等差数列、等比数列试题集01

等差数列、等比数列试题（一）
考点一、等差数列通项公式
1．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3 －a，数列{an}为等比数列，则实数 a 的值是? A．3 B．1 C．0 D．－1 解析： 可用特殊值法，由 Sn 得 a1＝3－a，a2＝6，a3＝18， 由等比数列的性质可知 a＝1. 答案： B 2．已知在数列{an}中，已知 a1＝－1，且 an＋1＝

2an＋3? （1）? （2）? 求证：数列{an＋1－an}是等比数列； 求数列{an}的通项公式； an＋1－an? n∈N ? ．
? n

?

解析： （1）? 证明：设 bn＝an＋1－an，则 bn＋1＝an＋2－an＋1＝2an＋1＋3－2an－3＝2? ＝2bn， 由题设知：a2＝1，b1＝2，则{bn}是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列． （2）? 由? 1? 知：bn＝2 ，即 an＋1－an＝2 ，
n n

∴ n－a1＝?an－an－1?＋?an－1－an－2?＋?an－2－an－3?＋…＋?a3－a2?＋?a2－a1?＝2 a ＋2
n－3

n－1

＋2

n－2

＋…＋2 ＋2 ＝2 －2，得 an＝2 －3?n∈ ?． N

2

1

n

n

?

3、等差数列 ?a n ? 中： （1）如果 a 5 ? 11 , a 8 ? 5 ，求数列的通项公式． （2）如果 a 1 ? a 5 ? a 9 ? a 15 ? a 17 ? 117 , 求 a 3 ? a 11 . 分析： （1）求等差数列的通项公式只要求 a 1、 d 两个量即可． 解： （法 1）由题意
? a 5 ? a 1 ? 4 d ? 11 ? a 1 ? 19 ? ? ? a n ? 19 ? ( n ? 1 ) ? ( ? 2 ), ? ?d ? ?2 ?a 8 ? a1 ? 7 d ? 5

故数列的通项公式为 a n ? 21 ? 2 n . （法 2） a 8 ? a 5 ? 5 ? 11 ? 3 d ? d ? ? 2 , a 5 ? a 1 ? 4 d ? a 1 ? 19 ，故 a n ? 21 ? 2 n . 分析： （2）显然不能通过已知条件求出数列的通项公式，只有寻找已知条件和所求问题的关 系． 解： a 1 ? a 5 ? a 9 ? a 15 ? a 17 ? 117 ? a 1 ? 6 d ? 117 ,

而 a 3 ? a 11 ? 2 a 1 ? 12 d ? 2 ( a 1 ? 6 d ) ? 234 . 小结：解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，观察已知与求解间的区别与联 系，寻找适当的方法．

4、将方程

x

4

? 10 x

2

? a ? 0 的四个实根从小到大排列成等差数列，则

(A) 6﹤a﹤8 (B) 10﹤a﹤12
2

(B) 8﹤a﹤10 (D) 12﹤a﹤25

解 ： B ． 由 题 意 得 方 程 t ? 10 t ? a ? 0 有 二 不 等 式 正 根 t 1 , t 2 （ 设 t 1 ? t 2 ), 则
? t 2 ,? t1 , t1 , t 2 成等差数列，由此得 t 2 ? 3 t 1 , t 2 ? 9 t 1 , 又 t 1 ? t 2 ? 10 , t 1 t 2 ? a ，

由此推得 a ? 9 .

5、已知数列 ? a n ? 的通项公式是 a n

? 2 n ? 1 8 ，则 S n 取最小值时， n 的值为

．

解：由 a n ? 2 n ? 1 8 可知数列 ? a n ? 是等差数列，且 a 1 ? ? 1 6 ? 0， d ? 2 ? 0 ， 所以满足 ?
? a n ≤ 0， ? a n ?1 ≥ 0

的 n 即为所求．

解不等式组 ?

? 2 n ? 1 8 ≤ 0，

? 2 ( n ? 1) ? 1 8 ≥ 0，

得8 ≤ n ≤ 9 ．

故当 n ? 8 或 9 时， S n 取最小值．

6、已知数列 ? a n ? 是公差不为零的等差数列，且
am an

Sm Sn

?

m ? 2m
2 2

n ? 2n
2

，求

am an

．

解：由变式 4，有

?

2 n ? 1 S 2 m ?1 2 n ? 1 ( 2 m ? 1) ? 2 ( 2 m ? 1) 2m ? 3 · ? · ? ， 2 2 m ? 1 S 2 n ?1 2 m ? 1 ( 2 n ? 1) ? 2 ( 2 n ? 1) 2n ? 3

即

am an

?

2m ? 3 2n ? 3

．

7、一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为 3 2∶ 2 7 ，
求公差 d ．
? S奇 ? S偶 ? 354 ? ? ? S奇 ? 162 ? ? ? S偶 ? S奇 ? 6d ? 30 ? d ? 5 ． 解：由题意知 ? S 奇 32 ? ? S偶 ? 192 ? ?S 27 ? 偶

评析：若分别求 a 1 和 d 计算很繁琐，此时将 S 奇 ， S 偶 整体处理，则可以繁为简．

8、已知在等差数列 ? a n ? 中， S n
解：由于 f ( n ) ?
? ?

? 3 3， S 2 n ? 4 4 ，求这个数列的前 3 n 项的和 S 3 n ．

Sn n

是关于 n 的一次函数，

则点 ? 2 n，

S 3n ? 44 ? ? 33 ? ? ? ， n， ? ， 3 n， ? 共线． ? ? 2n ? ? n ? ? 3n ?

S 3n

?

33

S 3n

?

44

由斜率相等得 3 n

n ? 3n 2n ，解得 S 3 n ? 3 3 ． 3n ? n 3n ? 2 n

所以该数列前 3 n 项的和为 33． 评析：在等差数列 ? a n ? 中，其前 n 项和公式 S n 可以变形为
Sn n ? d d ? ? n ? ? a 1 ? ? ，所以 2 2 ? ?

Sn n

是 n 的一次函数，且点 ? n，
?

?

Sn ? d d ? ? x ? ? a 1 ? ? 上．因此，在解等差数列问 ? 均在直线 y ? n ? 2 2 ? ?

题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷．

9、 ? a n ? 是等差数列， 若 首项 a1

? 0， a 2 0 0 3 ? a 2 0 0 4 ? 0， a 2 0 0 3 a 2 0 0 4 ? 0 ， 则使前 n 项和 S n ? 0

成立的最大自然数 n 是（ ） Ａ．4005 Ｂ．4006

Ｃ．4007

Ｄ．4008

解析：? a1 ? 0， a 2 0 0 3 ? a 2 0 0 4 ? 0， a 2 0 0 3 a 2 0 0 4 ? 0 ，? a 2 0 0 3 ? 0， a 2 0 0 4 ? 0 ，
? S 2 0 0 3 为 S n 中的最大值． ? S n 是关于 n 的二次函数，其图象如图所示．
? 2 0 0 3 到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小．

?

4007 2

在对称轴的右侧．根据图象的对称性可得 4006 在图象

中零点 B 的左侧，4007，4008 都在 B 点右侧，
? 使 S n ? 0 成立的最大的自然数是 4006．故选（Ｂ） ．

10、已知 ?a n ? 为等比数列，其中 a 4 , a 3 , a 5 成等差数列，求证： ?a n ? 中任何相邻 3 项，总可 以适当调整顺序，使成等差数列。 解：由题意： 2 a 1 q ? a 1 q ? a 1 q , q ? q ? 2 ? 0 ,? q ? 1 或 q ? ? 2 。
2 3 4 2

当 q ? 1 时，{ a n } 为常数列，结论成立，当 q ? ? 2 时， a n ? ( ? 2 )
a k , a k ?1 , a k ? 2 即 ( ? 2 )
k ?1

n ?1

a 1 , 任取相邻三项

a1 , (? 2) a1 , (? 2)
k

k ?1

a1

? a k ? a k ?1 ? ( ? 2 )

k ?1

a1 ? (? 2 ) a1 ? 3 ? (? 2 )
k

k ?1

a1 a1

a k ?2 ? a k ? (?2)

k ?1

a1 ? (? 2)

k ?1

a1 ? 3 ? (? 2 )

k ?1

? a k ? 1 , a k , a k ? 2 成等差数列。

11、在 数列 ?a n ? 中， a 1

? a , a 2 ? b , 前 n 项的和 s n 满足等式

s n ? 2 ? (1 ? r ) s n ? 1 ? rs n ? 0 ( n ? 1) ，其中 a、b、r 均为非零常数。

（1） 求 ?a n ?为 常数列的充要条件； （2）求 ?a n ?为 等比数列充要条件。 解：由已知等式得 S 3 ? (1 ? r ) S 2 ? rS 1 ? 0 而 S 1 ? a , S 2 ? a ? b ,? S 3 ? (1 ? r )( a ? b ) ? ra ? a ? b ? br （1）若 { a n } 的常数列，则有
a ? b a ? b ? br ? 3 a

即 a ? b, r ? 1 。

若 a ? b , r ? 1 ，则 S n ? 2 ? 2 S n ? 1 ? S n ? 0
? { S n } 为等差数列， S n ? S 1 ? ( n ? 1) d ? a ? ( n ? 1) ? a ? na ? a n ? S n ? S n ? 1 ? na ? ( n ? 1) a ? a ( n ? 2 ), 又 a 1 ? a ? a n 是常数列 a n ? a ，因此 { a n } 是常数列的充要条件是 a ? b , r ? 1 。
2 （2）若 { a n } 为等比数列，则 a ? 0， b ? 0 , b ? a ? br . ? b ? ar .

若 a ? 0 , b ? 0 , b ? ar 则由已知等式得 S n ? 2 ? S n ? 1 ? r ( S n ? 1 ? S n )
? { S n ? 1 ? S n } 为公比为 r 的等比数列，且首项为 S 2 ? S 1 ? b .

若 r ? 1 ，由（1）知 { a n } 为常数列，且各项不为零，故 { a n } 为等比数列，若 r ? 1 ，

考点二、等差数列的性质
1．在等比数列{an}中，“a2＞a4”是“a6＞a8”的? A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
2 2

?

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析： 由 a2＞a4，得 a2＞a2q ，所以 0＜q ＜1， 由 a6＞a8 得 a6＞a6q ，所以 0＜q ＜1，
2 2

因此“a2＞a4”是“a6＞a8”的充要条件． 答案： C

2、 、在数列 ?a n ? 中，a n
____________． 分析：通过函数 y ?

?

n ? n ?

97 98

( n ? N ) ，那么这个数列中的最大项与最小项的项数为
*

x ? x ?

97 98

的取值情况来探求数列的最大项及最小项．

解：函数 y ?

x ? x ?
97

97 98

?1?

98 ? x ?

97 98

，其图像是由函

数y ?

98 ? x

的图象向右平移 98 个单位，再向上

平移 1 个单位得到，? 9 ?

98 ? 10 , 根据图象可得 a 9 最

小， a 10 最大，即第 9 项最小，第 10 项最大． 小结： 数列的项与项数构成特殊的函数关系， 研究其最值的方法就是求函数最值的基本方法， 求函数最值的方法之一是数形结合，即利用函数图象来判断最值． 3、已知下列各数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 的公式，求 ?a n ? 的通项公式． （1） S n ? 2 n ? 3 n ； （2） S n ? 3 ? 2
2 n

分析：数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 和 a n 的关系：
? S 1 ( n ? 1 ), an ? ? ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2 , n ? N *)

往往可以借助已知的 S n 求 a n 解： （1） a 1 ? S 1 ? ? 1 ，当 n ? 2 时，
a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 2 n ? 3 n ) ? 2 ( n ? 1) ? 3 ( n ? 1) ? 4 n ? 5 .由于 a 1 也适合于此等式，
2 2

?

?

因此 a n ? 4 n ? 5 . （2）a 1 ? S 1 ? 1 ，当 n ? 2 时，a n ? S n ? S n ? 1 ? 3 ? 2 ? ( 3
n n ?1

? 2) ? 2 ? 3

n ?1

，由于 a 1 不

适合于此等式，因此 a n ? ?

?1 ?2 ? 3

( n ? 1)
n ?1

( n ? 2 , n ? N *)

小结：应用 a n ? S n ? S n ? 1 公式时，一定要注意 n 的取值范围．如本题中第（1）题，由于
S n ? n ? 3 n 与 S n ? 2 n ? 3 n ? k （ k ? R ， k 为常数） ，对应数列从第二项起完全一致，
3 3

但首项不相同．一般先求 a 1 ? S 1 ，再利用 a n ? S n ? S n ? 1 ， n ? 2 ， n ? N* ） （ ，求出数列的 其他项，然后验证 n ? 1 是否符合 a n ( n ? 2 , n ? N* ) 的表达式．若不合适，则用分段函数表 示出数列的通项公式，即
? a 1 ( n ? 1) an ? ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2 , n ? N* )

4、已知等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n
2

? n ? 9 n ，求 S n 的最小值及相应的 n 值．
2

? S n ≤ S n ? 1， ? n ? 9 n ≤ ( n ? 1) ? 9 ( n ? 1)， ? 解：由 ? 得? 2 2 ? S n ≤ S n ? 1， ? n ? 9 n ≤ ( n ? 1) ? 9 ( n ? 1). ?
2

解得 4 ≤ n ≤ 5 ． 因为 n ? N ，且 S 4 ? S 5 ，所以当 n ? 4 或 5 时，有 S 4 ? S 5 ? ? 2 0 为所求最小值．
?

5、已知等差数列 ? a n ? 中， S 3

? S 1 1 ，首项 a 1 ? 0 ，问 n 为何值时， S n 最大？
2 13 a1 ? 0 ．
? (1 5 ? 2 n ) a 1 13

解：由 S 3 ? S 1 1 ， a 1 ? 0 ，得 d ? ? 所以 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? a 1 ?

2 ( n ? 1) a 1 13

．

令 a n ? 0 ，则 n ? 7 .5 ，又 d ? 0 ，所以 a 7 ? 0， a 8 ? 0 ． 故当 n ? 7 时， S n 最大．

6、已知等差数列 ? a n ? 的通项公式为 a n
解：由题意易得 a 1 ? 2 2， d ? ? 2 ．

? ? 2 n ? 2 4 ，求其前 n 项和 S n 的最大值．

23 ? 529 ? 由公式求得 S n ? ? n ? 2 3 n ? ? ? n ? ． ? ? 2 ? 4 ?
2

2

因为 n ? N ， 则由二次函数的性质可知， n ? 1 1 或 n ? 1 2 时，S n 取得最大值， 132． 当 为 变式 2： S n ? a n ? b n ( a， b ? R ) .
2

?

在变式 1 中，令 a ?

d 2

， b ? a1 ?

d 2

即得该式．

7、设 ? a n ? 是等差数列，
2

Sm Sn

?

m n

2 2

， m ? n， a 1 ? 1 ，求此数列的通项公式 a n ．

解：由 S m ? a m ? b m ， S n ? a n ? b n ，
2

将

Sm Sn

?

am ? bm
2 2

an ? bn

?

m n

2 2

化简，可得 b m n ( n ? m ) ? 0 ．

? m ? n， b ? 0 ，即 S n ? a n ． ?
2

由 S 1 ? a 1 ? 1 ，得 a ? 1 ．? S n ? n ，
2

? a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? 1( n ≥ 2， n ? N ) ．
*

由于 a 1 ? 1 也满足 a n ? 2 n ? 1 ，故 a n ? 2 n ? 1( n ? N ) ．
*

8、在等差数列 ? a n ? 中，若 S m
解：由题意知， ? m ，
? ?

? S n ( m ? n ) ，求 S m ? n 的值．
Sm?n ? ? ? ? ， m ? n， ? ? 三点在同一条直线上， m ?n? ? ?

Sm ? ? Sn ? ， n， ? m ? ? n

Sn

从而有 n

m ?n m ? m ?n m S m ? n ? S m ? S n ? 0 ．故 S m ? n ? 0 ． ，化简得 n?m (m ? n) ? m m ?n S 2 n ?1 2n ? 1

?

Sm

Sm?n

?

Sm

变式 4： a n ?

．
n ( a1 ? a n ) 2 ? ( 2 n ? 1) 2 a n · 2 ? ( 2 n ? 1) a n ，

由 a1 ? a 2 n ?1 ? 2 a n 及 S n ? 有 S 2 n ?1 ? 所以 a n ?

，

( 2 n ? 1)( a 1 ? a 2 n ? 1 ) 2 S 2 n ?1 2n ? 1

．

该式给出的是数列中的项 a n 与 S 2 n ? 1 之间的关系．常运用此式解决有关等差数列的和与 项之间的有关问题．

考点三、等差数列求和
2 1、 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? ? n ? 9 n ? 2 ? n ? N ? ．

(Ⅰ) 判断数列 ?a n ? 是否为等差数列； (Ⅱ) 设 R n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ，求 R n ； (Ⅲ) 设 b n ?
1 n (12 ? a n ) ( n ? N ), T n ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ，是否存在最小的自然数 n 0 ，

使得不等式 T n ? 理由． 解：

n0 32

对一切自然数 n 总成立？如果存在，求出 n 0 的值；如果不存在，说明

2 (Ⅰ) ∵ S n ? ? n ? 9 n ? 2 ? n ? N ? ，

∴ 当 n ? 1 时， a 1 ? S 1 ? 10 ，

当n ∴

? 2 时， a n ? S n ? S n ?1 ? ? n

?

2

? 9 n ? 2 ? ? ? n ? 1 ? ? 9 ? n ? 1 ? ? 2 ? 10 ? 2 n
2

? ?

?

，

?10 an ? ? ?10 ? 2 n

n ?1 n ? 2

．

∴ 数列 ?a n ? 不是等差数列．

(Ⅱ) 由 an
an ? ?an ．

?10 ? ? ?10 ? 2 n

n ?1 n ? 2

可知：当 n

? 5

时，

an ? an

，当 n

? 5

时，

∴当 n 当n

? 5

时， R n

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a1 ? a 2 ? ? a n ? S n ? ? n

2

? 9n ? 2

，

? 5 时， R n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n

? ?a 1 ? a 2 ? ? ? a 5 ? ? ?a 6 ? a 7 ? ? ? a n ? ?S n ? 2S5

?

? n ? 9 n ? 2 ? 2 ? ? 25 ? 45 ? 2 ? ? n ? 9 n ? 42
2 2

．

即： R n

?? n 2 ? 9n ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 9 n ? 42 ?
? 1 时， b 1 ?
1

n ? 5 n ? 5
1 2

．
1 2

(Ⅲ) 当 n

12 ? a 1

?

? 0

， T1

? b1 ?

，

当n

? 2 时， b n ?

1 n (12 ? a n )

?

1 n ?12 ? 10 ? 2 n ?

?

1 2 n ?n ? 1?

?

1?1 1 ? ? ? ? ? 0 2?n n ?1?

，

T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ?

1 2

?

1 ?1 1 ? 3n ? 1 ? ? ?2 ? 2 ? n ? 1? 4n ? 4

．

由 bn ? 0

?n ?

N ? 可知： T n 随 n 的增大而单调递增．所以，要使不等式 T n ?

n0 32

对一

切自然数 n 总成立，需且只需 lim T n ?
n? ?

n0 32

．

又 lim T n ?
n? ?

3 4

?

24 32

，所以，满足题意的自然数 n 0 ? 24 ．

点评：利用前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系求通项公式时，要注意 n=1 时的特殊情况及等 差数列的定义．
n ?1

2、 已知数列 ?a n ? 中， a 1 ?

5 6

，且对任意正整数 n 都有 a n ? 1
1 2 an ．

?1? ? an ? ? ? 3 ?2? 1

．数列 ?b n ? 对

任意自然数 n 都有 b n ? a n ? 1 ?

（Ⅰ）求证数列 ?b n ? 是等比数列； （Ⅱ）求数列 ?a n ? 的通项公式； （Ⅲ）设数列 ?a n ? 的前 n 项的和为 S n ，求 lim S n 的值．
n? ?

解： 已知条件中， 数列 ?a n ? 的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的， 而数列 ?b n ? 的通项公式则是通过数列 ?a n ? 给出．因此，解答本题自然有两种思路：一是从数列 ?b n ? 入 手， 这就应该通过代数变形， 致力于证明
b n ?1 bn

为定值； 二是从数列 ?a n ? 的通项公式入手． 如
n ?1

何求出数列 ?a n ? 的通项公式呢？由于已知条件 a n ? 1

?1? ? an ? ? ? 3 ?2? 1
n

与等比数列很相似，结

?1? 合上下文，则可以考虑设法构造出一个与 a n 及 ? ? 有关的新的等比数列． ?2? 1 ?1? an ? ? ? 3 ?2?
n ?1

解： （1）∵

a n ?1 ?

，

∴ an

n ?1 n ?1 ? ? ?1? ?1? ?a ? ? 3a ? 3 n ?1 ? ? ? ? 3?? ? ． n ?1 ? ? ?2? ?2? ? ? n ?1 n ?1 ?1 ? 1 1 ?1? ?1? ? an ? ? an ? ? ? ? an ， ? ? an ? ? ? 6 2 ?2? ?2? ?3 ? 2 ? ?

∴ 一方面， b n ? a n ? 1

1

另一方面，
?1? bn ? ? ? ?2?
n ?1

?

1

?1? an ? ? ? 6 ?2?
n?2

n ?1

?

n ?1 ? ?? 1 ? n ? 2 ? 1 ? 1 ?1? 3 a n ?1 ? 3 ? ? ? ? 3 ?? ? ? a n ?1 ? ? ? 6 ? 6 ?2? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?

，

∴

b n ?1 bn

?

?1? ? ? ?2?

?
n?2

1 6

a n ?1 ?

1 3

?? 1 ? 3 ?? ? ?? 2 ? ?
2

? 1 ? a n ?1 ? 6 ? ?

．

1 1 1 5 1 ?1? 又 b1 ? ? ? ? a 1 ? ? ? ? 6 4 6 6 9 ?2?

，
1

∴ 数列 ?b n ? 是以 b 1

?

1 9

为首项，以 为公比的等比数列．
3
? 1 ?1? ?? ? 9 ?3?
n ?1

（2）由（1）可知： b n

?1? ? ? ? ?3?

n ?1

，又 b n

?1? ? ? ? ?2?

n ?1

?

1 6

an

，

∴

an

? ? 1 ? n ?1 ? ? ? 1 ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ? ? 6 ?? ? ? b n ? ? 6 ?? ? ?? ? ? ?3? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?
2 ?? 1 ?2 ?1? ? ? ?? ? ?2? ?3? ? 6? ? ? 1 1 1? ?1? 2 3 ? ?
n

，n ?

N

．

（3） lim

n? ?

Sn

? ? ? ? 2 ? ? ? ?

．

3．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3 －a，数列{an}为等比数列，则实数 a 的值是? A．3 B．1 C．0 D．－1 解析： 可用特殊值法，由 Sn 得 a1＝3－a，a2＝6，a3＝18， 由等比数列的性质可知 a＝1. 答案： B

?

4、已知等差数列 ?a n ? 的公差是正数，且 a 3 ? a 7 ? ? 12 ， a 4 ? a 6 ? ? 4 ，求前 20 项之和． 分析：利用等差数列通项公式和求和公式，求基本量 a 1 ， d 然后再求和；充分利用等差数 列的性质求解，分析等差数列的前 n 项和与等差数列之间的关系，简化求解过程． 解：法一 设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ? 0 ，由已知可得

? ( a 1 ? 2 d )( a 1 ? 6 d ) ? ? 12 　　　　(1 ) ? ? a 1 ? 3 d ? a 1 ? 5 d ? ? 4 　　　　　 ( 2 )

由（2）可知 a 1 ? ? 2 ? 4 d ，代入（1）得 ( ? 2 ? 2 d )( ? 2 ? 2 d ) ? ? 12 ， d ? 4 ．
2

又因为 d ? 0 ，得 d ? 2 ，所以 a 1 ? ? 10 ， S 20 ? 20 a 1 ? 法二

20 ( 20 ? 1 ) 2

d ? 180

利用等差数列的性质，可得 a 3 ? a 7 ? a 4 ? a 6 ，即 a 3 ? a 7 ? ? 4 ，又由题意可知
2

a 3 ? a 7 ? ? 12 ，利用韦达定理可知 a 3 ， a 7 是方程 x ? 4 x ? 12 ? 0 的两根，解方程可得

x 1 ? ? 6 ， x 2 ? 2 .因为等差数列 ?a n ? 的公差 d ? 0 ，因此 a 3 ? a 7 ，所以 a 3 ? ? 6 ， a 7 ? 2 ，
d ? a7 ? a3 7?3 ? 2 ， a 1 ? ? 10 ， S 20 ? 180 .

小结：充分利用等差数列性质，简化等差数列求和的过程，注意总结性质及与其他知识的结 合利用． 5、等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a3+a7+a11 为一个确定的常数，则下列各数中也是常数 的是（ D ） A.S7 B.S11 C.S12 D.S13 解析:∵a3+a7+a11=3a7 为常数，∴S13=
13 ( a 1 ? a 13 ) 2

=13a7，也是常数. ） D.1∶3?
1 2

6、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2，则 S9∶S3 等于（ C A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 解 析 : ∵ 易 知 q≠1,S6 ∶ S3=1 ∶ 2 ?
1? q 1? q
6 3

=

1 2

,q3=-

, ∴ S9 ∶

S3=

1? q 1? q

9 3

=1+q3+q6=1-

1 2

+(-

1 2

)2=

3 4

.

7、4.若{an}是等差数列，首项 a1＞0，a2005+a2 006＞0,a2 005a2 006＜0，则使前 n 项和 Sn＞0 成立 的最大自然数 n 是（ B ）A.4 009 B.4 010 C.4 011 D.4 012 解析:∵a2 005＞0＞a2 006,∴S4 010=
4010 ( a 1 ? a 4010 ) 2

=2 005(a2 005+a2 006)＞0,S4 011=4 011a2 006＜0.

8、设 a 1 , d 为实数，首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ，满足
S 5 S 6 ? 1 5 ? 0 ，则 d 的取值范围是__________________ .

解析： S 5 S 6 ? (5 a 1 ? 1 0 d )(6 a 1 ? 1 5 d ) ? 1 5 ? 0 ，

即 6 a 1 ? 2 7 d a 1 ? 3 0 d ? 3 ? 0 ，把它看成是关于 a 1 的一元二次方程，因为有根，所以
2 2

? ? ( 2 7 d ) ? 2 4 (3 0 d ? 3) ? 0 ，即 d
2 2

2

? 8 ? 0 ，解得 d≤ ? 2

2 或 d≥ 2

2 。

答案：d≤ ? 2 2 或 d≥ 2 2 。 9、 .已知公差大于零的等差数列 （1）求数列 （2）若数列
{a n } {a n }

的前 n 项和为 Sn， 且满足： 3

a ? a 4 ? 117

，

a 2 ? a 5 ? 22

．

的通项公式

an

；
bn ? Sn n? c

{b n }

是等差数列，且

，求非零常数 c；
2Tn ? 3bn ?1 ? 64 b n ( n ? 9 )bn ?1

（3）若(2)中的 解： （1） ∴
a3 {a n }

{b n }

的前 n 项和为

Tn

，求证：

为等差数列，∵
2

a 3 ? a 4 ? a 2 ? a 5 ? 22

，又

a 3 ? a 4 ? 117

，

， a 4 是方程 n ? 22 x ? 117 ? 0 的两个根

a ? a4 a ? 9 又公差 d ? 0 ，∴ 3 ，∴ 3 ， a 4 ? 13

? a1 ? 2 d ? 9 ? a ? 3 d ? 13 ∴ ? 1

? a1 ? 1 ? d ? 4 ∴?

∴

an ? 4n ? 3

（2）由(1)知，
bn ? Sn n? c
1 1? c ，

S n ? n ?1 ?

n ( n ? 1) 2

? 4 ? 2n ? n
2

?

2n ? n
2

∴

n?c
6 2? c ， 15 3? c

∴ ∵

b1 ?

b2 ?

b3 ?

{b n }

是等差数列，∴
1

2 b 2 ? b1 ? b 3

，∴ 2 c ? c ? 0
2

c ? ?

∴

2 （ c ? 0 舍去）

bn ?

2n ? n
2

n?

1 2

? 2n

（3）由(2)得
2

2 T n ? 3 b n ? 1 ? 2 ( n ? n ) ? 3 ( 2 n ? 2 ) ? 2 ( n ? 1) ? 4 ? 4
2

， n ? 1 时取等号

64 b n ( n ? 9 )bn ?1

?

64 ? 2 n ( n ? 9 ) ? 2 ( n ? 1)

?

64 n n ? 10 n ? 9
2

? n?

64 9 n ? 10

? 4

， n ? 3 时取等号

2Tn ? 3bn ?1 ?

64 b n ( n ? 9 )bn ?1

(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以

10、 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的 若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面 积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方 米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+
2 2

n ( n ? 1) 2

? 50 =25n +225n,

2

令 25n +225n≥4750,即 n +9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10. 到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400· (1.08)n-1· 0.85. 由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)· 50>400· (1.08)n-1· 0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. 到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.