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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.3圆的方程教案 理 新人教A版


§9.3
2014 高考会这样考 复习备考要这样做

圆的方程

1.考查圆的方程的形式及应用;2.利用待定系数法求圆的方程. 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点; 2.会利用代数法、 几何法求

圆的方程,注意圆的方程形式的选择.

1. 圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的

集合叫圆. 2. 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3. 圆的标准方程 (x-a) +(y-b) =r (r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径. 4. 圆的一般方程
2 2 2

E? ? D x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0, 其中圆心为?- ,- ?, 半径

? 2

2?

r=

D2+E2-4F
2

.

5. 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 6. 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a) +(y0-b) =r ; (2)点在圆外:(x0-a) +(y0-b) >r ; (3)点在圆内:(x0-a) +(y0-b) <r . [难点正本 疑点清源] 1. 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直切线的直线上;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

(2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 2. 圆的一般方程的特征 圆的一般方程: x +y +Dx+Ey+F=0, 若化为标准式, 即为?x+ ? +?y+ ? = ? 2? ? 2?
2 2

?

D?2 ?

E?2 D2+E2-4F
4

.

由于 r 相当于
2

2

D2+E2-4F
4
2

.

所以①当 D +E -4F>0 时,圆心为?- ,- ?,半径 r= 2? ? 2 ②当 D +E -4F=0 时,表示一个点?- ,- ?. 2? ? 2
2 2

? D

E?

D2+E2-4F
2

.

? D

E?

③当 D +E -4F<0 时,这样的圆不存在.

2

2

1. 若方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是______________. 2? ? 答案 ?-2, ? 3

2

2

2

?

?
2 2

解析 方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 3 2 ? a?2 2 转化为?x+ ? +(y+a) =- a -a+1, 2 4 ? ? 3 2 所以若方程表示圆,则有- a -a+1>0, 4 2 2 ∴3a +4a-4<0,∴-2<a< . 3 2. (2011·辽宁)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为 ______________. 答案 (x-2) +y =10 解析 设圆心坐标为(a,0),易知 ?
2 2

2

a-5?

2

+? -1?

2

= ?

a-1?

2

+? -3?

2

,解得

a=2,∴圆心为(2,0),半径为 10,∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10.
3. (2011·四川)圆 x +y -4x+6y=0 的圆心坐标是 A.(2,3) C.(-2,-3) 答案 D 6? ? -4 2 2 解析 圆 x +y -4x+6y=0 的圆心坐标为?- ,- ?,即(2,-3). 2? ? 2 4. (2012·辽宁)将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是 ( )
2
2 2 2 2

(

)

B.(-2,3) D.(2,-3)

A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 答案 C

B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选 C. 5. (2012·湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两部分,使得这 两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 ( ) B.y-1=0 D.x+3y-4=0
2 2

A.x+y-2=0 C.x-y=0 答案 A

解析 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件. 圆心 O 与 P 点连线的斜率 k=1, ∴过点 P 垂直于 OP 的直线方程为 x+y-2=0.

题型一 求圆的方程 例1 根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2). 思维启迪:(1)求圆心和半径,确定圆的标准方程. (2)设圆的一般方程,利用待定系数法求解. 解 (1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2

将 P、Q 点的坐标分别代入得
? ?2D-4E-F=20, ? ?3D-E+F=-10. ?
2

① ②

又令 y=0,得 x +Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6 有 D -4F=36,④ 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为
2

x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x-8y=0.
(2)方法一

3

4x0-2 如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得 =1, 3-x0 ∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径 r=2 2, 故圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 方法二 设所求方程为(x-x0) +(y-y0) =r ,
2 2 2 2 2

y =-4x , ? ?? 3-x ? +? -2-y ? 根据已知条件得? |x +y -1| =r, ? ? 2
0 0 2 0 0 0 0

2

=r ,

2

=1, ?x 解得?y =-4, ?r=2 2.
0 0

因此所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 探究提高 求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有 两种方法:①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法,即设出圆的 方程,用待定系数法求解. (1)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切, 圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为 A.(x+1) +(y-1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2
2 2 2 2

2

2

( B.(x-1) +(y+1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2
2 2 2 2

)

(2)经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为 ____________________. 答案 (1)B (2)(x-4) +(y-5) =10 解析 (1)设圆心坐标为(a,-a), 则 |a-? -a? | |a-? -a? -4| = , 2 2
2 2

即|a|=|a-2|,解得 a=1, 故圆心坐标为(1,-1),半径 r= 2 = 2, 2

4

故圆的方程为(x-1) +(y+1) =2. (2)设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r ,
2 ? 5-a? +? 2-b? ? ? 2 则?? 3-a? +? 2-b? ? ?2a-b-3=0 2 2 2 2 2 2

2

2

=r =r

2 2



可得 a=4,b=5,r =10. 题型二 与圆有关的最值问题 例2 已知实数 x、y 满足方程 x +y -4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值. 思维启迪:根据代数式的几何意义,借助图形来求最值. 解 (1)原方程化为(x-2) +y =3,表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆.设 =k,
2 2 2 2

y x

y x

|2k-0| 即 y=kx,当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值和最小值,此时 = 3, k2+1 解得 k=± 3.故 的最大值为 3,最小值为- 3. (2)设 y-x=b,即 y=x+b,当 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值和最小值, |2-0+b| 此时 = 3, 即 b=-2± 6.故 y-x 的最大值为-2+ 6, 最小值为-2- 6. 2 探究提高 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)形如 μ =

y x

y-b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如 t=ax+ x-a

2 2 by 形式的最值问题, 可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如(x-a) +(y-b) 形式的

最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 已知 M 为圆 C:x +y -4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)若 M(m,n),求 解
2 2 2

n-3 的最大值和最小值. m+2
2 2 2

(1)由 C:x +y -4x-14y+45=0 可得(x-2) +(y-7) =8,∴圆心 C 的坐标为

(2,7),半径 r=2 2. 又|QC|= ? 2+2?
2

+?

7-3?

2

=4 2.

∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2.

5

(2)可知

n-3 表示直线 MQ 的斜率, m+2

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则

n-3 =k. m+2

|2k-7+2k+3| 由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 ≤2 2. 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3, 所以

n-3 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2

题型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x +y =4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP, 求点 P 的轨迹. 思维启迪:结合图形寻求点 P 和点 M 坐标的关系,用相关点法(代入法)解决. 解
2 2

? ? 如图所示, 设 P(x, y), N(x0, y0), 则线段 OP 的中点坐标为? , ?, ?2 2?
x y

线段 MN 的中点坐标为? 平分,

?x0-3,y0+4?.由于平行四边形的对角线互相 2 ? ? 2 ?

?x0=x+3 ? x x0-3 y y0+4 故 = , = .从而? 2 2 2 2 ? ?y0=y-4

.

N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:(x+3) +(y-4) =4,
2 2

? 9 12? ? 21 28? 但应除去两点?- , ?和?- , ?(点 P 在直线 OM 上时的情况). ? 5 5? ? 5 5?
探究提高 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程. ④代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是 A.(x-2) +(y+1) =1 B.(x-2) +(y+1) =4 C.(x+4) +(y-2) =4 D.(x+2) +(y-1) =1 答案 A
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y),

?2x=x0+4 ? 则? ? ?2y=y0-2
2 2

??

?x0=2x-4 ? ? ?y0=2y+2
2


2

代入 x0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1.

利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 审题视角 (1)求圆心及半径,关键是求 m. (2)利用 OP⊥OQ,建立关于 m 的方程求解. (3)利用 x1x2+y1y2=0 和根与系数的关系或利用圆的几何性质. 规范解答 解 方法一 将 x=3-2y,
2 2

2

2

代入方程 x +y +x-6y+m=0, 得 5y -20y+12+m=0.[2 分] 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件:
2

y1+y2=4,y1y2=

12+m .[4 分] 5

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. -27+4m ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= .[6 分] 5 故 -27+4m 12+m + =0,解得 m=3,[9 分] 5 5

5 ? 1 ? 此时 Δ >0,圆心坐标为?- ,3?,半径 r= .[12 分] 2 2 ? ? 方法二 如图所示,设弦 PQ 中点为 M, ∵O1M⊥PQ,∴kO1M=2.[2 分]

? 1? ∴O1M 的方程为 y-3=2?x+ ?, ? 2?
即 y=2x+4.[4 分] 由方程组?
? ?y=2x+4 ?x+2y-3=0 ?

.

7

解得 M 的坐标为(-1,2).[6 分] 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1) +(y-2) =r . ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1) +(0-2) =r ,即 r =5,|MQ| =r . 在 Rt△O1MQ 中,|O1Q| =|O1M| +|MQ| . 1+? -6? ∴ 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

-4m ? 1 ?2 2 =?- +1? +(3-2) +5. ? 2 ?

∴m=3.[9 分] 5 ? 1 ? ∴半径为 ,圆心为?- ,3?.[12 分] 2 ? 2 ? 方法三 设过 P、Q 的圆系方程为

x2+y2+x-6y+m+λ (x+2y-3)=0.[2 分]
由 OP⊥OQ 知,点 O(0,0)在圆上. ∴m-3λ =0,即 m=3λ .[4 分] ∴圆系方程可化为

x2+y2+x-6y+3λ +λ x+2λ y-3λ =0.
即 x +(1+λ )x+y +2(λ -3)y=0.[6 分]
2 2

? 1+λ ,2? ∴圆心 M?- 2 ?

3-λ ? ? ?,又圆心在 PQ 上. 2 ?

1+λ ∴- +2(3-λ )-3=0, 2 ∴λ =1,∴m=3.[9 分] 5 ? 1 ? ∴圆心为?- ,3?,半径为 .[12 分] 2 2 ? ? 温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中, 借助于圆的几何性质, 往往会使得思路简捷明 了,简化思路,简便运算. (2)本题中三种解法都是用方程思想求 m 值,即三种解法围绕“列出 m 的方程”求 m 值. (3)本题的易错点: 不能正确构建关于 m 的方程, 找不到解决问题的突破口, 或计算错误.

方法与技巧 1. 确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法, 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2. 解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.

8

失误与防范 1. 求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立 方程. 2. 过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率 不存在的情况.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若圆 x +y -2ax+3by=0 的圆心位于第三象限,那么直线 x+ay+b=0 一定不经过 ( A.第一象限 C.第三象限 答案 D 3 ? ? 2 2 解析 圆 x +y -2ax+3by=0 的圆心为?a,- b?, 2 ? ? 1 b 1 b 则 a<0,b>0.直线 y=- x- ,k=- >0,- >0, B.第二象限 D.第四象限 )
2 2

a

a

a

a

直线不经过第四象限. 2.若点(1,1)在圆(x-a) +(y+a) =4 的内部,则实数 a 的取值范围是 A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 答案 A 解析 因为点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a) +(1+a) <4,∴-1<a<1. 3 . (2011·安徽 ) 若直线 3x + y + a = 0 过圆 x + y + 2x - 4y = 0 的圆心,则 a 的值为 ( ) B.1 C.3 D.-3
2 2 2 2 2 2

(

)

B.0<a<1 D.a=±1

A.-1 答案 B

解析 化圆为标准形式(x+1) +(y-2) =5,圆心为(-1,2). ∵直线过圆心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1.
9

2

2

4. 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A.x +(y-2) =1 C.(x-1) +(y-3) =1 答案 A 解析 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ? 0-1?
2 2 2 2 2

(

)

B.x +(y+2) =1 D.x +(y-3) =1
2 2

2

2

+?
2

b-2?

2

=1,解得 b=2,
2

故圆的方程为 x +(y-2) =1. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 若圆 x +y -4x+2my+m+6=0 与 y 轴的两交点 A,B 位于原点的同侧,则实数 m 的取 值范围是______________. 答案 -6<m<-2 或 m>3 解析 令 x=0,可得 y +2my+m+6=0,由题意知,此方程有两个不相等且同号的实数
? ?m+6>0, 根,即? 2 ?4m -4? m+6? >0, ?
2 2 2

解得-6<m<-2 或 m>3. 6. 以直线 3x-4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________.

? 3?2 25 2 答案 (x+2) +?y- ? = ? 2? 4
解析 直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点分别为

A(-4,0)、B(0,3),
3? ? 所以线段 AB 的中点为 C?-2, ?,|AB|=5. 2? ?

? 3?2 ?5?2 2 故所求圆的方程为(x+2) +?y- ? =? ? . ? 2? ?2?
7. 已知点 M(1,0)是圆 C:x +y -4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线的方 程是__________. 答案 x+y-1=0 1-0 解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直, 圆 C: x2+y2-4x-2y=0 的圆心为 C(2,1), ∵kCM= 2-1 =1,∴最短弦所在直线的方程为 y-0=-1(x-1),即 x+y-1=0. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解 (1)设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,
10
2 2 2 2 2

由题意列出方程组

a +b =r ? ? 2 ?? a-1? +? b-1? ? ?2a+3b+1=0

2

2

2

2

=r

2

a=4, ? ? ,解之得?b=-3, ? ?r2=25.
2

∴圆的标准方程是(x-4) +(y+3) =25. (2)方法一 设圆的一般方程为

2

x2+y2+Dx+Ey+F=0,
1+144+D+12E+F=0, ? ? 则?49+100+7D+10E+F=0, ? ?81+4-9D+2E+F=0. 解得 D=-2,E=-4,F=-95. ∴所求圆的方程为 x +y -2x-4y-95=0. 方法二 由 A(1,12),B(7,10), 1 得 AB 的中点坐标为(4,11),kAB=- , 3 则 AB 的中垂线方程为 3x-y-1=0. 同理得 AC 的中垂线方程为 x+y-3=0.
?3x-y-1=0 ? 联立? ? ?x+y-3=0
2 2

,得?

?x=1 ? ? ?y=2

, 1-1?
2 2

即圆心坐标为(1,2),半径 r= ?
2

+?

2-12?

2

=10.

∴所求圆的方程为(x-1) +(y-2) =100. 9. (12 分)一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆 的方程. 解 设圆心为(a,b),圆与 x 轴分别交于(x1,0),(x2,0),与 y 轴分别交于(0,y1),(0, 2 2

x1+x2 y1+y2 y2),根据题意知 x1+x2+y1+y2=2,∵a= ,b= ,∴a+b=1.
又∵点(a,b)在线段 AB 的中垂线上,∴5a-b-5=0.
? ?a+b=1, 联立? ?5a-b-5=0, ?

解得?

? ?a=1, ?b=0. ?
2

∴圆心为(1,0),半径为 ?
2

4-1?
2

+? 2-0?

2

= 13.

∴所求圆的方程为(x-1) +y =13. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)
11

1. 若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交,则 P(a,b) ( ) B.在圆外 D.以上都有可能

2

2

A.在圆上 C.在圆内 答案 B 解析 由已知条件 1

a +b

2

2

<1,即 a +b >1.

2

2

因此点 P(a,b)在圆外. 2. 已知圆 C:x +y +mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值为 ( A.8 答案 C B.-4 C.6 D.无法确定 )
2 2

? ? 解析 圆上存在关于直线 x-y+3=0 对称的两点,则 x-y+3=0 过圆心?- ,0?,即 ? 2 ?
m
- +3=0,∴m=6. 2 3. 已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+4y+4=0 相切,则圆的方程 是 A.x +y -4x=0 C.x +y -2x-3=0 答案 A 解析 设 圆 心 为 C(m,0) (m>0) , 因 为 所 求 圆 与 直 线 3x + 4y + 4 = 0 相 切 , 所 以
2 2 2 2

m

( B.x +y +4x=0 D.x +y +2x-3=0
2 2 2 2

)

|3m+4×0+4| 14 =2,整理得:|3m+4|=10,解得 m=2 或 m=- (舍去),故所求圆的 2 2 3 3 +4 方程为(x-2) +y =2 ,即 x +y -4x=0,故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知圆 x +y +2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是 ________. 答案 (-∞,1) 解析 圆的方程化为(x+1) +(y-2) =5-a, ∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5. 又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称, ∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1. 5. 若 PQ 是圆 O:x +y =9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的方程是____________. 答案 x+2y-5=0
12
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 解析 由圆的几何性质知 kPQkOM=-1.∵kOM=2,∴kPQ=- ,故直线 PQ 的方程为 y-2= 2 1 - (x-1),即 x+2y-5=0. 2 6. 已知 AC、BD 为圆 O:x +y =4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2),则四边形
2 2

ABCD 的面积的最大值为________.
答案 5 解析 如图,取 AC 的中点 F,BD 的中点 E, 则 OE⊥BD,OF⊥AC. 又 AC⊥BD, ∴四边形 OEMF 为矩形, 设|OF|=d1,|OE|=d2, ∴d1+d2=|OM| =3. 又|AC|=2 4-d1,|BD|=2 4-d2, 1 ∴S 四边形 ABCD= |AC|·|BD| 2 =2 4-d1· 4-d2=2 ? =2
2 2 2 2 2 2 2

1+d2?

2

·? 4-d2?

2

? 2 3?2 25 -?d2- ? + . 2? 4 ?

3 2 2 ∵0≤d2≤3.∴当 d2= 时,S 四边形 ABCD 有最大值是 5. 2 三、解答题 7. (13 分)圆 C 通过不同的三点 P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,试求圆 C 的方程. 解 设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2 2

则 k、2 为 x +Dx+F=0 的两根, ∴k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k, 又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0.∴E=-2k-1. 故所求圆的方程为 x +y -(k+2)x-(2k+1)y+2k=0, 圆心坐标为?
2 2

?k+2,2k+1?. 2 ? ? 2 ?

∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 2k+1 ∴kCP=-1= ,∴k=-3. 2-k ∴D=1,E=5,F=-6. ∴所求圆 C 的方程为 x +y +x+5y-6=0.
13
2 2


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