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三角函数模型的简单应用(第二课时)


1.6 三角函数的简单应用 (第二课时)
2013.3.22

例题回顾:
如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满 足函数

y ? Asin??x ? ? ? ? b

T/oC 30 20 10

请写出这段曲线的函数解析式。

o

6

8

10 12 14 t/h

函数模型的应用

y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0)

? 正弦型函数

? ? ? ? ?

星体的环绕运动 气温变化规律 情绪的波动 涨潮与退潮 例题 股票变化

例4:海水受日月的引力,
在一定的时候发生涨落的现 象叫潮。一般地,早潮叫潮, 晚潮叫汐。在通常情况下, 船在涨潮时驶进航道,靠近 码头;卸货后,在落潮时返 回海洋。下面是某港口在某 季节每天的时间与水深关系 表:
时刻
水深
(米)

0.00 3.00

6.00

9.00 12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函 数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)。

时刻
水深
(米)

0.00 3.00
5.0 7.5
y

6.00
5.0

9.00 12.00
2.5 5.0

15.00
7.5

18.00
5.0

21.00
2.5

24.00
5.0

6

4 2

以时间为横坐标, 以水深为纵坐标, 在直角坐标系中 描出各点 ,并用平滑的曲 线连接
3 6 9 12 15 18 21 24 x

O

解:。根据图象,可以考虑用 y ? A sin( ?x ? ? ) ? h 函数 ________________________

刻画水深与时间的关系。

从数据和图象可以得出: A=2.5,h=5,T=12, ?



? T? ? 12, 得? ? ? 6,
?
6 x?5

2?

?0
EXCEL计算

? y ? 2.5sin

利用上述函数关系得整点时水深的近似值
时刻 0.00 时刻 0.00
1:00 1:00 2:00 2: 00 3:00 3:00 4: 4:00 00 5:00 5:00 6:00 6:00 7:00 7:00 8:00 8:00 9:00 9:00
10:00 10:00 11:00 11:00

水深 水深 时刻 时刻 水深 水深

5.000 12.00 12.00 5.000

6.250
13:00 13:00

7.165
14:00 14:00

7.500

7.165

6.250
17:00 17:00

5.000
18:00 18:00

3.754
19:00 19:00

2.835
20:00 20:00

2.500
21:00 21:00

2.835
22:00 22:00

3.754
23:00 23:00

15:00 15:00 16:00 16:

00 6.250 7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

动画演示

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,
安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距 离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
y 6 A B

货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米), 所以当y≥5.5时可以进港
C D

y ? 5.5

4 2 9 12 24 x

O

3

6

15

18

21

Excel计算

y 6 A B C D

4 2 9 12 24 x

O

3

6

15

18

21

xA ? 0.3848, xB ? 5.6152 xc ? 12 ? 0.3848 ? 12.3848
因此,货船可以在0:30左右进港,早晨5:30左右 出港;或在中午12:30左右进港,下午17:30左右 出港。 每次可以在港口停留5小时左右

xD ? 12 ? 5.6152 ? 17.6152

(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米, 该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的 速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货,将 船驶向较深的水域。 设在时刻x货船的安全水深为y,那么 y y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)
6 4

时刻 6 6.5

港口水深

安全水深 4.3 4.1 y ? 5.5 ? 0.3( x ? 2) 4 x

P
6

5 4.3 3.8
7
9

2

7
O 2 3

因此为了安全,货船最好在6:30之前停止 卸货,将船驶向较深的水域。

12

15

设两个图象的交点P(x0,y0),说明在x0时,货船 的安全水深正好与港口水深相等,因此在这时停止 卸货,将船驶向较深水域就可以了,你认为对吗?
y

6 4

P
y ? 5.5 ? 0.3( x ? 2)
x 2 3 6 7

2

O

9

12

15

一半径为3m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2m, 已知水轮每分钟转动4圈(逆时针),如果当水轮上点P 与O处在同一水平面时开始计时。

例题5

(1)点P第一次到达最高点大约要多长时间?
(2)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数; h p' O P

t

解:从图中读出信息

(1)、T=15’,P点第一次到达最 高点用了四分之一个周期,时间 为:

h

p
M p0 t

O

N

练习:
1. 如图,是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴 表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,写出这 个振子振动的函数解析式。
y (cm) 2 1 0.3 0 -2 0.1 0.5 X ( s)

练习2
? 已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 2 的图象的一个最高点为 2, 2),由这个 ( 2 最高点到相邻最低点,图象与x轴交于(6, 0)点,试求这个函数的解析式。
?

小结:
1 .三角函数模型描述的是周期现象, 可以用来解决实际 问题,如天气预报,地震预测,等等.

2. 建立三角函数模型的一般步聚:
搜集数据 作出相应的 散点图 进行函数 拟合得出 函数模型 利用函数 模型解决 实际问题

作业
? 课后练习3、4


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