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高一数学必修4三角函数的性质练习题


必修四 高一数学三角函数练习题(一)
一、选择题 1、若 –π /2<?<0,则点 (tan? , cos? ) 位于( A.第一象限 2.若 cos ? ? A. B.第二象限 ) D.第四象限

C.第三象限

4 3

4 , ? ? (0, ? ) 则 cot ? 的值是( ) 5 3 4

B. C. ? 4 3

D. ?

3 4

3、函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?



4.函数 y ? 2 sin( 2 x ? A. 4?

?
6

) 的最小正周期( )
C. ? ) D.

B. 2?

? 2

5.满足函数 y ? sin x 和 y ? cos x 都是增函数的区间是( A. [2k? ,2k? ?

?
2

] , k ?Z

B. [ 2k? ?

?
2

,2k? ? ? ] , k ? Z ,2k? ]
) D. x ?

C. [ 2k? ? ? ,2k? ?

?

2 2 5 7.函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图象的一条对称轴方程是( 2
A. x ? ?

], k ?Z

D. [ 2k? ?

?

k ?Z

?

2
2

B. x ? ?

?

4

C. x ? ) C.

?

8

5? 4

8.函数 y=cos x –3cosx+2 的最小值是( A.2 B.0

9.如果 ? 在第三象限,则

? 必定在第( 2

1 4

D.6

)象限 D.二、四

A.一、二 B.一、三 C.三、四 二、填空题 11.终边落在 y 轴上的角的集合是____________________

12、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是
1

该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: X Y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数有(填序号)________ (1). y ? 12 ? 3 sin (3). y ? 12 ? 3 sin

?

?
12

6

t , t ? [0,24 ] t , t ? [0,24]

(2). y ? 12 ? 3 sin( (4). y ? 12 ? 3 sin(

?
6

t ? ? ), t ? [0,24]

?
12

t?

?
2

), t[0,24]

13.函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos x 的定义域是___________________________ 14.已知 cos x ?

2a ? 3 ,且 x 是第二、三象限角,则 a 的取值范围是________ 4?a

15、函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,则如下结论中正确的序号是 3?

_____ ①、图象 C 关于

直线 x ?

11 ? 2π ? ? π 5π ? π 对称; ②、 图象 C 关于点 ? 函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; , 0 ? 对称; ③、 12 ? 3 ? ? 12 12 ? π 个单位长度可以得到图象 C . 3

④、由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 三、解答题:

16.设 P(?3t ,?4t ) 是角 ? 终边上不同于原点 O 的某一点,请求出角 ? 的正弦、余弦、和正切的三角函 数之值.。

17、 已知函数 f(x)=Asin(ω x+?)的图象如图所示,试依图指出: (1)、f(x)的最小正周期; (2、)使 f(x)=0 的 x 的取值集合; (3)、 使 f(x)<0 的 x 的取值集合; (4)、f(x)的单调递增区间和递减区间;(5)、 求使 f(x)取最小值的 x 的集合; (6)、图象的对称轴方程;(7)、图象的对 称中心.

sin(? ? 5? ) cos(?
18、化简

?
2

? ? ) cos(8? ? ? )

sin(? ?

3? ) sin(?? ? 4? ) 2

2

19、已知 y ? a ? b cos 3x(b ? 0) 的最大值为

3 1 ,最小值为 ? 。求函数 y ? ?4a sin(3bx ) 的周期、最 2 2

值,并求取得最值时的 x 之值;并判断其奇偶性。

20、如图,某大风车的半径为 2 m ,每 12 s 旋转一周,它的最低点 O 离地面 0.5m 。风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始,运动 t ( s ) 后与地面的距离为 h( m) 。 ⑴求函数 h ? f (t ) 的关系式; ⑵画出函数 h ? f (t ) 的图象。
O1 A O

0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 M (0,3) , 21、如图所示,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤
且该函数的最小正周期为 ? .

π 2

(1)求 ? 和 ? 的值; (2)已知点 A ? , 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,

?π ?2

? ?

点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值 2 ?2 ?

总复习参考答案: 1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C

2 ? 5 13. [2k? ? ,2k? ? ? ], k ? Z 3 3
17 题、

11. {? | ? ? k? ?

?

, k ? Z}

12、

(1). y ? 12 ? 3 sin

?
6

t , t ? [0,24 ]

14. ( ?1, )

3 2

15、

①②③

3

1 π 18 题、原式=-sin? 19 题、a= ;b=1 20 题、y=2.5-2cos t (t≥0) 2 6 21 题、解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 中得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

π π 2π 2π ? ? 2. ,所以 ? ? .由已知 T ? π ,且 ? ? 0 ,得 ? ? 6 2 T π

(2)因为点 A ? , 0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ?

?π ?2

? ?

3 π ? ? .所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ? ,3 ? . 2 2 ? ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

π π? 5π ? 3 ? , ? 的图象上,且 2 ≤ x0 ≤ π ,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

7π 5π 19 π 5π 11π 5π 13π ≤ 4 x0 ? ≤ ? ? ,从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? , 6 6 6 6 6 6 6

三角函数练习题(二)
A组 一、选择题:共 6 小题

1 1.(易 函数最大最小值)用 A 和 B 分别表示函数 y ? sin x ? 1 的最大值和最小值,则 A ? B 等于( 3
A.

)

2 3

B. ?

2 3

C. ?

4 3

D. ? 2 )

2.(易 函数单调性)下列函数,在 [ , ?? 上是增函数的是( A. y ? cos 2 x B. y ? cos x C. y ? sin 2 x

? 2

D. y ? sin x

3.(易 函数单调区间)下列区间中,函数 y ? 3sin( x ? A. [ ?

? ) 的递减区间是( 6
D. [ ??,0]

)

? ? , ] 2 2

B. [ ,

? 2? ] 3 3

C. [ ?

2? 2? , ] 3 3

4. (中 三角函数的奇偶性及周期)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( A. y ? tan 2 x B. y ? sin x C. y ? sin ?

)

?π ? ? 2x ? ?2 ?

D. y ? cos ?

? 3π ? ? 2x ? ? 2 ?

5.(中,三角函数的对称性)若函数 y ? cos(? x ? 等于( )

? ? ) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为 ,则 ? 3 2
4

A.

1 2

B. 12

C.2

D.4

6.(中,函数的值域) y ? sin x ? sin x 的值域是( A. [?2,0] 二、填空题:共 3 小题 B. [0,1]

) D. [?1,0]

C. [?1,1]

7.(易 正切函数的周期)已知函数 y1 ? sin x 、 y2 ? tan x 的最小正周期分别为 T1 、 T2 则 T1 ? T2 ? .

8.(易 函数的奇偶性)若 f ( x) 为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? sin x ,则 x ? 0 时, f ( x ) ? 9.(难 三角函数的奇偶性、诱导公式)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ? ③存在 ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立. 三、解答题:共 2 小题 10.(中,函数的值域)设全集 U ? [?1,1] ,函数 f ( x ) ? A, g ( x ) ?

1 ( x ? R) 的值域为 sin x ? 1
2

sin x ( x ? R ) 的值域为 B,求 (痧 U A) ? ( U B) . sin x ? 2

11.(中,正切函数的性质)求函数 f ( x ) ? tan ?

π? ?π x ? ? 的定义域、周期和单调递增区间. 3? ?2

B组 一、填空题:共 6 小题 1.(易 三角函数的图像性质)下列叙述中正确的个数为( ① y ? tan x 在 R 上是增函数; ② y ? sin x, x ? [0,2?? 的图像关于点 P ( ?, ?) 成中心对称图形; ③ y ? cos x, x ? [0,2?? 的图像关于直线 x ? ? 成轴对称图形;

)

④正弦、余弦函数 y ? sin x 、 y ? cos x 的图像不超出两直线 y ? ?1 、 y ? 1 所夹的范围. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2.(中 三角函数最值)已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? 值等于( A. ) B.

? ? , ]上的最小值是-2,则 ? 的最小 3 4

2 3

3 2

C.2

D.3
5

3.(中 三角函数单调性)使函数 y ? sin x 递减且函数 y ? cos x 递增的区间是(

)

?? , 2 ?? 2 ? C. (2k ? ? , 2k ? ? ??? k ? Z ? 2
A. (

B. (2k ? ?

? ,2 k ??? k ? Z? 2 ?? ?? k ? Z? D. (2k ? ? ?, 2k ? ? 2
)

4.(中 三角函数定义域)如果 x ? [0,2 ?] ,则函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域为(

A. [0, ?]

B. [ ,

? ?? ] 2 2

C. [ , ??

? 2

D. [

?? , 2 ?? 2

π 5.(中 函数对称性)已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为 12 ( ) A. 3 3 B.

1 2

C.

3 2

D.

2 3

6.(中 三角函数最值)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? A. 1 B. 2 C. 3 ? 1

? ,则 f ( x ) 的最大值为( 2

)

D. 3 ? 2

二、填空题:共 3 小题
3 7.(易 )设 f ( x) ? ax ? b sin x ? 1 ,( a , b 为常数),且 f (5) ? 7 ,则 f ( ?5) ?

.

π 8.(中 三角函数的对称性周期性) 设 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象关于直线 x= 对称,它 3 的最小正周期是π ,则 f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可). 9.(难 函数图像)函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ?? 0,2?? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交 点,则 k 的取值范围是__________. 三、解答题:共 2 小题 10. (中 三角函数的奇偶性)判断函数 f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin2 x )的奇偶性. 11. (中 三角函数对称性最大最小值)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ( ?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条 对称轴是直线 x ? (1)求 ? ;

? . 8

(2)若函数 y ? 2 f ( x) ? a,(a为常数a ? R)在 x ? [ 求 a 的值. C组 解答题:共 2 小题

11? 3? , ] 上的最大值和最小值之和为 1, 24 4

1.(难 三角函数单调性最大最小值)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x sin ? ?1, x ? [?
2

3 1 , ] 2 2
6

(1)当 ? ?

? 时,求 f ( x ) 的最大值和最小值; 6

(2)若 f ( x ) 在 x ? [?

3 1 , ] 上是单调函数,且 ? ? [0, 2?) ,求 ? 的取值范围 2 2

2.(较难 三角函数周期性)设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值为 f ( (1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2)若 ? 、 ? 为方程 f ( x ) ? 0 的两根,且 ? 、 ? 的终边不共线,求 tan(? ? ? ) 的值.

? ) ? 4, 12

参考答案 A组 一、选择题:共 6 小题

2 4 1 1 1.D 当 sin x ? 1 时 y ? sin x ? 1 有最大值 ? ,当 sin x ? ?1 时 y ? sin x ? 1 有最小值 ? ,所以 A+B=- 3 3 3 3 2. ?π ? 2.A y ? cos x 在 [0, 2?] 的增区间为 [ ?, 2?] , y ? cos 2 x 的增区间为 ? , π ? ?2 ? ? 3? ? k ? , ? k2 ? , )所 以 y ? 3 s i x n? ( y ? sin x 的 递 减 区 间 为 ( ? 2 的) 递 减 区 间 为 2 2 6 ? 4? ? 2? ? 4? ( ? 2 k ? , ? k2 ? ,其中 ) [ , ] ? [ ? 2k ?, ? 2k ?] ,故选 B. 3 3 3 3 3 3 ? nx 的 最 小 正 周 期 为 4.D 四 个 选 项 中 为 奇 函 数 的 是 A 和 D, 其 中 y ? t a 2 .而 2 3? ? ? y ? cos( ? 2 x ) ? cos( ? ? ? 2 x ) ? ? cos( ? 2 x ) ? ? sin 2 x ,最小正周期为 ? ,故选 D. 2 2 2 ? 5. C y ? cos x 的图象相邻两条对称轴距离为 ? ,要使 y ? cos(? x ? ) 的图像相邻两条对称轴的距离 3 ? 为 ,则其周期缩小为原来的一半,所以 ? ? 2 . 2
3.B 6.A 当 sin x ? 0 时, y ? sin x ? sin x ? sin x ? sin x ? 0 ;当 sin x ? 0 时, y ? sin x ? sin x ? sin x ? sin x ? 2 sin x , y 的最小值为-2,故选 D. 二、填空题:共 3 小题 7.

? T ? ?, T2 ? ? ? T1 ? T2 ? 2? 2 1
2

2 2 8. ? x ? sin x 设 x ? 0 , 则 ? x ? 0 , 所以 f (? x) ? (? x) ? sin(? x) ? x ? sin x , 又因为 f ( x) 为奇函

7

数,则 ? f ( x) ? f (? x) ? x 2 ? sin x ,所以 f ( x) ? ? x 2 ? sin x . 9.①,kπ (k∈Z);或者①,

当 ? =2kπ ,k∈Z 时 ,f(x)=sinx 是奇函数 . 当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)= - sinx 仍是奇函数 . 当

? ? +kπ (k∈Z);或者④, +kπ (k∈Z) 2 2 ? 2

? =2kπ + ,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ - ,k∈Z 时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和
③都是正确的.无论 ? 为何值都不能使 f(x)恒等于零.所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都 是假命题. 三、解答题:共 2 小题 10.解:∵ 0 ? sin x ? 1 ,∴ 1 ? sin x ? 1 ? 2 , ∴
2 2

? 2

1 ? y ? 1, 2

∴ A ? [ ,1] ,而 U ? [?1,1] ,∴ ? U A ? [ ?1, ) ; 由 g ( x) ?

1 2

1 2

sin x sin x 2y ,得 y ? ,于是 sin x ? , sin x ? 2 sin x ? 2 1? y 1 2y ? 1 ,解得 ?1 ? y ? , 3 y ?1

∴ ?1 ? sin x ? 1 ,∴ ?1 ?

1 1 3 3 1 1 ∴ (痧 U A) ? ( U B ) ? ( , ) . 3 2 π π π 1 π ? ,得 x ? 2k ? ( k ? Z ). 11.解:由 x ? ? k 2 3 2 3
∴函数 f ( x ) 的定义域是 ? x | x ? 2k ? , k ? Z ? ;

∴ B ? { y | ?1 ? y ? } .而 U ? [?1,1] ,∴ ? U B ? ( ,1] ;

? ?

1 3

? ?

由于 f ? x ? ? tan ?

π? ?π π ? ?π π ? ?π x ? ? ? tan ? x ? ?π ? ? tan ? ? x ? 2 ? ? ? ? f ? x ? 2 ? , 3? 3 3? ?2 ?2 ? ?2

因此函数 f ( x ) 的最小正周期为2. 由?

π π π π 5 1 ? kπ ? x ? ? ? kπ , k ? Z ,解得 ? ? 2k ? x ? ? 2k , k ? Z . 2 2 3 2 3 3

因此,函数的单调递增区间是 ? ? ? 2k , ? 2k ? , k ? Z . B组 一、填空题:共 6 小题 1. C ①错,其余正确. 2. B 由 ?

? 5 ? 3

1 3

? ?

? ? ? ? ? ? 3 ? ? x ? 得到一个单调递增区间是 [ ? , ] ,依题意 ? ? ? ,?? ? 2 2 2? 2? 3 2? 2

8

3.D 在 区间 (

减, y ? cos x 为递减函数,故选 D.

3? 3? , 2 ?) 上 y ? sin x 单 调 递 增 , 不 合 要 求 . 在区 间 (2k ? ? ?, 2k ? ? ) 上 y ? sin x 递 2 2

?0 ? x ? ? ?sin x ? 0 ? ? 4.C 依题意得 ? ,即 ? ? 3? ,? x ? [ , ?] ,故选 C 2 ?x? ?cos x ? 0 ? ?2 2
π π π π 3 5.A ∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 6.B 因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ?

? ) 3

当x?

? 是,函数取得最大值为 2.故选 B 3

二、填空题:共 3 小题 7. ?5

f (5) ? 5a ? b sin 3 5 ? 1 ? 7 ,则 5a ? b sin 3 5 ? 6 ,

又 f (?5) ? ?5a ? b sin 3 5 ? 1 ? ?6 ? 1 ? ?5 π 2π π 8.( ,0) ∵T= =π ,∴ω =2,又∵函数的图象关于直线 x= 对称, 12 ω 3 π π 所以有 sin(2× +φ )=±1,∴φ =k1π - (k1∈Z), 3 6 π π 由 sin(2x+k1π - )=0 得 2x+k1π - =k2π (k2∈Z), 6 6 π π π ∴x= +(k2-k1) ,当 k1=k2 时,x= , 12 2 12 π ∴f(x)图象的一个对称中心为( ,0). 12 9.(1,3)

?3sin x, x ? [0, ?) , 由 其 图 像 可 知 当 直 线 y ? k , k ? (1,3) 时 与 f ( x) ? sin x ? 2 sin x ? ? ?? sin x, x ? [?,2?]
的图像与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点. 0, ? ?2

f ( x) ? sinx ? 2 | sin x x |, ??

三、解答题:共 2 小题 10.分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看 f(x)与 f(-x)的关系. 解析:定义域为 R,又 f(x)+f(-x)=lg1=0, 即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

? ? ? 是它的一条对称轴,∴ 2 ? ? ? ? k ? ? . 2 8 2 ? ?? ∴ ? ? k ? ? , 又 ?? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ; 4 4 3 (2)由(1)得 f ( x ) ? sin(2 x ? ?) 4 3 ? 3 3? ∴ y ? 2sin(2 x ? ?) ? a ,又 ? 2 x ? ? ? , 4 6 4 4
11.(1)∵ x ?
9

∴ ymax ? 2 ? a, ymin ? 1 ? a, ∴ 2a ? 3 ? 1, ∴ a ? ?1. 解答题:共 2 小题 C组 1. 解:(1)当 ? ?

1 2 5 ? 2 时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ? 6 2 4

? f ( x ) 在 [?

1 1 3 1 ,? ] 上单调递减,在 [? , ] 上单调递增. 2 2 2 2

1 5 ? 当 x ? ? 时,函数 f ( x) 有最小值 ? 2 4 1 1 当 x ? 时,函数 f ( x) 有最小值 ? 2 4
(2)要使 f ( x ) 在 x ? [?

1 3 1 3 或 ? sin ? ? , , ] 上是单调函数,则 ? sin ? ? ? 2 2 2 2

即 sin ? ?

1 3 或 sin ? ? ? ,又 ? ? [0, 2?? , 2 2 ? ?? ?? ??? ]?[ , ]. 3 3 6 6

解得 ? ? [ ,

2.解析:(1) f ( x) ?

a 2 ? b 2 sin(?x ? ? ) ,∴ T ? ? ,∴ ? ? 2 ,
? ) ? 4. 12 2? 2? ? b cos ②, 12 12 ? ) ,∴ f (? ) ? f ( ? ) ? 0 , 3

又 f ( x ) 的最大值为 f ( ∴ 4 ? a2 ? b2

① ,且 4 ? a sin

由①、②解出 a=2 , b=3. (2) f ( x ) ? 2sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4sin(2 x ? ∴ 4sin(2? ?

? ? ) ? 4sin(2 ? ? ) , 3 3 ? ? ? ? ∴ 2? ? ? 2k? ? 2 ? ? ,或 2? ? ? 2k ? ? ? ? (2 ? ? ) , 3 3 3 3 ? 即 ? ? k ? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,或 ? ? ? ? k ? ? , 6
∴ tan(? ? ? ) ? tan(k ? ?

? 3 (k ? Z) )? 6 3

10


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