 C . 840 D . 20160 ) .

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【解析】直接法: 首先从下层中抽取两个, 共有 = 28 种

结果 , 把抽出的两件商品放到上层有两种情况: 一是两件商 品相邻, 放在 4 件商品形成的 5 个空中, 有 5 二 = 10 种结果 ; 是两件商品插入 4 件商品形成的 5 个空中, 有 = 20 种结果 , 所以根据计数原理知共有 28?( 20+10)=840 种结果 . 【答案】 C

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9. 在棱长为 4 的正方体 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中, E 、F 分别 为棱 A A 1、 D 1C 1 上的动点, 点 G 为正方形 B B 1C 1C 的中心. 则空间四边形 A E F G 在该正方体各个面上的正投影所构成 的图形中, 面积的最大值为 ( A. 4B . 8 C. 12 D . 16 ) .

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【解析】特殊法: 若 E 与 A 1 重合, F 与 C 1 重合, 则

A E F G 在 D D 1C 1C 上的投影为直角梯形, 计算可得面积为
12, 此时面积最大, 所以选 C . 【答案】 C

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2 10. 如图, 圆O: x 2+y2= π 内的正弦曲线 y= si n x 与 x 轴围

成的区域记为 M ( 图中阴影部分) , 随机往圆 O 内投一个点 A , 则点 A 落在区域 M 内的概率是( A . B . C . D .


) .

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3 【解析】直接法: 圆的面积为 π , 阴影部分的面积为

2



= 4, 所以点 A 落在区域 M 内的概率是 .




【答案】 B

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11. 已知函数 f ( x)= 确的是 ( ) .

-( ) ,

≤ ,

--, >

( a∈R ) , 则下列结论正

A. ?a∈R , f(x ) 在 R 上单调递减 B. ?a∈R , f(x ) 的最小值为 f ( a) C. ?a∈R , f(x ) 有极大值和极小值 D. ?a∈R , f(x) 有唯一零点

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【解析】排除法: 因为 y=- ( )x 在( -∞, 0] 上递增, 所以 A




不对; 根据函数 f (x) 的图象可知函数 f (x) 无最小值, 所以 B 不 对; 当 a=-1 时, 函数 f (x) 无极小值, 所以 C 不对; 故选 D . 【答案】D

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12. 执行如图所示的程序框图, 输入的 N =2014, 则输出的

S =(

) .

A. 2011 B . 2012 C . 2013 D . 2014

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【解析】推理分析法: 因为 S= 1, i = 1, 判断 1<2014, S= 判断 2<2014, S= 判断 3<2014, S= 判断 4<2014, S= ?? 由此知, 当i =2014 时结束算法 , 故输出的 S 的值为 2013. 【答案】 C
( - )+(- ) ( - )+(- ) ( - )+(- ) ( - )+(- )

= 1,i =i + 1= 2; = 2,i =i + 1= 3; = 3,i =i + 1= 4; = 4,i =i + 1= 5;

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13. 若 a, b∈R , 使 + >1 成立的一个充分不必要条件 是( ) . A . + ≥1 B . a≥1 C . ≥0. 5, 且 b≥0. 5D . b<- 1

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【解析】( 逆向法) 当 a=1, b=0 时, 都满足选项 A , B, 但是 不能得出 + > 1; 当 a= 0. 5, b=0. 5 时, 满足选项 C , 但是不能得出 + > 1. 【答案】D

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14. 函数 f ( x) =l og2| x| , g(x ) =-x2+ 2, 则f ( x) ?g( x) 的图象只可 能是( ) .

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【解析】( 极限法) 由函数 f ( x )?g(x) 的解析式可以看 出函数为偶函数, 所以可以排除 A 、D ; 当 x→ +∞ 时, f (x)> 0, g(x)< 0, 所以 f (x) ?g(x )<0, 可排除 B , 所以选 C . 【答案】C

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15. 已知定义在( 0, +∞) 上的单调函数 f ( x) , 对?x∈( 0, +∞) , 都有 f [ f( x) -l og3x ] =4, 则函数 g( x) =f ( x )-f' ( x) - 3 的零点所在的 区间是( ) .


A. ( 1, 2) B . ( 2, 3) C. (, 1) D. ( 0, )

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【解析】 由题意知 f ( x )- l og3x=c(c为常数 ) , 则f (x )= l og3x+c, 得 c= 3, ∴f(x)= l og3x+ 3, ∴g(x )= l og3x

.

∵ g(1)=-< 0, g(2)= l og32=l og32- l og3e =l og3 = l og3( )> l og31=0,




∴函数 g(x)=f(x )-f' (x)- 3 的零点所在的区间是( 1, 2) , 故选
A. 【答案】 A


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