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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第1章 第2讲 集合的基本运算课件 理


1.如图所示,U是全集,A和
B是U的子集,则阴影部分所 (?UA)∩B 表示的集合是__________ .

2.已知集合A ? ?0,1, 2?,定义集合运算B ? A ? A ? {x | x ? a b,a ? A,b ? A ,则集合B ? {0,1,2,4}

3.(2012· 广东肇庆期末卷)已知集合M

/>={x|x2-2x-3=0},N={x|-2<x≤4},则 {-1,3} M∩N=__________ . 解析:M={x|x2-2x-3=0}={-1,3}, 所以M∩N={-1,3}.

4. 设 集 合 A={5 , log2(a+3)} , B={a , b} , 若 {1,2,5} A∩B={2},则A∪B=_______. 解析:由题意知log2(a+3)=2,解得a=1,所以 b=2,所以A∪B={1,2,5}.

4 5.满足{1,3}∪A={1,3,5,7}的集合A有______个.

集合的运算
【例1】 已知全集I={x | x ? 4},集合A={x | -2 ? x ? 3}, B={x | -3 ? x ? 3},求痧 ,A ? B, I ( A ? B), IA (?I A) ? B.

【解析】?I A={x | x ? -2或3 ? x ? 4}; A ? B={x | -2 ? x ? 3}; ?( A ? B)={x | x ? -2或3 ? x ? 4}; (?I A) ? B={x | -3 ? x ? -2或x=3}.

集合的运算与不等式联系
时,可借助数轴将问题形象 化.此题应注意 "3 ? (?I A) ? B ".

【变式练习1】 已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a -2,a2+1},若A∩B={-3},求A∪B. 【解析】由A∩B={-3}得-3∈B,又a2+1≥1,

故只有a-3,a-2可能等于-3.
(1)当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3}, B={-3,-2,1},A∩B≠{-3},故a=0舍去;

(2)当a-2=-3时,a=-1,此时A={1,0,-3},
B={-4,-3,2},满足A∩B={-3}.

从而A∪B={-4,-3,0,1,2}.

集合与简单不等式 的综合应用
【例2】 x?7 已知集合A={x | x ? 9},B={x | ? 0}, x ?1 C={x || x-2 |? 4}.
2

?1? 求A ? B及A ? C;
2)若U=R,求A ? ?R ( B ? C ). 

【解析】集合A=(-?,-3] ? [3,+?), 集合B=(-1, 7],集合C=(-2, 6).

?1? A ? B=?3, 7 ?,
A ? C=(-?,-3] ? (-2,+?);

? 2 ?因为B ? C=(-1, 6),则
?R ( B ? C )=(-?,-1] ? [6,+?), 所以A ? ?R ( B ? C )=(-?,-3] ? [6,+?).

本题所给的集合都是确定的数集,
重点是考查集合基本运算掌握的熟练程 度,主要方法是:首先化简集合,即将 集合化简到可以用数轴能直观感知的数 集,然后在数轴上描绘出集合元素的取

值范围(或用Venn图),再根据集合交、
并、补的意义求出所要求的集合,最后 的结果用区间表示即可.

【变式练习2】 已知集合A={x | 3 ? x ? 6},B=? x | 2 ? x ? 9?. ( ?1? 分别求痧( A ? B),R B) ? A; R ? 2 ?已知C={x | a ? x ? a+1}, 若C ? B,求实数a的取值集合.

【解析】1?因为A ? B={x | 3 ? x ? 6}, ? 所以?R ( A ? B )={x | x ? 3或x ? 6}. 因为?R B={x | x ? 2或x ? 9},所以 (?R B ) ? A={x | x ? 2或3 ? x ? 6或x ? 9}.

? 2 ?因为C ? B,根据数轴图示,
?a ? 2 可知 ? , ?a ? 1 ? 9 解得2 ? a ? 8,所以a ? ? 2,8?.

集合与方程的综合 应用
【例3】 已知集合A={x | x 2-ax+a 2-19=0}, B={x | log 2 ( x 2-5x+8)=1}, C={x | x 2+2x-8=0}. 若A ? B ? ?与A ? C=?同时成立, 求实数a的值. 

【解析】集合A不确定,所以首先考虑B、C. 由x 2-5x+8=2,得B=?2,3?. 又集合C={-4, 2}, 因为2 ? C且A ? C=?,所以2 ? A. 又2 ? B,3 ? B且A ? B ? ? ,所以3 ? A, 于是由32-3a+a 2-19=0,得a=5或-2, 当a=5时,A=B=?2,3?,与2 ? A矛盾, 所以a ? 5. 当a=-2时,经检验满足条件,故a=-2.

本题属于集合问题的逻辑题,分析问题时要用到 集合知识,解决问题时则要用到常用逻辑知识;本题 又是集合与方程的结合,表达问题时,用到集合知识, 而背景的结构,则是讨论方程的解.解此类型问题先 要明确集合的元素,理解 A ? B ? ?与A ? C=?同时成 立的意义;其次要用逻辑的方法寻找切入题意的细节 (求确定集合的元素);再次是由A ? C=?来揭开问题神 秘的面纱,最后是对a的值进行检验.这四个步骤既是 解题的过程,也是分析问题的常规思考方法.

【变式练习3】已知集合A={x|x2+px-2=0},B ={x|x2-x+q=0}.若A∪B={-2,0,1},求实数 p、q的值和集合A、B.

【解析】是A ? B中的特殊元素,显然0 ? A, 0 则0 ? B,故q=0,于是B=?0,1?. 因为A ? B={-2,0,1},故-2 ? A,所以将-2 代入x 2+px-2=0,得p=1. 当p=1时,集合A的另一个元素为1, 所以A={-2,1}. 所以p=1,q=0,A={-2,1},B=?0,1?.

新型集合的概念 与运算
【例4】 对于集合M 、N,定义M -N={x | x ? M 且 x ? N },M ? N=( M -N ) ? ( N-M ),设集 合A={ y | y=x 2-3x,x ? R},B={ y | y=-2 x, x ? R},则A ? B= ________________.

9 【解析】解得集合A={ y | y ? - },B=? y | y ? 0?, 4 9 所以A-B={ y | y ? 0},B-A={ y | y ? - }, 4 所以A ? B 9 =( A-B ) ? ( B-A)=(-?,- ) ? [0,+?). 4 9 答案: ?,- ) ? [0,+?) (- 4

新型集合的概念与运算问题是近几
年新课标高考的热点问题,在给出新的 运算法则的前提下,充分利用已知条件 求解是关键.集合命题中与运算法则相 关的问题,是对映射构建下的集合与集

合、元素与元素之间的运算相关性和封
闭性的研究.

【变式练习4】

设A、B是两个非空集合,定义:A*B=
{a+b|a∈A,b∈B},若A={0,1},B= 8 {1,2},则A*B的子集个数是________. 【解析】由题意知A*B={1,2,3},所以 A?B的子集个数是23=8个.

1.设集合A={平行四边形},B={对角线相等的四 {矩形} 边形},则A∩B=_____________. 2.(2011· 苏北四市期末卷)已知集合A={x|-1≤x≤2}, B={x|x<1},则A∩(?RB)=___________ [1,2] 解析:?RB=[1,+∞),所以A∩?RB=[1,2].

3.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y), x∈A,y∈B}.设A={0,1},B={2,3},则 18 集合A⊙B的所有元素之和为 __________ 【解析】当x=0时,z=0;当x=1时,z= 6或12,所以A⊙B={0,6,12}.

4.已知A={x | x 2+( p+2) x+1=0,x ? R}, B=? x | x ? 0?.若A ? B=? ,则实数p的 (-4,+∞) 取值范围是______________

5.设全集U=R,集合A={x | -5 ? x ? 4}, B={x | x ? -6或x ? 1},C={x | x-m ? 0}, 试问是否存在实数m,使其同时满足下列 两个条件:

?1? C ? A ? B; ? 2 ? C ? (CU A) ? (CU B) ?

【解析】因为A ? B=? x |1 ? x ? 4?, C=? x | x ? m?. (CU A) ? (CU B )={x | -6 ? x ? -5},

?1? 要使C ? A ? B,则m ? 4; ? 2 ? 要使C ? (CU A) ? (CU B),则m ? -5.
所以存在实数m,且其取值范围是[4,+?).

1.在深刻理解集合的交、并、补 概念的基础上,用Venn图解决有关集

合问题可一目了然.
2.两个集合都是不等式的解集时, 求它们的交、并、补,通常用数轴直 观表示,解题较方便,但要注意开、 闭区间的表示.

3.在集合知识的应用中,一方面

要熟练掌握集合的概念和集合运算的基
本性质,另一方面还应掌握研究集合问 题的基本思想方法.

(1)数形结合
认清集合的特征,准确地将其转化 为图形关系,借助于图形的分析,能使 问题得到直观具体的解决,这就是数形 结合的思想.

①数轴的应用:如A={x | x ? -1},B=? x | x ? a?,求 A ? B时,利用数轴易知:若a ? -1,则A ? B=?;若 a ? -1,则A ? B=(-1,a ); ②转化为几何图形:如A={( x,y ) | y ? x},B={( x,y ) | x 2+( y-a ) 2 ? 2}.若B ? A,求实数a的取值范围时, 将其转化为平面区域图形.易知集合A表示直线y=x 下方的区域(含边界),集合B表示圆心在(0,a ),半径 为 2的圆面(含边界).由B ? A,得a ? 0.又圆心到直线 |0?a| y=x的距离不小于 2,即 ? 2,所以a ? -2; 2 ③运用Venn图.

(2)分类讨论
当集合的元素含有参数时,需要 根据题意对参数进行分类讨论.

4.要注意根据所给概念、新定
义对集合进行运算.


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