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2013学年广州市第二中学高二理科数学第7周周末练习卷含答案


高二理科数学周末练习卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

(第 7 周)2013.10.18

1. 若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上 ... 的图象可能是( y ) y y y

o

r />a

b x

o
2

a
B.
2

b x o

a
C.

b x o

a
D.

b x

A .

2. 如图阴影部分是 y= x 与曲线 y ? x 在第一象限围成的图形, 其面积是( )

1 1 1 B. C. 2 3 4 2 3. 函数 f ( x) ? sin x cos x 的最大值是( ) A.
A. 0 4. 关于 x 的方程 m ? A. 0 5. 函数 y ? x ? A. (??,9) 6. 函数 f ( x) ? A. 1 B. 1 C.

D. 无 法 计 算

2 3 9
)

D.

2 4

4x 的解个数不可能是( x ?4
2

B. 1

C. 2 ) D.

D. 3

a 在区间[3,5]为增函数,则 a 的取值范围是( x B. (??,9] C. (9,??)
1 4 ? 的最小值是( 2 sin x cos 2 x
B. 2 ) C. 4

[9,??)

D. 9 )

7. 关于x的方程kx 2 ? x ? k ? 1 ? 0在[0,1]有解,则 k的取值范围是(

A. ? 1 ? k ? ?

3 5

B . ?1 ? k ? 1

C. k ? ?1

D. k ? 1

2 3 8. 存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

A. ?1或 -

25 64

B. ?1或

21 4

15 x ? 9 都相切,则 a 等于( ) 4 7 25 7 C. ? 或 D. ? 或 7 4 64 4

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 根据定积分意义可知
3

?

2

?2

4 ? x 2 dx =_________.
____________ .

10. 函数 f ( x) ? x ?15x ? 33x ? 6 的单调减区间为
2

x2 ? 4 x ? 4 , x ? [?1, 0] 的值域______________________. 11. 求函数 f ( x) ? 2 x ? 4x ? 5
12. 已知函数 f ( x) ? x ? 3mx ? nx ? m 在 x=-1 时有极值 0, 则 m=_________; n=_________;
3 2 2

-1-

13. 设函数 f ( x) ? x cos x ? sin x(0 ? x ? ? ) ,函数 f ? x ? 的最小值是__________。 14. .函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? a 有且仅有一个零点,则 a 的取值范围是_________. 2

三、解答题:(要求写出详细过程) 15. 设函数 f ( x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f ( x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ≤2x-2.

16. 已知函数 f ? x ? ? x ?

a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x , x

(1)当 a ? 0 时,求函数 F ( x) ?

1 的定义域、单调区间与极值。 f ( x)

(2)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;

-2-

17、已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)若对于任意 x ? (0, ??) , f ( x) ? ax 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18. 已知函数 f ( x ) ?

1? x ? ln x ax (1)若函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数,求正实数 a 的取值范围;

? 1 ? 上的最大值和最小值; ,2 ? ?2 ? ? 1 1 1 1 (3)当 a ? 1 时,求证:当 n ? N *,n ? 1 时都有 ln n ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 n.
(2)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在

-3-

19. 已知 a 为常数,函数 f ( x) ? ax2 ? x ? a ln x , (1)讨论 f ( x ) 是否存在极值点,若存在则求之; (2) 证明 f ( x ) 不存在小于 0 的极值。 (3) (附加题)判断 f ( x ) 有几个零点。

20 附加题: 设函数 f(x) = x2 + bln(x+1), (1)若对定义域的任意 x,都有 f(x)≥f(1)成立,求实数 b 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; (3)若 b = - 1,,证明对任意的正整数 n,不等式

<1 ? ? f (k ) 2
k ?1

n

1

1
3

?

1 1 ? ......? 3 都成立 3 3 n

-4-

高二理科数学周末练习卷答案
各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. 2. B. 解

1.A 解: 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [ a, b] 上是增函数,即在区间 [ a, b] 上 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

(第 7 周)2013.10.18

?x
0

1

2

dx ?

1 1 ,由对称性易知阴影部分面积是 ,答案 B 3 3

3. C. 解: f ( x) ? cos x sin 2 x =g(t)= t (1 ? t 2 )(?1 ?? t ? 1) , g ' (t ) ? t ? t 3 ' ? 1 ? 3t 2 ? 0 ? t ? ?

?

?

3 3

g (?1) ? g (1) ? 0, g (?
4.D. 解: m ?
2

3 2 3 3 2 3 )?? , g( ) ? ,选 C 项 3 9 3 9

4x ? m x 2 ? 4 ? 4x 其解不可能是 3 个。选 D x ?4 a 2 5. B. 解 y ' ? 1 ? 2 ? 0( x ? [3,5]) 恒成立 ? a ? x ( x ? [3,5]) 恒成立 ? a ? 9 ,选 B x
6. D. 解: X ? sin 2 x, cos 2 x ? 1 ? X , f ( x) ?
F ' ( x) ? ?

?

?

1 4 ? ? F ( X )( 0 ? X ? 1), X X ?1

1 4 1 ? ? 0 ? ( X ? 1) 2 ? 4 X 2 ? X ? 3 X 2 ( X ? 1) 2

1 F ( ) ? 9, X ? 0时F ( X ) ? ??; X ? 1时F ( X ) ? ??; F ( X )最小值为9 3

4 ? cos2 x 4 sin 2 x cos2 x 4 sin 2 x ? 1 法二:f ( x) ? (sin 2 x ? cos2 x)? 2 ? ? 5 ? ? ? 5 ? 2 ?9 ? 2 sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x ? sin x cos x ? cos2 x 1 且当 2 ? 2即 tan2 x ? 时上式取“ ?”, ? f ( x)最小值9 2 sin x 1 x2 ?1 7. A. 解:易知 k ? 0 , 关于x的方程kx 2 ? x ? k ? 1 ? 0在[1,2]有解 ? ? ? 在[1,2]有解 k x ?1

?1 ? ?

1 5 3 ? ? ?1 ? k ? ? k 3 5
3

8.A.【解析】设过 (1, 0) 的直线与 y ? x 相切于点 ( x0 , x03 ) , 所以切线方程为 y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 ) 即 y ? 3x02 x ? 2x03 , 又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ?
2

3 , 2

15 25 x ? 9 相切可得 a ? ? , 4 64 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4
9. 答 2? . 解: 10.答

?

2

?2

4 ? x 2 dx 表示圆 x 2 ? y 2 ? 4 在 x 轴上方部分与 x 轴围成的半圆面积=2 ?

(?1,11) 【解析】 f ?( x) ? 3 x 2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) , 由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
1 1 , ? [ ,1] . 1 1? 2 t 2 t 1

2 1 4 11. 答案 [ , ] 解:令 t ? x ? 2 ,则 y ? t ? 2 5 t2 ?1

-5-

1 5 1 4 ? [ , 2] 所以 f ( x) 值域是 [ , ] . 2 t 4 2 5 12.答 m=2,n=9.解析 f ?( x ) =3x2+6mx+n 由题意, f ?(?1) =3-6m+n=0
因为 1 ? f(-1)=-1+3m-n+m =0 解得 ?
2 2

但 m=1,n=3 时, f ?( x ) =3x +6x+3=3(x+1)2≥0 恒成, 即 x=-1 时不是 f(x)的极值点,应舍去 13. 答 ? ? 解: 0 ? x ? ? ? f ' ( x) ? cos x ? x(? sin x) ? cos x ? ? x sin x ? 0 ,

?m ? 1 ? m ? 2 或? ?n ? 3 ? n ? 9

f ? x ? 为减函数, f ( x) min ? f (? ) ? ??
14. 解: f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) 因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 5 所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ? ? a ; 当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 2 5 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? . 2 三、解答题 15. 设函数 f ( x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f ( x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ≤2x-2. 【解析】20.解: (I) f ?( x ) ? 1 ? 2ax ?

b . …………2 分 x ? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, 由已知条件得 ? 解得 a ? ?1, b ? 3. ………………5 分 即? ? f ?(1) ? 2. ?1 ? 2a ? b ? 2. 2 (II) f ( x)的定义域为(0, ??) ,由(I)知 f ( x) ? x ? x ? 3ln x.
设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 2) ? 2 ? x ? x ? 3ln x, 则
2

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ?? . x x 当0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0;当x ? 1时, g ?( x) ? 0. g ?( x) ? ?1 ? 2 x ?

所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, ??)单调减少. 而 g (1) ? 0, 故当x ? 0时, g ( x) ? 0,即f ( x) ? 2 x ? 2.
16. 已知函数 f ? x ? ? x ? a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x ,
x

………………12 分

(1) a ? 0 时,求函数 F ( x) ? 1 的定义域、单调区间与极值。
f ( x)

(2)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间; 解: (1) F ( x) ?

?x ? 0 ? 中? ,? a ? 0 ? x 2 ? a ? 0 ? F ( x)的定义域为 (??,0) ? (0,??) a a ?x ? ? 0 x? x x ? 1

2 a ? x2 ? x ? x ? a ? x ? 2x F ' ( x) ? ? 2 ? , F ' ( x) ? 0 ? x ? ? a , ?' ? 2 2 2 2 ? x ?a? x ?a x ?a X 变化时, F ( x)与F ' ( x) 关系如下表

?

?

?

?

x
F ' ( x) F ( x)

(??,? a )

? a

(? a ,0)

0 无 无意义

(0, a )

a

( a ,??)

减↘

0 极小值

+ 增↗

+ 增↗

0 极大值

减↘

-6-

所以 F ( x) 的增区间为 (? a ,0) 、 (0, a ) ,减区间是 (??,? a ) 、 ( a ,??) X= ? a 时, F ( x) 有极小值,且极小值为 F (? a ) ? ? X= a 时, F ( x) 有极大值,且极大值为 F ( a ) ? (2) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?

a , 2a

a 2a

a ? ln x 函数的定义域为 ? 0, ?? ? . x , 2 a 1 x ? x?a ' ∴ F ? x? ? 1 ? 2 ? ? . x x x2 1 ' ① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 时, 得 x 2 ? x ? a ? 0 ,则 F ? x ? ? 0 . 4
∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 解得 x1 ?

1 ' 时, 令 F ? x ? ? 0, 4

得 x2 ? x ? a ? 0 ,

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a . ? 0, x2 ? 2 2 1 ?1 ? 1 ? 4a (ⅰ) 若 ? ? a ? 0 , 则 x2 ? ?0. 4 2 ' ∵ x ? ? 0, ??? , ∴ F ? x ? ? 0 , ∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.

? ?1 ? 1 ? 4a (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0, ? 2 ?
∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0,

? ? ? ' ' 时, F ? x ? ? 0 ; x ? ? ?1 ? 1 ? 4a , ?? ? 时, F ? x ? ? 0 , ? ? ? ? 2 ? ? ?

? ?1 ? 1 ? 4 a ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? ? ? 上单调递增. 2 2 ? ? ? 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ;
? ?1 ? 1 ? 4 a 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的减区间为 ? 0, ? 2 ?
2

? ? ?

? ? ? , 增区间为 ? ?1 ? 1 ? 4a , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

3 2 17、已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值;

(Ⅱ)若对于任意 x ? (0, ??) , f ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 1)(3x ? 1) . 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? ? . 3 1 1 因为当 x ? ?1 或 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 3 3 所以 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (? , ??) ,单调递减区间是 ( ?1, ? ) . 又 f (?1) ? 0 , f ( ? 1 ) ? ? 4 , 3 27 所以当 x ? ?1 时,函数 f ( x) 有极大值 0 ;

1 3

1 3

1 4 . ????????6 分 3 27 2 3 2 2 2 (Ⅱ) f ( x) ? ax ? x ? 2x ? x ? ax ? x[ x ? (2 ? a) x ? 1] .
当 x ? ? 时,函数 f ( x) 有极小值 ? 由已知 x[ x ? (2 ? a) x ? 1] ? 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立,
2

所以 x ? (2 ? a) x ? 1 ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立, (根据隐藏 x 范围先化简是解题关键)
2

-7-

即 a ? 2 ? 1 ? x 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立.
x

因为 x ? 0 ,所以 1 ? x ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”号) . x 所以 1 ? x 的最小值为 2 ? a ? 2 ? 2 ,得 a ? 4 ,
x

所以 f ( x) ? ax 2 恒成立时,实数 a 的取值范围是 ( ??, 4] .?????14 分 18. 已知函数 f ( x ) ?

1? x ? ln x ax (1)若函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数,求正实数 a 的取值范围;
(2)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (3)当 a ? 1 时,求证:当 n ? N *,n ? 1 时都有 ln n ?

?1 ?

? ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 3 4 n.

(3)当 a ? 1 时, f ( x ) ?

1? x x ?1 ? ln x , f ?( x ) ? 2 ,故 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数。 x x n 当 n ? 1 时,令 x ? ,则 x ? 1 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 ??????11 分 n ?1 n 1? n ? ? n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 ,即 ln n ? 1 ??12 分 ∴ f? ?? n n ?1 n n ?1 n n ?1 ? n ?1? n ?1

-8-

2 1 3 1 4 1 n 1 ? , ln ? , ln ? , ???, ln ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n 2 3 4 n 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ∴ ln ? ln ? ln ? ??? ? ln 1 2 3 n ?1 2 3 4 n 1 1 1 1 ∴ ln n ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 n


ln

??????14 分

19. 已知 a 为常数,函数 f ( x) ? ax2 ? x ? a ln x , (1)讨论 f ( x ) 是否存在极值点,若存在则求之; (2)* 证明 f ( x ) 不存在小于 0 的极值。 (3) (附加题)判断 f ( x ) 有几个零点。 解: f ( x) ? ax2 ? x ? a ln x 的定义域为 (0,??)

a 2ax2 ? x ? a ? ( x ? 0)其正负符号与 g ( x) ? 2ax2 ? x ? a相同 x x ( I )a ? 0时,f ( x) ? x在定义域上为增函数无 极值点; f ' ( x) ? 2ax ? 1 ?
(II ) a ? 0时方程2ax2 ? x ? a ? 0中 ? ? 1 ? 8a 2 ? 0 ? ? 2 2 2 2 ?a? ,? ? 0 ? a ? ? 或a ? , 因此 4 4 4 4

( a) a ? ?

2 时, g ( x)开口向下且在x轴下方, g ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0 4 f ( x)在定义域上单调递减无 极值点; 2 时, g ( x)开口向上且在x轴上方, g ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0 4 f ( x)在定义域上单调递增无 极值点;
2 2 ?a? , 且a ? 0时,方程g ( x) ? 0有两根 4 4

(b)当a ?

(c ) 当 ? x1 ?

?1? 8 ? a2 ? 1 ? 1 ? 8a 2 1 ? 0, x 2 ? 且x1 x 2 ? ? 0,因此 4a 4a 2 2 (c1) 当0 ? a ? 时x1 ? 0, x 2 ? 0, 此时g ( x)开口向上且两根小于 0, 4 在(0,??)上g ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0 ? f ( x)在(0,??)上单调递增无极值点 (c 2) 当 ? 2 ? a ? 0时x1 ? x 2 ? 0, 此时g ( x)开口向下且两根大于 0, 4 g(x)图象可确定 f ' ( x) 与 x 的关系表

(0, x2 )
f ' ( x) f ( x)
减↘

x2
0 极小值

( x 2 , x1 )
+ 增↗

x1
0 极大值

( x1 ,??)
减↘

所以此时 f ( x) 的极大值点为 x1 ,极小值点 x2 . 综上所述,当且仅当 ?

2 ? a ? 0 时 f ( x) 有极值, 4

且 f ( x) 的极大值点为 x1 ? (2) 由(1)当且仅当 ?

?1? 8 ? a2 ? 1 ? 1 ? 8a 2 ,极小值点 x 2 ? . 4a 4a

2 ? a ? 0 时 f ( x) 才存在有极值。而且此时 4 2 且极值点是 2ax ? x ? a =0 的解, f ( x) 的极大值点为 x1 ,极小值点 x2
-9-

下面证明 f ( x ) 的极值都为正 令 F ( x) ? ln x ? ( x ? 1), F ' ( x) ? 1 ? 1, 则 F ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1; F ' ( x) ? 0 ? x ? 1 x 在(0,1)上递增,在 (1,??) 上递减,则 F ( x) 在 x ? 1 处有极大值,也是最大值, 所以 F ( x) ? F (1) ? ln1 ? (1 ? 1) ? 0 ? ln x ? x ? 1 , (下面利用常见结论进行缩放)

由2ax2 ? x 2 ? a ? 0, 且 ln x 2 ? x 2 ? 1, a ln x 2 ? ax2 ? a ? f ( x 2 ) ? ax2 ? x 2 ? a ln x 2 ? ?a ? ax2 ? a ln x 2 1 7 2 2 ? ?a ? ax2 ? ax2 ? a ? ? a( x 2 ? x 2 ? 2) ? ?a[(x 2 ? ) 2 ? ] ? 0 2 4
另法:有 2ax2 ? x2 ? a ? 0 ? f ( x2 ) ? ax2 ? x2 ? a ln x2 ? ?a ? ax2 ? a ln x2 (提取 a 可避免讨论)
2 2 2
2 2

2

1 1 ? 2x 2 ? ( x ? 0) x x 2 2 2 g ' ( x) ? 0 ? x ? ; g ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? ; g ' ( x) ? 0 ? x ? 2 2 2 2 1 2 3 g ( x)的最大值为g ( ) ? ?1 ? ? ln ? ? ? ln 1 ? 0, 2 2 2 2 2 2 又? ? a ? 0 ? ag( x) ? ag( ) ? 0 ? f ( x 2 ) ? 0 4 2 同理 f ( x1 ) >0, 因此 f ( x ) 有极值时极值都为正,即不存在小于 0 的极值。 g ( x) ? ?1 ? x 2 ? ln x, g ' ( x) ? ?2 x ?
(3) 法一 (分离变量法是常法,关键是分离后得到两边都是较简单的函数) (I)当 a ? 0 时 f ( x) ? x( x ? 0) 没有零点。

1 ln x ? x? 的解 a x ln x 1 ? ln x x 2 ? 1 ? ln x 令g ( x) ? x ? , 则g ' ( x) ? 1 ? ? ( x ? 0) x x2 x2 1 2x 2 ? 1 再令h( x) ? x 2 ? 1 ? ln x, 则h' ( x) ? 2 x ? ? ( x ? 0) x x 2 2 h' ( x ) ? 0 ? 0 ? x ? ; h' ( x ) ? 0 ? x ? ; 2 2 2 (? x ? 时,h( x)有唯一极小值,也是 h( x)的最小值。 ) 2 2 3 2 ? h( x) ? h( ) ? ? ln ? 0 ? g ' ( x) ? 0( x ? 0) ? g ( x)在定义域上为增函数 2 2 2 1 当x ? 0时, ln x ? ??, ? ?? ? g ( x) ? ??; x ln x 而当x ? ??时, ? 0 ? g ( x) ? ??; x 1 因此 g(x)的值域为 R 且是单调增函数必与 y ? ? 有且只有一个交点,即 f ( x) 有且只有一个零点。 a 法二: (I)当 a ? 0 时 f ( x) ? x( x ? 0) 没有零点。 (II)因为 (i) a ? 0 时
(II)当 a ? 0 时 f ( x) ? ax2 ? x ? a ln x 的零点即方程 ?

- 10 -

x ? 0时ax2 ? x ? 0, ln x ? ??,? f ( x) ? ??; x ? ??时, ax2 ? x ? ??; a ln x ? ?? ? f ( x) ? ?? ?连 续 函 数 f ( x)的 值 域 为 (??,??) ? f ( x)至 少 有 一 个 零 点 。 (ii) a ? 0 时 x ? 0时ax2 ? x ? 0, a ln x ? ??,? f ( x) ? ??;
x ? ??时, ax2 ? x ? ??; a ln x ? ?? ? f ( x) ? ?? ?连 续 函 数 f ( x)的 值 域 为 (??,??) ? f ( x)至 少 有 一 个 零 点 。
由(1) 当 a ? ?

2 , 或a ? 0 时,由(1)可知 f ( x) 是单调函数(至多有 1 个零点) 4 所以此时 f ( x) 有且只有一个零点。

2 ? a ? 0 时 f ( x) 才存在有极值,且极极值都为正, 4 可知 f ( x) 的图象大致如右, 所以 f ( x ) 只有 1 个零点。 综合所述:当 a ? 0 时 f ( x) ? x( x ? 0) 没有零点;当 a ? 0 时 f ( x ) 有且只有一个零点。
由(2)当 ? 20 附加题: 设函数 f(x) = x2 + bln(x+1), (1)若对定义域的任意 x,都有 f(x)≥f(1)成立,求实数 b 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; n 1 1 1 (3)若 b = - 1,,证明对任意的正整数 n,不等式 ? f ( 1 ) <1 ? 3 ? 3 ? ......? 3 都成立 k 2 3 n k ?1 解: (1)由 x + 1>0 得 x> – 1∴f(x)的定义域为( - 1,+ ∞), 对 x∈( - 1,+ ∞),都有 f(x)≥f(1),∴f(1)是函数 f(x)的最小值,故有 f/ (1) = 0,

f / ( x) ? 2 x ?
/

b b ,? 2 ? ? 0, 解得 b= - 4. x ?1 2

b 2x 2 ? 2x ? b ? , (2)∵ f ( x) ? 2 x ? x ?1 x ?1
又函数 f(x)在定义域上是单调函数, ∴f/ (x) ≥0 或 f/(x)≤0 在( - 1,+ ∞)上恒成立。 若 f/ (x) ≥0,∵x + 1>0,∴2x2 +2x+b≥0 在( - 1,+ ∞) 上恒成立, 即 b≥-2x2 -2x = ? 2( x ?

1 1 2 1 ) ? 恒成立,由此得 b≥ ; 2 2 2

若 f/ (x) ≤0, ∵x + 1>0, ∴2x2 +2x+b≤0,即 b≤-(2x2+2x)恒成立, 因-(2x2+2x) 在( - 1,+ ∞)上没有最小值, ∴不存在实数 b 使 f(x) ≤0 恒成立。 综上所述,实数 b 的取值范围是 ? ,?? ? 。

?1 ?2

? ?

- 11 -

- 12 -


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