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等差数列、等比数列试题集01


等差数列、等比数列试题(一)
考点一、等差数列通项公式
1.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3 -a,数列{an}为等比数列,则实数 a 的值是? A.3 B.1 C.0 D.-1 解析: 可用特殊值法,由 Sn 得 a1=3-a,a2=6,a3=18, 由等比数列的性质可知 a=1. 答案: B 2.已知在数列{an}中,已知 a1=-1,且 an+1=

2an+3? (1)? (2)? 求证:数列{an+1-an}是等比数列; 求数列{an}的通项公式; an+1-an? n∈N ? .
? n

?

解析: (1)? 证明:设 bn=an+1-an,则 bn+1=an+2-an+1=2an+1+3-2an-3=2? =2bn, 由题设知:a2=1,b1=2,则{bn}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列. (2)? 由? 1? 知:bn=2 ,即 an+1-an=2 ,
n n

∴ n-a1=?an-an-1?+?an-1-an-2?+?an-2-an-3?+…+?a3-a2?+?a2-a1?=2 a +2
n-3

n-1

+2

n-2

+…+2 +2 =2 -2,得 an=2 -3?n∈ ?. N

2

1

n

n

?

3、等差数列 ?a n ? 中: (1)如果 a 5 ? 11 , a 8 ? 5 ,求数列的通项公式. (2)如果 a 1 ? a 5 ? a 9 ? a 15 ? a 17 ? 117 , 求 a 3 ? a 11 . 分析: (1)求等差数列的通项公式只要求 a 1、 d 两个量即可. 解: (法 1)由题意
? a 5 ? a 1 ? 4 d ? 11 ? a 1 ? 19 ? ? ? a n ? 19 ? ( n ? 1 ) ? ( ? 2 ), ? ?d ? ?2 ?a 8 ? a1 ? 7 d ? 5

故数列的通项公式为 a n ? 21 ? 2 n . (法 2) a 8 ? a 5 ? 5 ? 11 ? 3 d ? d ? ? 2 , a 5 ? a 1 ? 4 d ? a 1 ? 19 ,故 a n ? 21 ? 2 n . 分析: (2)显然不能通过已知条件求出数列的通项公式,只有寻找已知条件和所求问题的关 系. 解: a 1 ? a 5 ? a 9 ? a 15 ? a 17 ? 117 ? a 1 ? 6 d ? 117 ,

而 a 3 ? a 11 ? 2 a 1 ? 12 d ? 2 ( a 1 ? 6 d ) ? 234 . 小结:解题中注意充分利用等差数列的性质,结合已知条件,观察已知与求解间的区别与联 系,寻找适当的方法.

4、将方程

x

4

? 10 x

2

? a ? 0 的四个实根从小到大排列成等差数列,则

(A) 6﹤a﹤8 (B) 10﹤a﹤12
2

(B) 8﹤a﹤10 (D) 12﹤a﹤25

解 : B . 由 题 意 得 方 程 t ? 10 t ? a ? 0 有 二 不 等 式 正 根 t 1 , t 2 ( 设 t 1 ? t 2 ), 则
? t 2 ,? t1 , t1 , t 2 成等差数列,由此得 t 2 ? 3 t 1 , t 2 ? 9 t 1 , 又 t 1 ? t 2 ? 10 , t 1 t 2 ? a ,

由此推得 a ? 9 .

5、已知数列 ? a n ? 的通项公式是 a n

? 2 n ? 1 8 ,则 S n 取最小值时, n 的值为



解:由 a n ? 2 n ? 1 8 可知数列 ? a n ? 是等差数列,且 a 1 ? ? 1 6 ? 0, d ? 2 ? 0 , 所以满足 ?
? a n ≤ 0, ? a n ?1 ≥ 0

的 n 即为所求.

解不等式组 ?

? 2 n ? 1 8 ≤ 0,

? 2 ( n ? 1) ? 1 8 ≥ 0,

得8 ≤ n ≤ 9 .

故当 n ? 8 或 9 时, S n 取最小值.

6、已知数列 ? a n ? 是公差不为零的等差数列,且
am an

Sm Sn

?

m ? 2m
2 2

n ? 2n
2

,求

am an



解:由变式 4,有

?

2 n ? 1 S 2 m ?1 2 n ? 1 ( 2 m ? 1) ? 2 ( 2 m ? 1) 2m ? 3 · ? · ? , 2 2 m ? 1 S 2 n ?1 2 m ? 1 ( 2 n ? 1) ? 2 ( 2 n ? 1) 2n ? 3



am an

?

2m ? 3 2n ? 3



7、一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为 3 2∶ 2 7 ,
求公差 d .
? S奇 ? S偶 ? 354 ? ? ? S奇 ? 162 ? ? ? S偶 ? S奇 ? 6d ? 30 ? d ? 5 . 解:由题意知 ? S 奇 32 ? ? S偶 ? 192 ? ?S 27 ? 偶

评析:若分别求 a 1 和 d 计算很繁琐,此时将 S 奇 , S 偶 整体处理,则可以繁为简.

8、已知在等差数列 ? a n ? 中, S n
解:由于 f ( n ) ?
? ?

? 3 3, S 2 n ? 4 4 ,求这个数列的前 3 n 项的和 S 3 n .

Sn n

是关于 n 的一次函数,

则点 ? 2 n,

S 3n ? 44 ? ? 33 ? ? ? , n, ? , 3 n, ? 共线. ? ? 2n ? ? n ? ? 3n ?

S 3n

?

33

S 3n

?

44

由斜率相等得 3 n

n ? 3n 2n ,解得 S 3 n ? 3 3 . 3n ? n 3n ? 2 n

所以该数列前 3 n 项的和为 33. 评析:在等差数列 ? a n ? 中,其前 n 项和公式 S n 可以变形为
Sn n ? d d ? ? n ? ? a 1 ? ? ,所以 2 2 ? ?

Sn n

是 n 的一次函数,且点 ? n,
?

?

Sn ? d d ? ? x ? ? a 1 ? ? 上.因此,在解等差数列问 ? 均在直线 y ? n ? 2 2 ? ?

题时,若能把问题转化为一次函数来研究,就很方便快捷.

9、 ? a n ? 是等差数列, 若 首项 a1

? 0, a 2 0 0 3 ? a 2 0 0 4 ? 0, a 2 0 0 3 a 2 0 0 4 ? 0 , 则使前 n 项和 S n ? 0

成立的最大自然数 n 是( ) A.4005 B.4006

C.4007

D.4008

解析:? a1 ? 0, a 2 0 0 3 ? a 2 0 0 4 ? 0, a 2 0 0 3 a 2 0 0 4 ? 0 ,? a 2 0 0 3 ? 0, a 2 0 0 4 ? 0 ,
? S 2 0 0 3 为 S n 中的最大值. ? S n 是关于 n 的二次函数,其图象如图所示.
? 2 0 0 3 到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小.

?

4007 2

在对称轴的右侧.根据图象的对称性可得 4006 在图象

中零点 B 的左侧,4007,4008 都在 B 点右侧,
? 使 S n ? 0 成立的最大的自然数是 4006.故选(B) .

10、已知 ?a n ? 为等比数列,其中 a 4 , a 3 , a 5 成等差数列,求证: ?a n ? 中任何相邻 3 项,总可 以适当调整顺序,使成等差数列。 解:由题意: 2 a 1 q ? a 1 q ? a 1 q , q ? q ? 2 ? 0 ,? q ? 1 或 q ? ? 2 。
2 3 4 2

当 q ? 1 时,{ a n } 为常数列,结论成立,当 q ? ? 2 时, a n ? ( ? 2 )
a k , a k ?1 , a k ? 2 即 ( ? 2 )
k ?1

n ?1

a 1 , 任取相邻三项

a1 , (? 2) a1 , (? 2)
k

k ?1

a1

? a k ? a k ?1 ? ( ? 2 )

k ?1

a1 ? (? 2 ) a1 ? 3 ? (? 2 )
k

k ?1

a1 a1

a k ?2 ? a k ? (?2)

k ?1

a1 ? (? 2)

k ?1

a1 ? 3 ? (? 2 )

k ?1

? a k ? 1 , a k , a k ? 2 成等差数列。

11、在 数列 ?a n ? 中, a 1

? a , a 2 ? b , 前 n 项的和 s n 满足等式

s n ? 2 ? (1 ? r ) s n ? 1 ? rs n ? 0 ( n ? 1) ,其中 a、b、r 均为非零常数。

(1) 求 ?a n ?为 常数列的充要条件; (2)求 ?a n ?为 等比数列充要条件。 解:由已知等式得 S 3 ? (1 ? r ) S 2 ? rS 1 ? 0 而 S 1 ? a , S 2 ? a ? b ,? S 3 ? (1 ? r )( a ? b ) ? ra ? a ? b ? br (1)若 { a n } 的常数列,则有
a ? b a ? b ? br ? 3 a

即 a ? b, r ? 1 。

若 a ? b , r ? 1 ,则 S n ? 2 ? 2 S n ? 1 ? S n ? 0
? { S n } 为等差数列, S n ? S 1 ? ( n ? 1) d ? a ? ( n ? 1) ? a ? na ? a n ? S n ? S n ? 1 ? na ? ( n ? 1) a ? a ( n ? 2 ), 又 a 1 ? a ? a n 是常数列 a n ? a ,因此 { a n } 是常数列的充要条件是 a ? b , r ? 1 。
2 (2)若 { a n } 为等比数列,则 a ? 0, b ? 0 , b ? a ? br . ? b ? ar .

若 a ? 0 , b ? 0 , b ? ar 则由已知等式得 S n ? 2 ? S n ? 1 ? r ( S n ? 1 ? S n )
? { S n ? 1 ? S n } 为公比为 r 的等比数列,且首项为 S 2 ? S 1 ? b .

若 r ? 1 ,由(1)知 { a n } 为常数列,且各项不为零,故 { a n } 为等比数列,若 r ? 1 ,

考点二、等差数列的性质
1.在等比数列{an}中,“a2>a4”是“a6>a8”的? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2 2

?

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析: 由 a2>a4,得 a2>a2q ,所以 0<q <1, 由 a6>a8 得 a6>a6q ,所以 0<q <1,
2 2

因此“a2>a4”是“a6>a8”的充要条件. 答案: C

2、 、在数列 ?a n ? 中,a n
____________. 分析:通过函数 y ?

?

n ? n ?

97 98

( n ? N ) ,那么这个数列中的最大项与最小项的项数为
*

x ? x ?

97 98

的取值情况来探求数列的最大项及最小项.

解:函数 y ?

x ? x ?
97

97 98

?1?

98 ? x ?

97 98

,其图像是由函

数y ?

98 ? x

的图象向右平移 98 个单位,再向上

平移 1 个单位得到,? 9 ?

98 ? 10 , 根据图象可得 a 9 最

小, a 10 最大,即第 9 项最小,第 10 项最大. 小结: 数列的项与项数构成特殊的函数关系, 研究其最值的方法就是求函数最值的基本方法, 求函数最值的方法之一是数形结合,即利用函数图象来判断最值. 3、已知下列各数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 的公式,求 ?a n ? 的通项公式. (1) S n ? 2 n ? 3 n ; (2) S n ? 3 ? 2
2 n

分析:数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 和 a n 的关系:
? S 1 ( n ? 1 ), an ? ? ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2 , n ? N *)

往往可以借助已知的 S n 求 a n 解: (1) a 1 ? S 1 ? ? 1 ,当 n ? 2 时,
a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 2 n ? 3 n ) ? 2 ( n ? 1) ? 3 ( n ? 1) ? 4 n ? 5 .由于 a 1 也适合于此等式,
2 2

?

?

因此 a n ? 4 n ? 5 . (2)a 1 ? S 1 ? 1 ,当 n ? 2 时,a n ? S n ? S n ? 1 ? 3 ? 2 ? ( 3
n n ?1

? 2) ? 2 ? 3

n ?1

,由于 a 1 不

适合于此等式,因此 a n ? ?

?1 ?2 ? 3

( n ? 1)
n ?1

( n ? 2 , n ? N *)

小结:应用 a n ? S n ? S n ? 1 公式时,一定要注意 n 的取值范围.如本题中第(1)题,由于
S n ? n ? 3 n 与 S n ? 2 n ? 3 n ? k ( k ? R , k 为常数) ,对应数列从第二项起完全一致,
3 3

但首项不相同.一般先求 a 1 ? S 1 ,再利用 a n ? S n ? S n ? 1 , n ? 2 , n ? N* ) ( ,求出数列的 其他项,然后验证 n ? 1 是否符合 a n ( n ? 2 , n ? N* ) 的表达式.若不合适,则用分段函数表 示出数列的通项公式,即
? a 1 ( n ? 1) an ? ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2 , n ? N* )

4、已知等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n
2

? n ? 9 n ,求 S n 的最小值及相应的 n 值.
2

? S n ≤ S n ? 1, ? n ? 9 n ≤ ( n ? 1) ? 9 ( n ? 1), ? 解:由 ? 得? 2 2 ? S n ≤ S n ? 1, ? n ? 9 n ≤ ( n ? 1) ? 9 ( n ? 1). ?
2

解得 4 ≤ n ≤ 5 . 因为 n ? N ,且 S 4 ? S 5 ,所以当 n ? 4 或 5 时,有 S 4 ? S 5 ? ? 2 0 为所求最小值.
?

5、已知等差数列 ? a n ? 中, S 3

? S 1 1 ,首项 a 1 ? 0 ,问 n 为何值时, S n 最大?
2 13 a1 ? 0 .
? (1 5 ? 2 n ) a 1 13

解:由 S 3 ? S 1 1 , a 1 ? 0 ,得 d ? ? 所以 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? a 1 ?

2 ( n ? 1) a 1 13



令 a n ? 0 ,则 n ? 7 .5 ,又 d ? 0 ,所以 a 7 ? 0, a 8 ? 0 . 故当 n ? 7 时, S n 最大.

6、已知等差数列 ? a n ? 的通项公式为 a n
解:由题意易得 a 1 ? 2 2, d ? ? 2 .

? ? 2 n ? 2 4 ,求其前 n 项和 S n 的最大值.

23 ? 529 ? 由公式求得 S n ? ? n ? 2 3 n ? ? ? n ? . ? ? 2 ? 4 ?
2

2

因为 n ? N , 则由二次函数的性质可知, n ? 1 1 或 n ? 1 2 时,S n 取得最大值, 132. 当 为 变式 2: S n ? a n ? b n ( a, b ? R ) .
2

?

在变式 1 中,令 a ?

d 2

, b ? a1 ?

d 2

即得该式.

7、设 ? a n ? 是等差数列,
2

Sm Sn

?

m n

2 2

, m ? n, a 1 ? 1 ,求此数列的通项公式 a n .

解:由 S m ? a m ? b m , S n ? a n ? b n ,
2



Sm Sn

?

am ? bm
2 2

an ? bn

?

m n

2 2

化简,可得 b m n ( n ? m ) ? 0 .

? m ? n, b ? 0 ,即 S n ? a n . ?
2

由 S 1 ? a 1 ? 1 ,得 a ? 1 .? S n ? n ,
2

? a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? 1( n ≥ 2, n ? N ) .
*

由于 a 1 ? 1 也满足 a n ? 2 n ? 1 ,故 a n ? 2 n ? 1( n ? N ) .
*

8、在等差数列 ? a n ? 中,若 S m
解:由题意知, ? m ,
? ?

? S n ( m ? n ) ,求 S m ? n 的值.
Sm?n ? ? ? ? , m ? n, ? ? 三点在同一条直线上, m ?n? ? ?

Sm ? ? Sn ? , n, ? m ? ? n

Sn

从而有 n

m ?n m ? m ?n m S m ? n ? S m ? S n ? 0 .故 S m ? n ? 0 . ,化简得 n?m (m ? n) ? m m ?n S 2 n ?1 2n ? 1

?

Sm

Sm?n

?

Sm

变式 4: a n ?


n ( a1 ? a n ) 2 ? ( 2 n ? 1) 2 a n · 2 ? ( 2 n ? 1) a n ,

由 a1 ? a 2 n ?1 ? 2 a n 及 S n ? 有 S 2 n ?1 ? 所以 a n ?



( 2 n ? 1)( a 1 ? a 2 n ? 1 ) 2 S 2 n ?1 2n ? 1



该式给出的是数列中的项 a n 与 S 2 n ? 1 之间的关系.常运用此式解决有关等差数列的和与 项之间的有关问题.

考点三、等差数列求和
2 1、 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? ? n ? 9 n ? 2 ? n ? N ? .

(Ⅰ) 判断数列 ?a n ? 是否为等差数列; (Ⅱ) 设 R n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,求 R n ; (Ⅲ) 设 b n ?
1 n (12 ? a n ) ( n ? N ), T n ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ,是否存在最小的自然数 n 0 ,

使得不等式 T n ? 理由. 解:

n0 32

对一切自然数 n 总成立?如果存在,求出 n 0 的值;如果不存在,说明

2 (Ⅰ) ∵ S n ? ? n ? 9 n ? 2 ? n ? N ? ,

∴ 当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 10 ,

当n ∴

? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ? n

?

2

? 9 n ? 2 ? ? ? n ? 1 ? ? 9 ? n ? 1 ? ? 2 ? 10 ? 2 n
2

? ?

?



?10 an ? ? ?10 ? 2 n

n ?1 n ? 2



∴ 数列 ?a n ? 不是等差数列.

(Ⅱ) 由 an
an ? ?an .

?10 ? ? ?10 ? 2 n

n ?1 n ? 2

可知:当 n

? 5

时,

an ? an

,当 n

? 5

时,

∴当 n 当n

? 5

时, R n

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a1 ? a 2 ? ? a n ? S n ? ? n

2

? 9n ? 2



? 5 时, R n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n

? ?a 1 ? a 2 ? ? ? a 5 ? ? ?a 6 ? a 7 ? ? ? a n ? ?S n ? 2S5

?

? n ? 9 n ? 2 ? 2 ? ? 25 ? 45 ? 2 ? ? n ? 9 n ? 42
2 2



即: R n

?? n 2 ? 9n ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 9 n ? 42 ?
? 1 时, b 1 ?
1

n ? 5 n ? 5
1 2


1 2

(Ⅲ) 当 n

12 ? a 1

?

? 0

, T1

? b1 ?



当n

? 2 时, b n ?

1 n (12 ? a n )

?

1 n ?12 ? 10 ? 2 n ?

?

1 2 n ?n ? 1?

?

1?1 1 ? ? ? ? ? 0 2?n n ?1?



T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ?

1 2

?

1 ?1 1 ? 3n ? 1 ? ? ?2 ? 2 ? n ? 1? 4n ? 4



由 bn ? 0

?n ?

N ? 可知: T n 随 n 的增大而单调递增.所以,要使不等式 T n ?

n0 32

对一

切自然数 n 总成立,需且只需 lim T n ?
n? ?

n0 32



又 lim T n ?
n? ?

3 4

?

24 32

,所以,满足题意的自然数 n 0 ? 24 .

点评:利用前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系求通项公式时,要注意 n=1 时的特殊情况及等 差数列的定义.
n ?1

2、 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ?

5 6

,且对任意正整数 n 都有 a n ? 1
1 2 an .

?1? ? an ? ? ? 3 ?2? 1

.数列 ?b n ? 对

任意自然数 n 都有 b n ? a n ? 1 ?

(Ⅰ)求证数列 ?b n ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅲ)设数列 ?a n ? 的前 n 项的和为 S n ,求 lim S n 的值.
n? ?

解: 已知条件中, 数列 ?a n ? 的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的, 而数列 ?b n ? 的通项公式则是通过数列 ?a n ? 给出.因此,解答本题自然有两种思路:一是从数列 ?b n ? 入 手, 这就应该通过代数变形, 致力于证明
b n ?1 bn

为定值; 二是从数列 ?a n ? 的通项公式入手. 如
n ?1

何求出数列 ?a n ? 的通项公式呢?由于已知条件 a n ? 1

?1? ? an ? ? ? 3 ?2? 1
n

与等比数列很相似,结

?1? 合上下文,则可以考虑设法构造出一个与 a n 及 ? ? 有关的新的等比数列. ?2? 1 ?1? an ? ? ? 3 ?2?
n ?1

解: (1)∵

a n ?1 ?



∴ an

n ?1 n ?1 ? ? ?1? ?1? ?a ? ? 3a ? 3 n ?1 ? ? ? ? 3?? ? . n ?1 ? ? ?2? ?2? ? ? n ?1 n ?1 ?1 ? 1 1 ?1? ?1? ? an ? ? an ? ? ? ? an , ? ? an ? ? ? 6 2 ?2? ?2? ?3 ? 2 ? ?

∴ 一方面, b n ? a n ? 1

1

另一方面,
?1? bn ? ? ? ?2?
n ?1

?

1

?1? an ? ? ? 6 ?2?
n?2

n ?1

?

n ?1 ? ?? 1 ? n ? 2 ? 1 ? 1 ?1? 3 a n ?1 ? 3 ? ? ? ? 3 ?? ? ? a n ?1 ? ? ? 6 ? 6 ?2? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?





b n ?1 bn

?

?1? ? ? ?2?

?
n?2

1 6

a n ?1 ?

1 3

?? 1 ? 3 ?? ? ?? 2 ? ?
2

? 1 ? a n ?1 ? 6 ? ?



1 1 1 5 1 ?1? 又 b1 ? ? ? ? a 1 ? ? ? ? 6 4 6 6 9 ?2?


1

∴ 数列 ?b n ? 是以 b 1

?

1 9

为首项,以 为公比的等比数列.
3
? 1 ?1? ?? ? 9 ?3?
n ?1

(2)由(1)可知: b n

?1? ? ? ? ?3?

n ?1

,又 b n

?1? ? ? ? ?2?

n ?1

?

1 6

an





an

? ? 1 ? n ?1 ? ? ? 1 ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ? ? 6 ?? ? ? b n ? ? 6 ?? ? ?? ? ? ?3? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?
2 ?? 1 ?2 ?1? ? ? ?? ? ?2? ?3? ? 6? ? ? 1 1 1? ?1? 2 3 ? ?
n

,n ?

N



(3) lim

n? ?

Sn

? ? ? ? 2 ? ? ? ?



3.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3 -a,数列{an}为等比数列,则实数 a 的值是? A.3 B.1 C.0 D.-1 解析: 可用特殊值法,由 Sn 得 a1=3-a,a2=6,a3=18, 由等比数列的性质可知 a=1. 答案: B

?

4、已知等差数列 ?a n ? 的公差是正数,且 a 3 ? a 7 ? ? 12 , a 4 ? a 6 ? ? 4 ,求前 20 项之和. 分析:利用等差数列通项公式和求和公式,求基本量 a 1 , d 然后再求和;充分利用等差数 列的性质求解,分析等差数列的前 n 项和与等差数列之间的关系,简化求解过程. 解:法一 设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ? 0 ,由已知可得

? ( a 1 ? 2 d )( a 1 ? 6 d ) ? ? 12     (1 ) ? ? a 1 ? 3 d ? a 1 ? 5 d ? ? 4       ( 2 )

由(2)可知 a 1 ? ? 2 ? 4 d ,代入(1)得 ( ? 2 ? 2 d )( ? 2 ? 2 d ) ? ? 12 , d ? 4 .
2

又因为 d ? 0 ,得 d ? 2 ,所以 a 1 ? ? 10 , S 20 ? 20 a 1 ? 法二

20 ( 20 ? 1 ) 2

d ? 180

利用等差数列的性质,可得 a 3 ? a 7 ? a 4 ? a 6 ,即 a 3 ? a 7 ? ? 4 ,又由题意可知
2

a 3 ? a 7 ? ? 12 ,利用韦达定理可知 a 3 , a 7 是方程 x ? 4 x ? 12 ? 0 的两根,解方程可得

x 1 ? ? 6 , x 2 ? 2 .因为等差数列 ?a n ? 的公差 d ? 0 ,因此 a 3 ? a 7 ,所以 a 3 ? ? 6 , a 7 ? 2 ,
d ? a7 ? a3 7?3 ? 2 , a 1 ? ? 10 , S 20 ? 180 .

小结:充分利用等差数列性质,简化等差数列求和的过程,注意总结性质及与其他知识的结 合利用. 5、等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a3+a7+a11 为一个确定的常数,则下列各数中也是常数 的是( D ) A.S7 B.S11 C.S12 D.S13 解析:∵a3+a7+a11=3a7 为常数,∴S13=
13 ( a 1 ? a 13 ) 2

=13a7,也是常数. ) D.1∶3?
1 2

6、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( C A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 解 析 : ∵ 易 知 q≠1,S6 ∶ S3=1 ∶ 2 ?
1? q 1? q
6 3

=

1 2

,q3=-

, ∴ S9 ∶

S3=

1? q 1? q

9 3

=1+q3+q6=1-

1 2

+(-

1 2

)2=

3 4

.

7、4.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2005+a2 006>0,a2 005a2 006<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立 的最大自然数 n 是( B )A.4 009 B.4 010 C.4 011 D.4 012 解析:∵a2 005>0>a2 006,∴S4 010=
4010 ( a 1 ? a 4010 ) 2

=2 005(a2 005+a2 006)>0,S4 011=4 011a2 006<0.

8、设 a 1 , d 为实数,首项为 a 1 ,公差为 d 的等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足
S 5 S 6 ? 1 5 ? 0 ,则 d 的取值范围是__________________ .

解析: S 5 S 6 ? (5 a 1 ? 1 0 d )(6 a 1 ? 1 5 d ) ? 1 5 ? 0 ,

即 6 a 1 ? 2 7 d a 1 ? 3 0 d ? 3 ? 0 ,把它看成是关于 a 1 的一元二次方程,因为有根,所以
2 2

? ? ( 2 7 d ) ? 2 4 (3 0 d ? 3) ? 0 ,即 d
2 2

2

? 8 ? 0 ,解得 d≤ ? 2

2 或 d≥ 2

2 。

答案:d≤ ? 2 2 或 d≥ 2 2 。 9、 .已知公差大于零的等差数列 (1)求数列 (2)若数列
{a n } {a n }

的前 n 项和为 Sn, 且满足: 3

a ? a 4 ? 117



a 2 ? a 5 ? 22



的通项公式

an


bn ? Sn n? c

{b n }

是等差数列,且

,求非零常数 c;
2Tn ? 3bn ?1 ? 64 b n ( n ? 9 )bn ?1

(3)若(2)中的 解: (1) ∴
a3 {a n }

{b n }

的前 n 项和为

Tn

,求证:

为等差数列,∵
2

a 3 ? a 4 ? a 2 ? a 5 ? 22

,又

a 3 ? a 4 ? 117



, a 4 是方程 n ? 22 x ? 117 ? 0 的两个根

a ? a4 a ? 9 又公差 d ? 0 ,∴ 3 ,∴ 3 , a 4 ? 13

? a1 ? 2 d ? 9 ? a ? 3 d ? 13 ∴ ? 1

? a1 ? 1 ? d ? 4 ∴?



an ? 4n ? 3

(2)由(1)知,
bn ? Sn n? c
1 1? c ,

S n ? n ?1 ?

n ( n ? 1) 2

? 4 ? 2n ? n
2

?

2n ? n
2



n?c
6 2? c , 15 3? c

∴ ∵

b1 ?

b2 ?

b3 ?

{b n }

是等差数列,∴
1

2 b 2 ? b1 ? b 3

,∴ 2 c ? c ? 0
2

c ? ?



2 ( c ? 0 舍去)

bn ?

2n ? n
2

n?

1 2

? 2n

(3)由(2)得
2

2 T n ? 3 b n ? 1 ? 2 ( n ? n ) ? 3 ( 2 n ? 2 ) ? 2 ( n ? 1) ? 4 ? 4
2

, n ? 1 时取等号

64 b n ( n ? 9 )bn ?1

?

64 ? 2 n ( n ? 9 ) ? 2 ( n ? 1)

?

64 n n ? 10 n ? 9
2

? n?

64 9 n ? 10

? 4

, n ? 3 时取等号

2Tn ? 3bn ?1 ?

64 b n ( n ? 9 )bn ?1

(1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以

10、 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的 若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面 积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方 米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+
2 2

n ( n ? 1) 2

? 50 =25n +225n,

2

令 25n +225n≥4750,即 n +9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10. 到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400· (1.08)n-1· 0.85. 由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)· 50>400· (1.08)n-1· 0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. 到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.


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