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习文教育广东省六校2014届高三第一次联考数学试卷及答案(理科)


君子藏器于身

待时而动

仲元中学 中山一中 南海中学

2013—2014 学年
潮阳一中 宝安中学 普宁二中

高三第一次联考

理 科 数 学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第一部分

/>题目要求的. ) 1.设 z ? 1 ? i (为虚数单位) ,则 z ?
2

(选择题 满分40分)

一.选择题: (本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
2 ? z
( C. 1 ? i
2



A. ?1 ? i

B. ?1 ? i
x

D. 1 ? i )

2.设 U=R,集合 A ? { y | y ? 2 , x ? R}, B ? {x ? Z | x ? 4 ? 0} ,则下列结论正确的是( A. A ? B ? (0, ??) C. (CU A) ? B ? {?2, ?1, 0} B. (CU A) ? B ? ? ??, 0? D. (CU A) ? B ? {1, 2}

3.如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则 a ? ( ) A. 2 B.-2 C.2,-2 D.2,0,-2 4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数” 给出下列函数: . ① f ( x) ? sin x cos x ; ③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ; A.①② B.①④ ② f ( x) ? 2sin( x ? ④ f ( x) ? C.②③

?
4

);


2 sin 2 x ? 1 .其中“同簇函数”的是(
D.③④ )

5.右图为某几何体三视图,按图中所给数据,该几何体的体积为 ( A.16 B.16 3

3
4

C.64+16 3

D. 16+

4 3 3

正视图 2

侧视图

?x ? 1 ? 6.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 ?x ? y ? 0 ?
则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ( )

2 俯视图



君子藏器于身
A.[0,1] B.[1,2] C.[1,3]

待时而动
D.[0,2] )

???? 1 ??? 1 ??? ? ? ? ???? ???? 7.若等边 ?ABC 的边长为 2 ,平面内一点 M 满足 CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB ? ( 3 2 8 13 8 13 A. B. C. ? D. ? 9 9 9 9

8.定义:关于 x 的不等式 | x ? A |? B 的解集叫 A 的 B 邻域.已知 a ? b ? 2 的 a ? b 邻域为区间 ( ?2,8) ,

其中 a、b 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线 y 2 ? 4 5 x 的焦点 a2 b2


重合,则椭圆的方程为(

x2 y2 ? ?1 A. 8 3

x2 y2 ? ?1 B. 9 4

x2 y2 ? ?1 C. 9 8

x2 y2 ? ?1 D. 16 9

第二部分

(非选择题 满分 110 分)

二、填空题: (本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题)
? 9.已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,若 ?n ? N , a n ? a n ?1 ? ?2 ,则 a n ?



10.执行程序框图,如果输入 a ? 4 ,那么输出 n ?



11.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选 一门,则不同的选法共有 种(用数字作答) .
开始 输入 a

12.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内 (含正方体表面)任取一点 M ,则

AA1 ? AM ? 1 的概率 p ?



p ? 10 , q ? 1 , n ? 1
C1

D1 A1

p?q


否 输出 n 结束

M D

B1

p ? p?a
C

q ? q?a

n ? n ?1 ? f ( x), f ( x) ? k 13.设函数 y ? f ( x) 在 ?? , ? ) ( + 内有意义. 对于给定的正数 k, 已知函数 f k ( x) ? ? , f ( x) ? k ?k ,

A

B

取 函 数 f ( x) = 3 ? x ? e 为 .

?x

, . 若 对 任 意 的 x ? ( ?? , + ? ) 恒 有 f k ( x) = f ( x) , 则 k 的 最 小 值

(二)选做题:考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分.

君子藏器于身

待时而动

π? ? 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ? 2 2 , ? 作圆 4? ?

? ? 4 sin? 的切线,则切线的极坐标方程是


E

D C

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 ,

C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 D ,则 ?DAC ? .
三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分)

A

O

B

第 15 题图

设 a ? (6 cos x, ? 3) , b ? (cos x,sin 2 x) , f ( x) ? a ? b

?

?

? ?

(1)求 f ( x) 的最小正周期、最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合; (2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan

4 ? 的值. 5

17. (本小题满分 12 分) 示:

某市 A, B, C, D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所

中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学 生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C, D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用 ? 表示抽 得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列.

18.(本小题满分 14 分)

如图,直角梯形 ABCD 中,

AB // CD , AB ? BC , AB ? 1 , BC ? 2 ,
CD ? 1? 2 ,过 A 作 AE ? CD ,垂足为 E .

君子藏器于身
F 、 G 分别是 CE 、 AD 的中点.现将 ?ADE 沿

待时而动

AE 折起,使二面角 D ? AE ? C 的平面角为 135 0 .
(1)求证:平面 DCE ? 平面 ABCE ; (2)求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值.

19.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率 e ?

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) . (1) 2

求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共 线?若存在,求直线 AP 的方程;若不存在,简要说明理由.

20. (本小题满分 14 分)设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为正常数)(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; . (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn ?1 , (n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn ?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f (x) 的最大值; 2

君子藏器于身
(Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ?

待时而动

1 2 a 1 其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线的斜率 k ≤ 恒 ax ? bx ? ( 0 ? x ? 3 ) 2 x 2

成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值.

2013-2014学年度高三第一次教学质量检测试题(理科数学)评分参考
一、选择题 DCCC DDCB

二、填空题 9. a n ? ?

?1 ,

n 是正奇数

?? 2 , n 是正偶数

,或 a n ? ?

1 3 ? (?1) n ?1 ; 10. 4 ; 2 2
15. 30? …………………1 分

11. 30;

12.

3 ; 4

13. 2 ; 14. ? cos? ? 2

16.解: (1)解: f ( x) ? a ? b ? 6 cos x ? 3 sin 2 x
2

? ?

? 6?

? 3 ? 1 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 ? 2 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 …3 分 ? 2 ? 2 2 ? ?
最小正周期 T ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 ……4 分 6? ?
当 2x ?

2? ? ? ……5 分 2

?
6

? 2k? , k ? Z ,即 x ? k? ?

?
12

, k ? Z 时, f ( x) 有最大值 2 3 ? 3 ,

此时,所求 x 的集合为 {x | x ? k? ? (2)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 又由 0 ? ? ?

?

12

, k ? Z} .………7 分
2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?? ? ? ?1 …9 分 6?

?? ? 2 3 c o s?2 ? ? ? 3? 3 ? ? 6? ?

? ? ? ? ? 5 得 ? 2? ? ? ? ? , 故 2? ? ? ? ,解得 ? ? ? .……11 分 12 2 6 6 6 6 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . ………………12 分 5 3
17.解: (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为 . Ks5u

君子藏器于身
∴应从 四所中学抽取的学生人数分别为

待时而动
. …………… 4 分

(2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M , 从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种,… 5 分
2

来自同一所中学的取法共有 C15 ? C20 ? C10 ? C5 ? 350 . …………… 6 分
2 2 2 2

∴ P( M ) ?

350 2 ? . 1225 7 2 . …7分 7

答:从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为

(3)由(1)知, 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ………… 8 分

P (? ? 0) ?

2 C10 C1 C1 1 C2 3 7 ? , P (? ? 1) ? 15 2 10 ? , P (? ? 2) ? 15 ? .…… 11 分 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

∴ ? 的分布列为: ?

12 分

3 20
18. (1)证明:? DE ? AE,CE ? AE, DE ? CE ? E,DE , CE ? 平面CDE ,

?

AE ? 平面 CDE , ……3 分

? AE ? 平面 ABCE ,?平面 DCE ? 平面 ABCE .……5 分
(2) (方法一)以 E 为原点,EA、EC 分别为 x, y 轴,建立空间直角坐标系……6 分

?DE ? AE,CE ? AE,? ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC = 135 0 ,……7 分

? AB ? 1 , BC ? 2 , CD ? 1? 2 ,

?A(2,0,0) ,B(2,1,0) ,C(0,1,0) ,E(0,0,0) ,D(0, ?1 ,1) .……9 分
1 1 1 F 0) ( ? ? F 、 G 分别是 CE 、 AD 的中点,?(0, , ,G 1, , ) ……10 分 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 ? FG =(1, 1, ), AE = (?2,0,0) ,……11 分 ? 2 ??? ? 由(1)知 AE 是平面 DCE 的法向量, ……12 分

君子藏器于身
?

待时而动

??? ??? ? ? FG ? AE ?2 2 ? ??? |?| ? 设直线 FG 与面 DCE 所成角 ? 0 ? ? ? ) ,则 sin ? ?| ??? |? , ( 2 | FG | ? | AE | 3 ? 2 3 2
故求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为

2 . ……14 分(列式 1 分,计算 1 分) 3

(方法二)作 GH // AE ,与 DE 相交于 H ,连接 FH ……6 分 由(1)知 AE ? 平面 CDE ,所以 GH ? 平面 CDE , ?GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所成角……7 分

G 是 AD 的中点, GH 是 ?ADE 的中位线, GH ? 1 , EH ?

2 ……8 分 2
0

因为 DE ? AE,CE ? AE,所以 ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC = 135 …9 分 在 ?EFH 中,由余弦定理得, FH ? EF ? EH ? 2 ? EF ? EH ? cos ?FEH
2 2 2

?

5 1 1 1 2 2 5 ? ? 2? ? ? (? ) ? (或 FH ? )……11 分(列式 1 分,计算 1 分) 2 4 2 2 2 2 4

GH ? 平面 CDE ,所以 GH ? FH ,在 Rt?GFH 中, GF ? GH 2 ? FH 2 ?
所以直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 sin ?GFH ?

3 ……13 分 2

GH 2 ? ……14 分 GF 3
……1 分

x2 y 2 19.解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
离心率 e ?

3 c 3 , c ? 3 ,? a ? 2 , b2 ? 1 …… 3 分 ,右焦点为 F ( 3 , 0) ,? ? 2 a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…… 4 分 4

(2)假设椭圆 C 上存在点 P ( x0 , y0 ) ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共线,……5 分

??? ??? ? ? ??? ? ? OP ? OA ? ( x0 , y0 ? 1) , FA ? (? 3,1) ,? x0 ? ? 3( y0 ? 1) (1)
又? 点 P ( x0 , y0 )在椭圆

……6 分

x2 x2 ? y 2 ? 1 上,? 0 ? y0 2 ? 1 4 4
8 3 1 , ), 7 7

(2) ……8 分

由(1)(2)组成方程组解得: P(0, ?1) ,或 P(? 、

……11 分

当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 , 当点 P 的坐标为 P(?

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7
……14 分

故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 .

君子藏器于身

待时而动

20.解: (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .…………………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? man ?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man ?1 .…………………2 分 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) .………………………3 分 an ?1 1 ? m

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为

m 的等比数列.……………………4 分 1? m
bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) .…7 分 1 ? bn ?1 bn bn?1 bn bn?1

(2)解: b1 ? 2a1 ? 2 …5 分 ∵ bn ?

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列.………………………………………8 分 2 ? bn ?



1 1 2n ? 1 2 ? ? (n ? 1) ?1 ? ,即 bn ? bn 2 2 2n ? 1

(n ? N ? ) .……………………………9 分

2n ?1 2 ? 2n (2n ? 1) . (3)解:由(2)知 bn ? ,则 bn 2n ? 1
所以 Tn ?
1

2 2 23 2 4 2n 2n ?1 ? ? ?? ? ? , b1 b2 b3 bn ?1 bn
2 3 n ?1

…10 分 ① ……11 分 ②………12 分

即 Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2
2 3 4

? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ,
n ?1

则 2Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2 ? (2n ? 3) ? 2
n

? (2n ? 1) ,

②-①得 Tn ? 2 故 Tn ? 2
n ?1

n ?1

? (2n ? 1) ? 2 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ?1 ,……………………13 分

? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n ?1 ) ? 2n ?1 ? (2n ? 3) ? 6 .……………………14 分 1? 2

21.解: (1)依题意,知 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当a ?b ?

1 1 2 1 1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , f ?( x) ? ? x ? ? ??????2分 2 4 2 x 2 2 2x

令,解得 x ? 1.(? x ? 0) 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减。 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?

3 ,此即为最大值????????4 分 4

君子藏器于身
(2) F ( x) ? ln x ? ∴ a ≥ (?

待时而动

x ?a 1 a , x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? , 在 x0 ? (0,3] 上恒成立, x0 2 x

1 2 x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 ? 1 时, ? x 0 ? x 0 取得最大值 ,所以 a ≥ ?????8 分 2 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 2mx ? 2m . 令 g ?( x) ? 0 , x2 ? mx ? m ? 0 x

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m ? 0 (舍去) x2 ? , , 2 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增, 当 x ? x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x) 取最小值 g ( x2 ) .?????10 分
因为 m ? 0, x ? 0, 所以 x1 ?

? x2 2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 ? g ( x2 ) ? 0 ? 则? 即? 2 ? x2 ? mx2 ? m ? 0 ? g ?( x2 ) ? 0 ?
所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0, 因为 m ? 0, 所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0(?) ?????12 分 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h( x ) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解. ∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? ???14 分 2 2


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