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3.2.4 利用空间向量解决立体几何的向量方法(四)——空间向量求距离


课本P103
? 如果表示向量 a 的有向线段所在直线

垂直于平面?,则称这个向量垂直于平面 ? ?,记作 a ⊥?. ? ? 如果 a ⊥?,那么向量 a 叫做平面?的 法向量.
l
a

?

空间向量之应用

利用空间向量求距离

空间中距离:
? ? ? ? ? ?
2006.03.07

(1)两点间距离 (2)点到直线的距离 (3)点到平面的距离 (4)直线到直线的距离 (5)直线到平面的距离 (6)平面到平面的距离
zhizuoren:njlhlch@126.com

射影

??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l, e 是 l 上与 l

同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1,作点 B 在 l 上的射影 B1,则 A1B1 叫 ? ??? ? 做向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影, 简称射影.

l B1 B

??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l, e 是 l 上与 l

n
A1 A

同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1,作点 B 在 l 上的射影 B1,则 A1B1 叫 ? ??? ? 做向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影, 简称射影.
b

?

??? ? ? ???? ? AB ? n A1B1 ? ? n

如何用向量法求点到平面的距离:
?P

如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的 ? ??? ? ? ??? ? ? 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
??? ? ??? ? 则 d=| PO |= | PA | ? cos ?APO. ? ??? ? ??? ? ? ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |.

分析:过 P 作 PO⊥ ? 于 O,连结 OA.

? n

?

A?

?O

???? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | | PA ? n | ??? ? ∴d=| PA ||cos ? PA, n? |= = ?? . |n| |n|

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.

一、求点到平面的距离

??? ? PA ? n d? ? n

P M

?
O n N

A

方法指导:若点P为平面α外一点,点A为平面α内任 一点,平面的法向量为n,则点P到平面α的距离公式 为

例1、已知正方形ABCD的边长为4, CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点,求点B到平面GEF的距离。 z

G

x D F A

C

E

y

B

例1 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 :

AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 z B 到平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ???? ??? ? EF ? (2, ?2, 0), EG ? ( ?2, ?4, 2), D C ?

x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x , y, z )
?? ??? ? 1 1 ? n ? ( , ,1) , BE ? (2, 0, 0) 3 3 ? ???? | n ? BE| 2 11 ?d ? ? . ? 11 n

?

? ???? ? ??? ? 2 x ? 2 y ? 0 ? F ?? n ? EF, ? EG ?2 x ? 4 y ? 2 ? 0 n

A

E

B

y

2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11

练习1: SA ? 平面ABCD,?DAB ? ?ABC ? 90?, SA ? AB ? BC ? a,AD ? 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S

A B x C

D y

练习2:

练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P

N D
M A B C

:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )

2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 2 2 2

???? ? ???? ? 2 2 1 1 z ???? a , a , 0) , MN ? (0, a , a ) , ∴ MC ? ( ? MA ? ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 ? ? ???? ? ???? ? ? 设 n ? ( x , y , z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n ? MN , n ? MC ? ???? ? 2 N ax ? ay ? 0 且 ∴ n ? MC ? ? C D y 2 ? ???? a ? a M n ? MN ? y ? z ? 0 2 2 2 A x ? y ? ?z , 解得 B 2 ?? x ∴可取 m ? ( 2,1, ?1) ???? ?
MA ? n a ???? ? a MA 在 n 上的射影长 d ? ? 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ ? 2 2 n

二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求直线BD到平面 z GEF的距离。

G

? ???? | n ? BE| 2 11 ?d ? ? . ? 11 n

x D
F A

C

E

y

B

练习3: 正方体AC1棱长为1,求BD与平面GB1D1的 距离 DD1 ? n Z C1 d ? D1 n B
A1
1

G A X

D
B

C Y

三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1,求平面A1DC1 与平面AB1C的距离 AD ? n Z D1 C1 d ? n B
A1
1

D
A X B

C Y

练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点,求平面AMN与平面EFDB的距离。
z

d?

AB ? n
A1

N

D1

F E

C1

n
A

M B1 D B

C

y

x

四、求异面直线的距离

a M

A

n

?

N

B

b

??? ? ? AB ? n d? ? n

方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b,求a、 b的法向量n,即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量;②在直线a、b上各取一点A、B,作向 量AB;③求向量AB在n上的射影d,则异面直线 a、b间的距离为

B n A

b a

. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 ? 4 , 底 面
?

例4

△ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
C1 A1

z
B1

C A B

x

E

y

例4

. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 ? 4 , 底 面

△ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
?

解:如图建立坐标系? ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). C ? z ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), C ? ? ? 设CE , AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 A B ? ? x? y?0 n ? CE ? 0 即 ? ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0 n ? AB1 ? 0 C ? 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1) A B ? E 在两直线上各取点C , A,? CA ? (1,0,0). y x ??? ?
1 1 1

? ??? ???? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与 AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面 直线DA1与AC的距离。 z
D1 C1 A1

B1 C y

D A B

x

练习6:如图,
ABCD是正方形,SB ? 面ABCD,且SA与 面ABCD所成的角为 ,点S到面ABCD的 45? 距离为1,求AC与SD的距离。
S

z
B y

A D

x

C

结论1
点 P 到平面?的距离可以通过, ??? 在平面?内任取一点 A,求向量 PA在 ? 平面?的法向量 n 上的投影来解决.
P

??? ? PA ? n d? ? n

M

?
O n N A

结论2
异面直线间的距离可以通过, 在两条直线上任意各取一点 A、B, ? ??? ? 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A
??? ? ? AB ? n d? ? n
a M n

?

N

B

b

评述:
此题用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数 的方法则简捷,高效,显示了向量代数方法在解 决立体几何问题的优越性 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或 再转化为点到平面的距离

小结:
1、怎样利用向量求距离? ① 点到平面的距离:连结该点与平面上任意一点的向量在平面定 向法向量上的射影(如果不知道判断方向,可取其射影的绝对 值)。 ② 点到直线的距离:求出垂线段的向量的模。

③ 直线到平面的距离:可以转化为点到平面的距离。
④ 平行平面间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平面的距 离。 ⑤ 异面直线间的距离:转化为直线到平面的距离、点到平面的 距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理 和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。


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